《金融数学》(第二版)公式汇总

孟生旺《金融数学孟生旺《金融数学》》（第二版）
公式汇总
∎复利的累积函数：0()()d ()(1)1(1)1e e t s mt mt m m t t t s
i d a t i d m m δδ−−=+=+=−=−=∫⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∎单利的累积函数：()1a t it
=+∎各种利息度量工具之间的关系：
（1）)1(i i d +=v i ⋅=()11n n d n ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦
（2）)1(d d i −==()11m m i m +−⎡⎤⎢⎥⎣
⎦e 1δ=−（3）d
v −=1（4）i d id
−=（5）()1(1)1m i m i ⎡⎤=+−⎣⎦
（6）()111(1)(1)n n n d n d n v ⎡⎤=−−=−⎣⎦
（7）()()11m n
m n i d m n −+=−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
（8）)1ln(i +=δ
∎期末付复递增年金的现值：11n j
PV a r =+末∎期初付复递增年金的现值：n j PV a =̇̇初，其中r 表示年金增长率，1i r j r
−=+。

∎若i r =，则有：1n PV r
=+末，PV n =初。

∎币值加权收益率的近似公式：)
1(0t C A I
i t t −+≈∑∎时间加权收益率的一般公式：1/121(1)(1)(1)1T n i j j j +éù=+++-ëû⋯；如果投资期为1年，即T ＝1，则该年的时间加权收益率可以表示为121(1)(1)(1)1n i j j j +=+++-⋯，其中k j 是第k 个时间区间的时间加权收益率。

∎在等额分期偿还方法中，借款人每次偿还的总金额为R ，其中支付的利息为I k ，偿还的本金为P k ，未偿还本金余额为L k 。

它们的计算公式为：
（1）i
n a L R |0
=（2）I k =R (1–v n–k +1)=i
k n iRa |1+−（3）P k =R v n–k +1=i
n a L |01+−k n v （4）L k =L 0(1+i )k –R k s |（过去法）=R i k n a |−（将来法）
∎在等额偿债基金方法中，借款人每期支付的利息金额为I =iL 0，向偿债基金的储蓄额为D
=j
n s L |0，总的付款金额为I +D ，偿债基金在第k 期末的余额为j k s D |⋅，贷款净额为L 0–j k s D |⋅。

当偿债基金的利率与贷款利率相等时，等额偿债基金方法与等额分期偿还方法等价，即有下述关系式：
（1）I +D =R
（2）D =R –iL 0
（3）L 0–j k s D |⋅（贷款净额）=R k n a |−（未偿还本金余额）
∎债券在息票支付日期的价格和账面值可按下述四种方法求得：
（1）基本公式：P =rF n a +C v n
（2）溢价公式：P =C +(rF –iC )n a =C [1+(g –i )n a ]
（3）基价公式：P =G +(C –G )v n
（4）Ma k eham 公式：()g P C K K i
=−+∎债券在相邻两个息票支付日期之间的价格：0
=(1)t t P i P +∎债券在相邻两个息票支付日期之间的账面值可按下述三种方法计算：
（1）理论方法：t P ~=(1+i )t P 0–]1)1[(−+t i i
rF （2）半理论方法：t P ~=(1+i )t P 0–trF
（3）实践方法：t P ~=(1+ti )P 0–trF
∎优先股的价格：i
D
P =∎普通股的价格：∑∞
==1t t
t D v P
∎如果股息的增长率是一个常数r ，则普通股的价格：1
D P i r
=−∎股票远期合约的价格如下：
无股利：()
e r T t F S -=离散股利：()()e
r T t F S D −=−连续股利：()()
e
r T t F S δ−−=∎互换利率：*1
1
e e
i i i i n r t i i n r t i k k −=−==∑∑∎看涨期权与看跌期权之间存在如下的平价关系：()e r T t C K P S
−−+=+∎马考勒久期：()00e 1/()()mt
t
t t
t t tR tR y m P MacD P P P
δδδ−−>>+′=−==∑∑∎修正久期：()()1/P y MacD ModD P y y m
′=−=+∎有效久期：()
02P P EffD P y −+
−=∆∎凸度：20()11(1()()mt t t P y y C t t R P y P y m m −−>⎡⎤′′⎛⎞==++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦
∑∎马考勒凸度：22001()mt
t
t t t t y t R t R e P m MacC P P P δδ−−>>⎛⎞+⎜⎟′′⎝⎠===∑∑
∎有效凸度：()
()020
2P P P EffC y P +−+−=∆∎债券组合的久期：1n k k k P D
D P ==∑̃∎债券组合的凸度：1n
k k k P C C P ==∑
̃∎债券价格与收益率的近似关系：2
%()0.5()P P y y P
久期凸度∆∆=≈−⋅∆+⋅⋅∆∎实施免疫策略的三个条件是：（1）资产的现值等于负债的现值。

（2）资产的久期等于负债的久期。

（3）资产的凸度大于负债的凸度。

∎实施完全免疫策略的三个条件是：（1）资产的现值等于负债的现值。

（2）资产的久期等于负债的久期。

（3）资产到期时间处于负债到期时间之前和之后。

∎若令资产的价格为P ，t 时刻的现金流为t C ，实际的年到期收益率为y ，即期利率为r t ，远期利率为f t ，则有：
000011(1)(1)(1)(1) (1)
t t t t t t t t t t C C C P y r f f f >>>−===+++++∑∑
∑1
t r =−111(1)1(1)t
t t t t r f r −−−+=−+。