导体系统的电容

当两根心线与外壳连接时,测得另一 心线与外壳之间的电容为 0.036F
C33 C23 C13 0.036F 0.009F 由于对称性.则 0.018F
C11 C22 C33 C12 C23 C13
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第二章 2.9
例：导体球及与其同心的导体球壳构成一个双 导体系统。若导体球的半径为 a ,球壳的内半径 为 b ,壳的厚度很薄可以不计（如图），求电位 系数、电容系数和部分电容。
自部分电容： C , C , C 11 22 33 互部分电容：
C11
C13
C23
C 22
C33
C12 , C13 , C23
工作电容： 两端的工作电容，指从这两端看进
去的所有部分电容的等效电容。
1
C11
如１导体与大地之间的工作电容：
C13
C23
C33
C 22
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C12
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第二章 2.9
qi
。
1 2 i 1 i 1 N 0
ij 为除 j 导体以外，其余导体均接地时，i 导体上
的电荷量与
来自百度文库
j 导体电位之比。
ij
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j
qi
ij 当 j 1 V 时，
qi
。
1 2 j 1 j 1 N 0
c12 c12
c13 c23
c13
c23
C13C23 C C12 C13 C23
c12、 c13、 c23
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称为导体系统的部分电容。
5
第二章 2.9
有两个以上导体的系统称为多导体 系统。其中每个导体所带的电量都会影 响其它导体的电位，在线性媒质中，应 用叠加原理，就可得到每个导体的电位 和各导体所带电量的关系。
q2 C21U 21 C22U 20 C23U 23 C2 NU 2 N
qN CN1U N1 CN 2U N 2 CN 3U N 3 CNNU N 0
写成矩阵形式：为
（2-9-3）
q C U
10
12
…
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第二章 2.9
其中：C ii i1 i2 iN
ii
电容系数
ij (i j)
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感应系数
ij ji
互易 １2
10
q p
1
第二章 2.9
ii
i 导体上 为除 i 导体以外，其余导体均接地时， 的电荷量与其自身电位之比。
ii
i
qi
ii 当 i 1V 时，
解： 1.
求电位系数。
• 设导体球带电量为 q1，球壳带总电
荷为零，无限远处的电位为零。则
0
b
1
2
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4 0 a 4 0b q1
q1
p11q1 p21q1
2
1 a
16

p11 p21
1 1
第二章 2.9
4 0 a 4 0b
• 再设导体球的总电荷为零，球壳带带电量为 q2 ， 无限远处的电位为零。则
4 0b q2 2 p22 q2 4 0b
1
q2
p12 q2
0
1
b

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p22 p12
2
1 a
4 0b
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第二章 2.9

p

1 4 0
2. 求电容系数：
1 a 1 b
1
1 b 1 b
p
D2n 0
导体内
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2
第二章 2.9
s D E
即
s U r
则电容器极板上的总电荷为:
Q s dS
S h 0

r2
r1
U Uh r2 drdz ln r r1
单位:F 5
故电容为:
Q h r2 C ln U r1
第二章 2.9
2.9
定义
导体系统的电容
q
U
一、电容：
q C U
q
q
q
两导体之间的电容：
U
单位：法拉（F）
孤立导体的电容： 可将其视为孤立导体与无穷远处的另一导体之间的电容。
C q
则

C只与导体的形状、尺寸、位置及周围的介质 相关，与带电量无关。
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第二章 2.9
例:如图所示,电容器一极板位于xoz平面,另一极板和xoz平 面成 角,电容器高为h,径向尺寸为 r r2 r1 ,内部填充 介质的介电常数为 ,求电容. z
解: 方法一:
U E dl E rd E r
l 0
且 E a E 则 两极板间的电压为:
如图, 若忽略边缘效应,则极 板间的电场为均匀场.
h
x
r2
r1
y
0 的左极板
利用边界条件:
D1n D2n s
两极板间 D1n D
P 的伴随矩阵。
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1 b 1 b 1 b 1 a
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第二章 2.9
故 # 4 0 ab p
p
3. 求部分电容：
b a ab
ab 2 b
C11 11 12 0
C22 21 22 4 0b
Cij ij (i j) U i0 i U ij i j (i j)
C ii C ij
导体的自部分电容 互部分电容
且
Cij C ji
所有的部分电容不仅与相关的两个导体有 关，且与所有其它导体的几何条件相关。
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第二章 2.9
C12
四导体系统的部分电容：
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将（2-9-2）改写成：
第二章 2.9
q1 (11 12 1N )1 12 (1 2 ) 1N (1 N ) C111 C12 (1 2 ) C13 (1 3 ) C1N (1 N )
即
q1 C11U10 C12U12 C13U13 C1NU1N
设N个导体所带电量分别为 q1 N个导体的电位分别为
,q2 ,,qN
；
1 , 2 , 3 , N 。
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第二章 2.9
则
1 p11q1 p12 q2 p1N qN
2 p21q1 p22q2 p2 N qN
（2-9-1）
N pN1q1 pN 2q2 pNN qN
h r 1 h r2 C dC dr ln r r r1
2 1
F
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第二章 2.9
二、部分电容：
三导体系统：如图，若在一平行板电容器中置入一金属 球，由于静电感应，面对正极板的一侧带负电，而面对 负极板的一侧带正电，其结果将使平板电容器正负两极 板间的电位差变小，而极板上总电荷量仍维持不变。电 容增大。
互易
7
pij (i j ) 为互电位函数。
且 pij p ji
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第二章 2.9
求解方程组（2-9-1）得：
q1 111 122 1N N
７ （2-9-2）
q2 211 222 2 NN qN N11 N 22 NNN
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第二章 2.9
方法二: 若 很小,电容器的径向尺寸比其极 板的距离大许多.可近似认为电容器由许 多个小平行板电容器并联而成,令小电 容器宽度为dr ,高度为h ,则极板间隔 和面积分别为 d r
dr
r
由定义
dS hdr dS hdr dC d r
则总电容为
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4 0 ab C12 C21 12 ba
p 0,
1
又
p
存在.
1
1 1 p [ 2] 2 ( 4 0 ) ab b
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第二章 2.9
求 p 的代数余子式：
1 a 1 p 1 4 0 b 1 b 1 # p 1 4 0 b
即
pii pij
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q P
10
为电位系数，只与导体的形状、尺寸、位置及周围介质有关。
7
第二章 2.9
其中 pii 为自电位函数；
电位系数的物理意义：
pii 是除导体 i 以外，其余导体均不带电时，其自身
电位与电量之比。
即
pii
i
qi
ii
q1 q2 qi 1 qi 1 q N 0
例：如图所示的三心电缆。当三根心线用细导线连接在一 起时，测得它与外壳之间的电容为 0.054F ;当两根心线 与外壳连接时,测得另一心线与外壳之间的电容为 0.036F, 试求各部分电容.
解:
当三根心线用细导线连接在一起时， 测得它与外壳之间的电容为 0.054F
C11 C22 C33 0.054F
当 qi 1C 时，pii
i
。
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pij是除导体 j 以外，其余导体均不带电时，
其 i 导体的电位与 j 导体所带电量之比。
第二章 2.9
即
pij
i
qj
q1 q2 q j 1 q j 1 q N 0
当 q j 1C 时，
pij i 。