组合数学 第2章习题解答
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第2章 递推关系与母函数 caozhanmao@qq.com
第二章作业 p113
2.2 2.4 2.6 （课堂练习） 2.15 2.18 （1）（课堂练习） 2.48 2.54
2
第二章习题
2.2 已知序列{C(3,3),C(4,3),...,C(n+3,3),...},求母函数。
G ( x) = 1 + 4 x + 10 x 2 + ... + C ( n + 3,3) x n + ... = 1 + 4 x + 10 x 2 + ... + C ( 4 + n − 1, n) x n + ... 1 = (1 − x) 4
n(n + 1) 2 1 k nx x C n k k x = 1 + + + ... + ( + − 1 , ) + ... n (1 − x) 2!
这个结论可以参考P114， 2.17（1） 的结论，注意书本这里少了一个＝ 号
G ( x) = 1 + 2 x + 3x + ... + (n + 1) x + ...
x10 ∴ 10!
系数即为所求。
2.54. 8台计算机分给3个单位，第1个单位的 分配量不超过3台，第2个单位的分配量不超 过4台，第3个单位的分配量不超过5台，问共 有几种分配方案？
(1 + x + x 2 + x 3 )(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 )(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) x 8项的系数为所求
• 解：G(x)=/Sum{0,n}(anxn) • 参考p61，例2－13，2－14， • 参考p111， 例2－63
2.48有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、黑球各3个， 问从中取出10个球，试问有多少种不同的取法？ 用指数型母函数，可得母函数 x x2 4 x x 2 x3 3 G ( x) = (1 + + ) ⋅ (1 + + + ) 1! 2! 1! 2! 3!
注：这个题目中有同学使用的符号 n指代比较 混乱。虽然最后结果对，但过程中未体现出逻 辑的连贯性。 也有同学用积分和求导渐次推理得到正确结论。 十分可贵。不过有的人在最后写有一个 m次方， 令人困惑
回顾构造母函数的基本函数
1 2 3 k = 1 + x + x + x + ... + x + ... 1− x
3 − 9x
2.6 求序列｛1,0,2,0,3,0,4,0,…｝的母函数
• • • • 解：母函数仅x的偶数次项的和构成，即 G(x)=1+2 x2+3 x4+4 x6+ …= ? 系数为出现的顺序号，和xn次数间联系为： 系数an=n/2 +1， n为偶数（回忆母函数
1 2 3 k 1 2 3 4 ... ( 1 ) = + + + + + + + ... x x x k x 2 (1 − x )
• 用多项式除法，解出a0，a1均为1
1− x + x
2
1 1
1 1 −x x2
2
• P68 x −x • 将(1-x+x2)分解因子，转化为基本母函数.引 用P59，定理2－1. 并参考p56例子2－11. • 这个题目整体都做的不错
2.18（1）课练，用母函数法求 an-6an-1+8an-2=0
• ） • 引用这两个基本母函数，并用x2＝y替换序列母函数 中的x2 • 结论：G(x)=1+2y+3y2+…=1/(1-y)2=1/(1-x2)2
1 = 1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k + ... 1− x
2.15 G(x)=1/(1-x+x2), 求an的递推关系， 并给出a0， a1
实实在在算出多项式是一种方法； 也可以只算8次方的系数， 怎样有选择的取遍可能而不遗漏呢？可以用解空 间的树状回溯。 试就此做个回溯法的程序，？？？？
2 n
( a )G
2
= (1 − x )
−4Biblioteka Baidu
= ∑ C ( n + 3,3) x n
n=0
∞
2.4 已知母函数 1 − x − 56 x 2，求对应的序列
注意到 1－x-56x2=(1-8x)(1+7x)， 用A/(1-8x)+B/(1+7x)的分子等于3-9x 待定A，B的方程组为： A + B = 3 7 A − 8 B = −9 解出A＝1，B＝2 G(x)=1/(1-8x)+2/(1+7x) 利用基本母函数1/(1-x) an=8n-7n
第二章作业 p113
2.2 2.4 2.6 （课堂练习） 2.15 2.18 （1）（课堂练习） 2.48 2.54
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第二章习题
2.2 已知序列{C(3,3),C(4,3),...,C(n+3,3),...},求母函数。
G ( x) = 1 + 4 x + 10 x 2 + ... + C ( n + 3,3) x n + ... = 1 + 4 x + 10 x 2 + ... + C ( 4 + n − 1, n) x n + ... 1 = (1 − x) 4
n(n + 1) 2 1 k nx x C n k k x = 1 + + + ... + ( + − 1 , ) + ... n (1 − x) 2!
这个结论可以参考P114， 2.17（1） 的结论，注意书本这里少了一个＝ 号
G ( x) = 1 + 2 x + 3x + ... + (n + 1) x + ...
x10 ∴ 10!
系数即为所求。
2.54. 8台计算机分给3个单位，第1个单位的 分配量不超过3台，第2个单位的分配量不超 过4台，第3个单位的分配量不超过5台，问共 有几种分配方案？
(1 + x + x 2 + x 3 )(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 )(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) x 8项的系数为所求
• 解：G(x)=/Sum{0,n}(anxn) • 参考p61，例2－13，2－14， • 参考p111， 例2－63
2.48有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、黑球各3个， 问从中取出10个球，试问有多少种不同的取法？ 用指数型母函数，可得母函数 x x2 4 x x 2 x3 3 G ( x) = (1 + + ) ⋅ (1 + + + ) 1! 2! 1! 2! 3!
注：这个题目中有同学使用的符号 n指代比较 混乱。虽然最后结果对，但过程中未体现出逻 辑的连贯性。 也有同学用积分和求导渐次推理得到正确结论。 十分可贵。不过有的人在最后写有一个 m次方， 令人困惑
回顾构造母函数的基本函数
1 2 3 k = 1 + x + x + x + ... + x + ... 1− x
3 − 9x
2.6 求序列｛1,0,2,0,3,0,4,0,…｝的母函数
• • • • 解：母函数仅x的偶数次项的和构成，即 G(x)=1+2 x2+3 x4+4 x6+ …= ? 系数为出现的顺序号，和xn次数间联系为： 系数an=n/2 +1， n为偶数（回忆母函数
1 2 3 k 1 2 3 4 ... ( 1 ) = + + + + + + + ... x x x k x 2 (1 − x )
• 用多项式除法，解出a0，a1均为1
1− x + x
2
1 1
1 1 −x x2
2
• P68 x −x • 将(1-x+x2)分解因子，转化为基本母函数.引 用P59，定理2－1. 并参考p56例子2－11. • 这个题目整体都做的不错
2.18（1）课练，用母函数法求 an-6an-1+8an-2=0
• ） • 引用这两个基本母函数，并用x2＝y替换序列母函数 中的x2 • 结论：G(x)=1+2y+3y2+…=1/(1-y)2=1/(1-x2)2
1 = 1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k + ... 1− x
2.15 G(x)=1/(1-x+x2), 求an的递推关系， 并给出a0， a1
实实在在算出多项式是一种方法； 也可以只算8次方的系数， 怎样有选择的取遍可能而不遗漏呢？可以用解空 间的树状回溯。 试就此做个回溯法的程序，？？？？
2 n
( a )G
2
= (1 − x )
−4Biblioteka Baidu
= ∑ C ( n + 3,3) x n
n=0
∞
2.4 已知母函数 1 − x − 56 x 2，求对应的序列
注意到 1－x-56x2=(1-8x)(1+7x)， 用A/(1-8x)+B/(1+7x)的分子等于3-9x 待定A，B的方程组为： A + B = 3 7 A − 8 B = −9 解出A＝1，B＝2 G(x)=1/(1-8x)+2/(1+7x) 利用基本母函数1/(1-x) an=8n-7n