高等数学课题

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问题一一年中哪一天白天最“长”

据资料记载，某地某年间隔30天的日出日落时间如下：

5月1日5月31日6月30日

日出4：51 4：17 4：16

日落19：04 19：38 19：50

请问，这一年中哪一天白天最“长”？

前言：此课题研究的动机及意义

函数的表达通常有三种，表格法、图形法、公式法，通过阅读课题内容，我们易看到，原题只是给出了三组离散数据，可进一步通过表格法表示出来，这是在描述事物之间的关系时用到的简单方法。而此课题中的问题要求必需构造出连续的函数表达式，用于表达一个普遍性的结论，从而找出特例。由一些简单的离散数据到连续函数表达式的转换，我们便联系到“插值函数”的问题。关于天数和时长的原函数会比较复杂，所以只能构造“近似函数”。

所以此课题的意义在于对“拉格朗日插值问题”的研究。

研究分析：

首先先了解“插值函数”，当精确函数y=f(x)非常复杂或未知时，在一系列节点处x0,x1,…xn处测得函数值y0=f(x0),…,yn=f(xn),由此构造一个简单易算的函数：p(x) ≈f(x)，满足条件：p(xi)=f(xi),(i=0,…n),则，p(x)就称为f(x)的插值函数。“插值函数”包括泰勒插值、拉格朗日插值等，这里我们主要研究，拉格朗日插值问题。

所谓“拉格朗日插值”就是求作n次多项式pn(x),使满足条件

pn(xi)=yi （ i=0,1, … , n ）（点xi 称为插值节点）。几何上其实质是通过n+1个点（xi ，yi ）（i=0、1、2...n)的多项式曲线y=pn （x ）当做曲线y=f （x)的近似曲线。如图：

关于一次拉格朗日插值多项式：已知函数y=f(x)在点x0,x1上的值为yo,y1，要求多项式 y=p1(x)，使 p1(x0)=y0,p1(x1)=y1。其几何意义，就是通过两点 的一条直线。由直线两点式可知，通过A ，B 的直线方程为:

注意插值特点，接下来我们就把插值推广到N 次。求n 次多项式

， k = 0, 1,…, n 则

即pn(x) 满足插值条件 ,根据lk(x)的表达式,xk 以外所有的结点都是

lk(x)的根,因此令 又由 ,得，

0011(,),(,)A x y B x y )()(00

10101x x x x y y y x p ---+=()k l x ⎩⎨⎧≠==i k i k x l i k ,0,1)(i i n

k k k i n y x l y x P ==∑=)()(10111()()()()()()k k k n l x x x

x x x x x x x x λ-+=-----∏≠=-=n k

j j j x x 0)

(λ()1k k l x =)

())(())((11110n k k k k k k k x x x x x x x x x x -----=+- λ

从而得n 阶拉格朗日（Lagrange ）插值公式：

当n=2时，有

现在回到课题内容，设由5月1日开始计算的天数为x ，5月1日看做第0天，再设白天每一天的长度为14小时13分+T ，于是天数和它的长度可以用（x,T ）表示，有记载的三天数据对应于点（0，0），（30，68），（60，81）将它们带入三点拉格朗日插值公式中，得 T=[x(-55x+5730)]/1800,通过求导的T 的极大值，得x=52.09，所以最长的一天是5月1日后的第52天即6月22日，再由T=83得出这天日出日落的时间差为15小时36分。

研究结果讨论：

拉格朗日插值问题是在误差允许的情况下实现的，一般在研究过后都要进行误差分析。课题中只是运用到基本的三点拉格朗日插值公式，但只有对拉格朗日插值公式的本质特征进行学习才能更好的运用。尤其是要知道拉格朗日插值公式的N 次表达式，以便更好的运用到实际中去。

问题四 Koch 雪花曲线 设有单位边长的正三角形，将其每边三等分，以中间13段为边向外作)())(())(()())(())(()(11101110n k k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=+-+- ∏≠=--=n

k j j j k j x x x x 0k n k n k j j j k j k n k k n y x x x x y x l x P ∑∏∑=≠==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==000)()(2120210121012002010212y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x p )

)(())(())(())(())(())(()(----+----+----=

正三角形.每一条边生成四条新边，新边长为原边长的1

，同时生成3

3

个新三角形.把这个过程无限继续下去，所形成的图形称为Koch 雪花曲线.问“Koch 雪花”的面积是多少？

前言：此课题的动机及意义

Koch曲线，亦称科赫曲线(de:Koch-Kurve)，此课题通过对“Koch 雪花曲线”这一问题的研究探索，使学生通过数列极限的求法更深入的发现一些特别规律，延伸问题的宽度，使学生对分形几何学及其基本特征自相似性、迭代算法、分形维度等内容有所了解。

研究分析:

作为一种数学曲线Koch曲线首先由瑞典数学家Helge von Koch 在1904年发表的一篇题为“从初等几何构造的一条没有切线的连续曲线”中提出，也是早期被提出的一种分形曲线。

下面将通过高中所学的数列的递推公式及递推、极限等思想对问题进行解答。欲求凹多边形的面积，关键在于寻找其中的规律性，计算每次增加了多少个小三角形，以及每个小三角形的面积是多少。设第n条曲线的长为L n，所围的面积为A n。