离散数学第五版第三章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)

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3. 集合恒等式
例13 A-(BC)=(A-B)(A-C)
证明：对任意的x， xA-(BC) xA A(BC) xA (ABAC)
xA AB AC)
(xA AB) (xA AC) x(A-B) x(A-C) x(A-B)(A-C)
例3：计算以下幂集： （1）P() {}
（2）P({}) （3）P({,{}})
（4）P({1,{2,3}})
{,{}}
{,{},{{}}, {,{}}}
{,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}
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1.集合的基本概念
五、全集
在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的
任何一个n元集，如何求出它的全部子集？
例2：A={a,b,c}，求A的全部子集。
0元子集，即空集，只有1个:。 1 1元子集，即单元集，有 C3 个：{a}、{b}、{c}。 2 2元子集，有C3 个：{a,b}、{a,c}、{b,c}。 3 3元子集，有C3 个：{a,b,c}。 0 1 2 3 所以：共有 C3 个子集，即 23 个子集。13 C3 C3 C3
x(AB)C
x(AB)xC (xAxB)xC xA(xBxC) xA(BC)
证明：对任意的x，
所以：(AB)C=A(BC)
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3. 集合恒等式
3) 交换律 AB= BA AB= BA
A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) A E= A A = A 6) 同一律 A =
推论：S中至少具有一条性质的元素为
| A1 A2 Am | | Ai |
1 m 1 i j m
| A A
i
j
|

1 i j k m
m 1 | A A A | ( 1 ) | A1 A2 Am | i j k
2. 定理
空集是一切集合的子集。
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1.集合的基本概念
三、空集
空集是唯一的。 3. 推论：
例1：判断下列命题是否为真
(1) (2) 真 真 真 真
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(3){}
(4){}
1.集合的基本概念
问题：含有n个元素的集合简称n元集，它的含有 m(m<=n)个元素的子集叫做它的m元子集。
求：AB
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2. 集合的运算
3. 绝对补
～A=E-A={x|xE xA} 例6：E={a,b,c,d},A={a,b,c} 求：～A 例7：对24名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调 查。其统计结果如下：会英、日、德和法语的人 分别为13、5、10和9人，其中同时会英语和日语 的有2人，会英、德和法语中任两种语言的都是4 人。已知会日语的人既不懂法语也不懂德语，分 别求只会一种语言的人数和会三种语言的人数。
4) 分配律 5) 同一律
A E= E
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3. 集合恒等式
7) 排中律 8) 矛盾律 9) 吸收律 10)德摩根律 A～A= E A～A= A(AB)=A A(AB)=A A-(BC)=(A-B)(A-C)
A-(BC)=(A-B)(A-C) ～(BC)=～B～C ～(BC)=～B～C ～=E ～E=
例如：{1,2,3,4,7}={1,1,2,2,3,4,7}；
（2）无序性：集合中的元素是无序的。
例如： {1,2,3}={2,3,1}
集合中的元素本身也可以是一个集合，在本书中规定集合 的元素都是集合。
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1.集合的基本概念
二、元素与集合的关系（属于或不属于）
元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于或不属于， 属于记作，不属于记作。
设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广义并， 记为A。符号化表示为： A={x|z(zA x z)} 例11：A={{a,b,c},{a,c,d},{a,e,f}}
B={{a}}
C={a,{c,d}} 则求A、B、C、
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2. 集合的运算
7. 广义交
设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的集合称为 A的广义交，记为A。符号化表示为： A={x|z(zA x z)} 例12：A={{a,b,c},{a,c,d},{a,e,f}}
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2. 集合的运算
例8：求1~1000之间（包含1和1000在内）既不能被5和6， 也不能被8整除的数有多少个。
S={x|xZ 1<=x<=1000} A={x|xS x可被5整除}
B={x|xS x可被6整除} C={x|xS x可被8整除}
|S|=1000
|B|=1000/6=166
（3） A-B={x|xA xB}
例4：A={1,2,3},B={1,4},C={3} 求： AB、AB、A-B、B-A、C-A、CB
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2. 集合的运算
2. 对称差
设A，B为集合，A与B的对称差集AB定义如下： AB=(A-B)(B-A) AB=(AB)-(AB)
例5：A={0,1,2},B={2,3}
注意：对任何集合A都有AA。
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1.集合的基本概念
二、集合之间关系
2. 相等定义
设A,B为集合，如果AB且BA，则称A与B相等，记作
A=B。如果A与B不相等，则记作AB。
A=B AB BA 例如：A={x|x是小于等于3的素数} B={x|x=2 x=3} 则 A=B
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1.集合的基本概念
二、集合之间关系
3. 真子集定义
设A,B为集合，如果BA且BA，则称B是A的真子集，记作
BA。如果B不是A的真子集，则记作BA。
BABA BA 例如：NZQRC AA
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1.集合的基本概念
三、空集
1. 定义
不含任何元素的集合叫做空集，记作。 ={x|xx} 例如：{x|xR x*x+1=0}=
子集，则称这个集合为全集，记作E。
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第三章 集合代数
1. 集合的基本概念 2. 集合的运算 3. 集合恒等式
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2. 集合的运算
1. 交、并、相对补
设A，B为集合，A与B的并集AB，交集AB，B对 A的相对补集A-B分别定义如下：
（1） AB={x|xA xB}
（2） AB={x|xA xB}
1.集合的基本概念
四、幂集
设A为集合，把A的全体子集构成的集合叫做A的幂集， 记作P(A)。 符号化为：P(A)={x|xA} 所以例2的幂集为： {、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}、{a,b,c}}
n 2 注意：集合A的幂集中元素的个数为 。
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1.集合的基本概念
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2. 集合的运算
例9：某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打 排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球， 还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会 打另外一种球（指篮球或排球），求不会打这三 种球的人数。 S：班级的25个学生集合 B：会打网球的学生集合 A：会打篮球的学生集合 C：会打排球的学生集合
离散数学
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第三章 集合代数
1. 集合的基本概念 2. 集合的运算 3. 集合恒等式
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1.集合的基本概念
一、集合、元素（成员）
1. 定义
集合是不能精确定义的概念。直观的说，将一些事物汇 集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个 集合的元素或成员。
例如：26个英文字母的集合；
C语言中关键字的集合； 方程x*x-1=0的实数解集合；
| A1 A2 Am | | S | | Ai |
1 m 1 i j m
| A A
i
j
|

1 i j k m
m | A A A | ( 1 ) | A1 A2 Am | i j k
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2. 集合的运算
|A|=1000/5=200
|C|=1000/8=125
|AB|=1000/lcm(5,6)=33 |AC|=1000/lcm(5,8)=25
|BC|=1000/lcm(6,8)=41 |ABC|=1000/lcm(5,6,8)=8
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2. 集合的运算
例8：求1~1000之间（包含1和1000在内）既不能被5和6， 也不能被8整除的数有多少个。
B={{a}}
C={a,{c,d}} 则求A、B、C
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2. 集合的运算
8. 集合运算的优先级
称广义并、广义交、幂集、绝对补运算为一类运算； 并、交、相对补、对称差运算为二类运算； 一类运算优先于二类运算； 一类运算之间由右向左顺序进行；
二类运算之间由括号决定先后顺序。
例13：A={{a},{a,b}} 请计算 A、A、A(A-A)
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第三章 集合代数
1. 集合的基本概念 2. 集合的运算 3. 集合恒等式
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3. 集合恒等式
1. 集合恒等式（33条）
1) 等幂律 AA=A
AA=A
证明：对任意的x，
x(AA) xAxA
xA
所以：AA=A
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3. 集合恒等式
2) 结合律 (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC)
例如：A={a,{b,c},d,{{d}}}
注意：对任何集合A都有A A。
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1.集合的基本概念
二、集合之间关系
1. 包含（子集）定义
设A,B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称 B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包含 B，记作BA。
BAx(xBxA)
例如：NZQRC {a,{a}}与{a}的关系？
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2. 集合的运算
例10：一个班有50个学生，在第一次考试中有26个人得 5分，在第二次考试中有21人得5分。如果两次考 试中都没得5分的有17人，那么两次考试都得5分 的有多少人？ S：50个学生集合
A：第一次考试中得5分的学生集合
B：第二次考试得5分的学生集合
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2. 集合的运算
6. 广义并
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2. 集合的运算
4. 文氏图
可以使用文氏图来描述集合的关系、运算以及计数。
例7：对24名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调
查。其统计结果如下：会英、日、德和法语的人 分别为13、5、10和9人，其中同时会英语和日语
的有2人，会英、德和法语中任两种语言的都是4
人。已知会日语的人既不懂法语也不懂德语，分 别求只会一种语言的人数和会三种语言的人数。
坐标平面上所有点的集合；
全体中国人的集合；
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1.集合的基本概念
2. 集合的标记方法
集合通常用大写的英文字母来标记。
数学中常见集合的标记方法： 自然数集合N； 整数集合Z； 有理数集合Q； 实数集合R； 复数集合C；
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1.集合的基本概念
3. 集合的表示方法
（1）列元素法:列出集合中的所有元素，元素之间用逗 号分隔，并用花括号将他们括起来。
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3. 集合恒等式
13)排中律 14)排中律 ～～A=A ABA, ABB AAB, BAB A-BA AB=BABAB=AA-B= AB=BA (AB)C=A(BC) A=A AA= AB=ACB=C
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3. 集合恒等式
例如：A={1,2,3,4,7}； B={A,B,C,……,Z}； N={0,1,2,……}；
（2）谓词表示法：用谓词来概括集合中元素的属性 B={x|P(x)}
例如： B={x|xR x*x-1=0}
B={x|xZ 6>=x>=3}
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1.集合的基本概念
4. 集合的特点
（1）无重复性：集合中的元素是彼此不同的，如果同一 元素在集合中出现多次应该认为是一个元素。
S A 150 25 8 100 33 B
17
67
C
1000
所以既不能被5、6，也不能被8整数的数有：
1000-(100+200+33+67)=600
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2. 集合的运算
5. 包含排斥定理
设S为有穷集，P1，P2……Pm是m个性质。S中的任何元素x 或者具有性质Pi，或者不具有性质Pi，两种情况必居其一 。令Ai表示S中具有性质Pi的元素构成的子集，则S中不具 有性质P1，P2，……Pm的元素为