B题 节水洗衣机设计

分析与假设




1.洗衣机的漂洗原理wk.baidu.com加水—溶污物—脱污 水为单元重复循环。 2.此处考虑污物是完全溶于水的。即残留在 衣服上的污物是残留在水中的 3.在洗衣过程中不考虑褪色，不考虑衣物成 分纤维的损伤，每次漂洗时间充分 4.定义衣服的干净程度由污水中污物的浓度 确定，人眼所见最大为A，即达到洗净效果
在第k轮脱水之后，衣物上尚有污物c[n]=a[n]b[n]，有污水v，其中污水v中所含污物量为 b[n]w/(v+w)。于是第n轮完成之后衣物上尚存的 污物总量为： a[n+1]=a[n]-b[n]+b[n]w/(v+w)－ －－－－－（２）
4.
模型的建立




由(1)代入(2)得： a[n+1]=a[n][1-k(v-h)/(H-h)+k(vwhw)/(v+w)(H-h)] ……..再由数学归纳法：有 a[n]=a(1-k(v-h)/(H-h)+k(vwhw)/(v+w)(H-h))＾n 即为第一题所求
B题 节水洗衣机设计
为了节约用水，人们希望用一定量的水把衣服尽 量洗干净。 一般地，设衣服充分拧干之后含有 一定的污物，然后通过若干次漂洗将衣服洗干净。 (1) 如果每次用水量相同，漂洗后衣服还有多少污 物？ (2) 如何选取每次漂洗的水量，能使衣服最干净？ (3) 是否漂洗次数越多越干净， 有无限度？

9.假设:洗衣机共进行了n轮的“加水~漂洗~ 脱水”过程 污物的溶解率设为k，每轮的加水量 为v（恒定） 初始污物量为a，第n轮时，污物量为 a[n]，每轮在脱水之后,衣物上的水恒定,为w
模型的建立
1.
2. 3.
第k轮洗涤之后和脱水之前，第n-1轮脱水之后的 污物量已成为两部分： a[n]=b[n]+c[n]， 其中b[n]表示已溶入水中的污物，c[n]表示尚未 溶入水中的污物量。b[n]与第n轮的加水量有关， 总的规律是v越大b(n)越大，且当v=h时最小；当 v=H时，b[n]最大。因此简单地选用线性关系表 示这种溶解特性则有： b[n]=ka[n](v-h)/(H-h)－ －－－－（１）
问题２：如何选取每次漂洗的水量， 能使衣服最干净？
优化模型


由第一题，知：我们只需找到最适宜用水量，以达到既洗净又节水效 果 即只需： a[n]=a(1-k(v-h)/(H-h)+k(vw-hw)/(v+w)(H-h))<=A 令k/(H-h)=x 化解得： xv^2+v[1-hx+(A/a)^(1/n)]-(A/a)^(1/n)>=0 令f(v)= xv^2+(w-h-wx+(A/a)^(1/n))v-w(A/a)^(1/n) v1=(h+wx-w-((A/a)^(1/n)+((w-h-wx+(A/a)^(1/n))^24xw(A/a)^(1/n))^(1/2))/2x v2=(h+wx-w-((A/a)^(1/n)-((w-h-wx+(A/a)^(1/n))^2-
分析与假设



7.忽略因污物含量的减少，而引起衣物质量 的变化，可认为，在漂洗过程中，在脱水 之后，衣物重量不变 8.每次漂洗.脱水的时间是充足的,以便污物 充分溶于水 每轮加水不低于h（此为洗衣机最低用水量， 低于此，洗衣机将无法转动）不高于H（若 高于H,水将溢出，造成浪费）
分析与假设



优化模型

其中（h<=v<=H)
模型求解
问题３：是否 漂洗次数越多越干净， 有无限度？
分析：１

4xw(A/a)^(1/n))^(1/2))/2x 论文上有检验h<v1<H,v2<h,故选v1
优化模型


由第一题，知：我们只需找到最适宜用水量，以达到既洗净又节水效 果 即只需： a[1]=a(1-k(v1-h)/(H-h)+k(v1w-hw)/(v1+w)(H-h))=a(v1) a[2]=a[1](1-k(v2-h)/(H-h)+k(v2w-hw)/(v2+w)(H-h))=a[1](v2) ………. ……… a[n]=a(v1)(v2)(v3)….(vn) 有因为要节水，故设v1+v2+v3+v4…=z 可知．V1=v2=v3=v4=v5….时，v1*v2*v3*v4*v5…最大 所以当