电磁场与电磁波 第四章答案

该方程的解为 令
r C1 ln r C2
a V0 , b 0,
5
求 得 常 数 C1
V0 。那么，电场强度为 b ln a V d 0 er b dr r ln a
E r
电流密度为
J E
V0
b r ln a
er
电流强度为
C4 e
ln b e b 2 c ln ln c 1 a
代入上式，得
1
ln r c b ln 1 ln a 2 c ln r b c ln 2 ln c 1 a
ee
ln a c b ln 1 ln a 2 c ln b e
e
2
e
C1 ln c C2 C3 ln c C4
1
d 1 dr
2
r c
d2 dr
r c
联立上式，求得
C1 e c b ln 1 ln a 2 c
；Hale Waihona Puke Baidu
C2 e
ln a c b ln 1 ln a 2 c
e
C3
e ； b 2 c ln ln c 1 a
I J d S 2
0

d
V0
b a ln a
0
a d d z
dV0
b 2 ln a
由此求得两个表面之间的电阻为
b 2 ln V a R 0 I d
4-6 若 两 个 同 心 的 球 形 金 属 壳 的 半 径 为 r1 及 r2 (r1 r2 ) ， 球
（ 3） 单 位 体 积 中 的 损 耗 功 率 的损耗功率为
Pl E 2 ，那 么 ，导 线
P E 2r 2 L 1W
4-2
设 同 轴 线 内 导 体 半 径 为 a， 外 导 体 的 内 半 径 为 b，
填充媒质的电导率为 。根据恒定电流场方程，计算单 位长度内同轴线的漏电导。 解 设 r a时, V ; r b时， 0 。建 立 圆 柱 坐 标 系 ，则 电 位应满足的拉普拉斯方程为
1
1 4
Q Q a d a ， 1 1
2
1 4
Q Q a d a 2 2
则两球之间的电位差为
U 1 2
Q 4
1 1 1 1 a a d a d a 2 1 2 1
1
解 （ 1 ） 由 V IR ， 求 得 由
R
R
6 36 1/ 6
，求得导线的电导率为 S

10 3 RS 36 0.5 10 3


2
3.54 10 7 S m
（ 2） 导 线 中 的 电 场 强 度 为
E V 6 3 6 10 3 V m 10
第四章
静电场
重点和难点
主要介绍电流的种类， 理想导体和理想介质， 电动势， 电流连续性原理以及能量损耗等。 关于恒定电流场与静电场的比拟可以略去。
重要公式 在无外源的导电媒质中，恒定电流场方程： 积分形式： 微分形式：

J
l

dl 0
J dS 0
S
J 0
4-5 已 知 环 形 导 体 块 尺 寸 如 习 题 图 4-5 所 示 。
试 求 r a与 r b两 个 表 面 之 间 的 电 阻 。 Y d (r, r ) X b
0

a
习 题 图 4-5 解 建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为
2 1 d d r 0 r dr dr
r = b 表面上面电荷密度为
sb 2 E 2 n
2 1e
c b 2 ln 1 ln bL a c
r = c 表面上面电荷密度为
1 2 2 1 e 1 sc 1 2 E1n c b 2 2 ln 1 ln cL a c
恒定电流场的能量损耗：
题
解
4-1
已 知 一 根 长 直 导 线 的 长 度 为 1km ， 半 径 为 0.5mm ，
1 A， 试 求 ： 6
当 两 端 外 加 电 压 6V 时 ， 线 中 产 生 的 电 流 为
① 导 线 的 电 导 率 ；② 导 线 中 的 电 场 强 度 ；③ 导 线 中 的 损耗功率。
2 1 d d r 0 r dr dr
求得同轴线中的电位 及电场强度 E 分别为
V ln ln

r b
a b
E
1 r
V er a ln b
则
J E
1 V er r a ln b
质电导率为 ，根据电流场方程，计算单位长度内双导 线之间的漏电导。 解 设 双 导 线 的 两 根 导 线 上 线 电 荷 密 度 分 别 为 + 和 ， 利用叠加原理和高斯定理可求得两导线之间垂直连线上 任一点的电场强度大小为
E
2
1 1 r Dr
那么，两导线之间的电位差为
V
d a a
E dr
Da ln a
单位长度内两导线之间的电流大小为
I J d s E d s
s s
D a
D
则单位长度内两导线之间的漏电导为
G 1 I R V
D
Da D a ln a
6
两球壳之间的电流为 两球壳之间的恒定电场为 两球壳之间的电位差为
I J d s 4 0 C1k
s
E
J


C1 k er r r k
U E dl
r2
r1
C1 k r r k d r C1 ln 2 1 r r k r1 r2 k
d d 1 r 0 1 C1 ln r C 2 dr dr d d2 r 0 2 C3 ln r C 4 dr dr
根据边界条件，得知
1 a e C1 ln a C2 ； 2 b 0 C3 ln b C4
S m
若 D a 则 单 位 长 度 内 双 导 线 之 间 的 漏 电 导 为
G

D ln a
S m
4-4
已 知 圆 柱 电 容 器 的 长 度 为 L ，内 外 电 极 半 径 分 别 为
a 及 b， 填 充 的 介 质 分 为 两 层 ， 界 面 半 径 为 c。 在 a r c 区 域 中 ， 填 充 媒 质 的 参 数 为 1 1 ； 在 c r b 区 域 中 ， 媒 质 参 数 为 2 2 。 若 接 上 电 动 势 为 e 的 电 源 ， 试 求 ： ① 各 区域中的电流密度； ② 内外导体表面上以及介质表面上
单位长度内通过内半径的圆柱面流进同轴线的电流 为
I J d s
s
2 V a ln b
2
那么，单位长度内同轴线的漏电导为
G 1 I 2 S m R V a ln b
4-3
设 双 导 线 的 半 径 a， 轴 线 间 距 为 D， 导 线 之 间 的 媒
2
电位差
U E dl R
r2
r1
C1 C 1 1 dr 1 2 r r1 r2
因此电阻
1 1 U 1 I 2 1 cos 0 r1 r2
7
4-8 若 上 题 中 电 导 率 0
求得两球壳之间的电阻为
R
r r k U 1 ln 2 1 I 4 0 k r1 r2 k
4-7 已 知 截 断 的 球 形 圆 锥 尺 寸 范 围 为 r1 r r2 ，0 0 ， 电 导 率 为 ，试 求 r r1 及 r r2 两 个 球 形 端 面 之 间 的 电 阻 。 解 由于两个球形端面之间的导电媒质是均匀的， 因此由 上例获知
k 壳 之 间 填 充 媒 质 的 电 导 率 0 1 ， 试 求 两 球 壳 之 间 r
的电阻。
J J 解 对 于 恒 定 电 流 场 ，因 0 ，可 令 。将 其
代入 J 0， 得
0
若 两 个 半 径 为 a1 及 a 2 的 理 想 导 体 球 埋 入 无 限 大 的
导 电 媒 质 中 ，媒 质 的 电 参 数 为 及 ，两 个 球 心 间 距 为 d ， 且 d a1 ， d a 2 ， 试 求 两 导 体 球 之 间 的 电 阻 。 解 设 两 球 携 带 的 电 荷 分 别 为 Q 和 -Q ， 考 虑 到 两 球 相 距 很 远 ， d a1 , d a2 ， 两 球 表 面 电 荷 分 布 可 视 为 均 匀 。 因此，两球的电位分别为
2 0
那么
C d 2 d r 0 1 C2 ； dr dr r
求得
电流密度 J
C1 er ； 电 场 强 度 r2
E
C1 er r 2
那么，电流
I J ds
s
2
0

0
C1 r1
2
0
r1 sin θ d d 2 1 cos 0 C1
b c ln 2 ln c 1 a
4
J 1 J 2 1 E1
1 2 e
c b 2 ln 1 ln rL a c
er
(2)
r = a 表面上面电荷密度为
sa 1 E1n
1 2 e
c b 2 ln 1 ln aL a c
J 0
在均匀导电媒质中，恒定电流场方程： 积分形式： 微分形式：
J dl 0
l
J dS 0
S
J 0
J 0
恒定电流场边界条件： 恒定电场边界条件：
J 1t
1

J 2t
2
J 1n J 2 n
E1t E2t
pl E J
1 E1n 2 E2n
建立球坐标系，上式展开为
1 d 2 k d r 0 1 0 r2 dr r dr
该方程的解为
C1 ln
r C2 rk
那 么 ， 求 得 电 流 密 度 为 J
Ck C1k 0 2 1 er r r k r
电场强度 电流
E


I J ds
s
2
0

0
0 C1r1
r1
2
0
r1 sin θ d d 2 1 cos 0 0 C1r1
2
电位差
U E d l C1 ln R
r2 r1
因此电阻 4-9
r U 1 ln 2 I 2 1 cos 0 0 r1 r1
3
的驻立电荷密度。 解 (1) 建 立 圆 柱 坐 标 系 ，则 电 位 应 满 足 的 拉 普 拉 斯 方 程 为
2 1 d d r 0 r dr dr
忽 略 边 缘 效 应 ， 设 媒 质 ① 和 媒 质 ② 内 的 电 位 分 别 为 1 和
2， 那 么
r1 ，再求两球面之间的电阻。 r
解 由于媒质是非均匀的，那么由
0
求得
d 2 0 r1 d r 0， dr r dr
C1 ln r C2
J C1 J C1 er r
电流密度
Cr er 0 2 1 er r r