质心运动论文

理论力学论文

09应用物理学084103091009

杨立壮

2011．6．4

质心运动定理

一、对质心运动的认识

1．质点系（刚体、刚体系）是动力学的主要力学模型，解决质点系（刚体、刚体系）动力学问题的主要方法有三类：（1）达朗伯原理；（2）动力学基本定理；（3）动力学普遍方程和拉格朗日方程。

2．对质点系（刚体、刚体系）的质心、动量有清晰的理解，能熟练地计算质点系（刚体、刚体系）的动量，能熟练地应用质点系的动量定理、质心运动定理（包括相应的守恒定律）求解动力学问题。

二、基本内容

1．基本概念

质点系的质心、质点系（刚体、刚体系）的动量、 2．主要公式

（1）质点系（刚体、刚体系）质心的计算 1）矢径形式 M r m r i i c

∑= 或 M

r

m r ic i c ∑=

2）直角坐标形式

M x m x i i c ∑=，M y m y i i c ∑=，M z m z i i c ∑= 其中 k z j y i x r i i i i

++=为第i 个质点到固定点O 的矢径。

k z j y i x r c c c c

++=为质点系的质心到固定点O 的矢径。 ic r

为第i 个刚体的质心到固定点O 的矢径。

m i 为第i 个质点的质量，i m M ∑=为质点系（刚体、刚体系）的质量。

（2）质点系（刚体、刚体系）动量的计算

1）矢径形式 c i i v M v m P

=∑= 2）投影形式

ix i x v m p ∑=，iy i y v m p ∑=，iz i z v m p ∑=， 222z y x P P P P ++=

注意：动量是矢量，需要时还要计算动量的方向。 （3）动量定理（质心运动定理） ∑==n i (e)i F dt p d 1 )(1

∑==n i (e)

i c F a M 式中∑===n i c i i v M v M p 1

，是质点系某瞬时的动量，∑=n i e i F 1)( 是质点系所受外力

的主矢量。c a 为质点系心的加速度。 三、重点和难点

1．重点：

（1）质点系（刚体、刚体系）质心、动量的计算。 （2）质点系动量定理、质心运动定理。

2．难点：

质点系动量定理、质心运动定理的应用。

四、学习建议

（1）强调动量中所用到的速度均为绝对速度。

（1）通过举例熟练掌握微分形式的动量定理、质点系的质心运动定理的应用，讲清各自的解题特点，尤其求简单机构的约束反力。

（2）明确质心守恒的条件及应用守恒定律求解的有关问题。

五、质心的定义

质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。在一个N 维空间中的质量中心，座标系计算公式为：X表示某一座标轴m i 表示物质系统中，某i质点的质量x i 表示物质系统中，某i质点的座标。

质点系质量分布的平均位置

质量中心的简称。它同作用于质点系上的力系无关。设 n个质点组成的质点系，其各质点的质量分别为m1，m2，…，mn。若用 r1 ，r2，……，rn分别表示质点系中各质点相对某固定点的矢径，rc 表示质心的矢径，则有rc＝Image:质心１.jpgmiri／Image:质心１.jpgmi。当物体具有连续分布的质量时，由牛顿运动定理或质点系的动量定理，可推导出质心运动定理：质心的运动和一个位于质心的质点的运动相同，

质心

该质点的质量等于质点系的总质量，而该质点上的作用力则等于作用于质点系上的所有外力平移到这一点后的矢量和。由这个定理可推知：①质点系的内力不能影响质心的运动[1]。②若质点系所受外力的主矢始终为零，则其质心作匀速直线运动或保持静止状态。③若作用于质点系上外力的主矢在某一轴上的投影始终为零，则质心在该轴上的坐标匀速变化或保持不变。质点系的任何运动一般都可分解为质心的平动和相对于质心的运动。质点系相对某一静止坐标系的动能等于质心的动能和质点系相对随质心作平动的参考系运动的动能之和。质

心位置在工程上有重要意义，例如要使起重机保持稳定，其质心位置应满足一定条件；飞机、轮船、车辆等的运动稳定性也与质心位置密切相关；此外，若高速转动飞轮的质心不在转动轴线上，则会引起剧烈振动而影响机器正常工作和寿命。

质心运动定律

质心运动定理质心运动定理是质点系动量定理的另一种形式，可由质点系动量定理直接导出。即将P ＝Mvc 代入质点系动量定理 dP /dt ＝∑F e ，得：M d vc/dt ＝∑F e 或 M ac ＝∑F e ——称为质心运动定理。( ∵ac ＝ d vc/dt ) 即：质点系的质量M 与质心加速度 ac 的乘积等于作用于质点系所有外力的矢量和(外力主矢量)。可见：只有外力才能改变质点系质心的运动。质心运动定理在直角坐标系上投影形式：2、质心运动守恒定律（1）若∑F e ≡0，则ac ＝ 0，vc ＝常矢量，即当外力系主矢量等于零时，质心的加速度等于零，质心保持静止或作匀速直线运动。（2）若∑Fxe ≡0，则acx ＝ 0，vcx ＝常量，即当外力系在某轴上投影的代数和等于零时，质心的加速度在该轴上投影为零，质心沿该轴方向保持静止或匀速运动。这两种情况称为质心运动守恒。质心运动定理经常用来求约束反力。

六、质点系相对于质心系的动量

以质点系的质心为原点，坐标轴总与基本参照系平行，这参照系称质心参照系或质心系。

以和表示质点系各质点的质量和相对质心系的速度。质点系相对质心系的动量为

表示质心系中质心位置矢量，显然为零。故

它表示质点系对质心参照系的动量总为零。

练习题：1.质量为1500kg的吉晋车在静止的驳船上在5s内自静止加速至5m/s．问缆绳作用于驳船的平均力有多大?(用牛顿定律作出结果，并以此验证你的运算．)

七、经典力学中动量守恒的常见形式

1．质点系动量守恒定律