一类非线性时滞系统控制器的设计

价 值 和实 际意 义． 文献［ １ ］ ～［ ４ ］ 都 是 利 用 鲁 棒 控 制来 研 究 非 线 性 系 统 的 稳 定性 ， 得 出 了一 些重 要 的结
论． 文献 ［ ５ ］ 通过设 计 状 态反 馈控 制器 得 出一 类 非 线 性 系统 指 数 稳定 的充 分 条件 ， 但 它没 有 考 虑 到 时滞
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３ － ０ ６ — ２ ２
－
基金项 目： 国家 自然科学基金 （ ６ ０ ８ ６ ４ ０ ０ １ ） 通 讯作者简介 ： 王 汝凉 ， 男， 广西北海人 ， 教授 ， 博士， 研究方 向 ｔ 非线性 时滞 系统及神 经网络
第 ３期
张珊珊 ， 等： 一 类 非 线 性 时 滞 系统 控 制 器 的设 计
Ｓ ｅ ｐ ． ２ ０ １ ３
、 ｒ ０ １ ． ３ Ｏ Ｎｏ ． ３
第３ ０ 卷 第 ３期
文 章编 号 ： １ ０ ０ ２ － ８ ７ ４ ３ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ０ ０ ０ ４ — ０ ４
一
类 非线 性 时滞 系统 控 制 器 的设 计
张 珊 珊 ， 王 汝 凉 ， 黄 威 ， 孙 环 龙
中圈分类号 ： Ｏ２ １ ２ 文献标识码 ： Ａ
１ 引 言
目前 ， 有 关 时滞 系 统 的研 究 已经 延伸 到非 线性 系统 ， 众所 周 知 ， 系统 时滞 与状 态 的稳定 性 密不 可分 ， 稳 定性 是保 证一 切实 际 系统 正常 运行 的基 木 条件 ． 所以， 研 究非 线性 时滞 系统 的稳定 性 具 有一 定 的 理论
如 果 Ｒ—Ｒ ≥Ｏ ， Ｑ＝ ： ＝ Ｑ ２ ＞ ０ ， 矩 阵 Ａ 是 Ｈｕ ｒ ｗｉ ｔ ｚ的 ， 且 相伴 Ｈａ ｍｉ ｌ ｔ ｏ ｎ ｉ ａ ｎ矩阵
，Ａ Ｒ 、
Ｈ ＝ ： ＝ 【 一 Ｑ— Ａ ｔ ）
是双曲的， 即 Ｈ 没 有纯 虚数 特征 值 ， 则式 （ ２ ） 存 在 唯一 正定解 Ｐ：Ｐ ＞０ ．
３ 状 态 反 馈 控 制 器 的设 计
本 文 主要 研究 满足 假设 １ 及 假设 ２的系 统 （ １ ） 的状 态反 馈镇定 问题 ． 对系统（ １ ） 设计 如下 控 制律 ：
Ｕ＝一Ｋ ｘ （ ） ／ Ｉ ｌ Ｂ｝ ｌ 。 一Ｋ Ｘ （ ） ，
阵； 盯 ｍ ． （ Ｍ） 表 示矩 阵 Ｍ 的最小 奇 异值 ； 矩 阵 Ｍ 的奇 异 值 的平 方 是 矩 阵 Ｍ Ｍ 的特 征值 ； ｄ ｅ ｔ （ Ｍ） 表 示
矩 阵 Ｍ 的行列 式 ．
２ 问题 描 述
考虑 非线 性 状态 时滞 系统
（ ￡ ）一 Ａ ｘ（ ￡ ）＋ Ａ １ （ ￡ 一 ）＋ Ｂｕ ＋ Ｇｙ（ Ｈｘ（ ） ）＋ Ｉ Ｄ （ ， ）
２ ０ １ ３年 ９月
广 西师范掌院学报 ： 自然 科 学 版
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇｕ ａ ｎ ｇ ｘ ｉ Ｔｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ Ｅｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ： Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ
问题． 本 文 是在 文献 Ｅ ｓ ］ 的基 础上 ， 通 过状 态反 馈 控 制器 的设 计 ， 并利用 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ稳定 性 定 理 和线 性 矩
阵不 等式工 具来 研 究非 线性 时滞 系 统 的稳 定 性．
全文符号说明如下 ； ｌ Ｍｌ ｌ 表示矩 阵或 向量 Ｍ 的欧几里德范数 ； Ｍ”表示矩阵 Ｍ 的复共轭转 置矩
Ｉ — Ｃ ｘ （ ￡ ）
（ ｔ ） ＝ （ ） ， ｔ∈ ［ 一 ｒ， Ｏ ］
（ １ ）
的状 态 反馈 控制 器 的设 计 问题 ， 其 中 ∈Ｒ 为状态 向量． ｔ ‘ ∈Ｒｐ为控 制输 入 ， 。 ， ＥＲ 为 系统输 出 ， ｆ＞Ｏ 为状 态 时滞 ． （ ） ， ∈［ 一 ｒ， Ｏ ］ 为 向量 初 始 函数 ， 矩阵 Ａ， Ａ１ ， Ｂ， Ｃ， Ｈ， Ｇ 均 为适 当维数 的 常值矩 阵 ； 映 射ｒ ｔ Ｒ 一Ｒ ， 』 Ｄ ： Ｒ ｑ － － ￣ Ｒｐ ， 不失 一般 性 ， 假设 ＝０是 系统 （ １ ） 的平衡 点 ．
（ 广西师范学院 ａ ． 数 学科学学院Ｉ ｂ ． 计算机与信息工程学院， 广西 南宁 ５ ３ ０ ０ ２ ３ ）
摘 要 ： 研究 了一类非 线性时滞系统 的状态 反馈 控制器 的设 计 问题． 利用 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ稳定 性定理 和 Ｌ ＭＩ 技术 ， 给 出了非 线性时滞系统在所设计 的状态反馈 控制器 的控制下指 数稳定的充分条件． 关键 词 ： 非线性 Ｉ 时滞系统 ｌ 状态反馈 。 控 制器
首 先 给 出如下 假设 。
假 设 １ 矩 阵对 （ Ａ， Ｂ） 是 能 控 的． 假设 ２ 存 在 常数 ’ ， ｌ ＞Ｏ ， ｙ ２ ＞ Ｏ使得
ｌ Ｉ ｒ （ Ｈ ｘ ） Ｉ Ｉ ≤ｙ ｉ ｌ ， Ｖ ∈Ｒ ，
Ｉ Ｉ ｐ （ ｙ ， ） Ｉ ｌ ≤ｙ ２ Ｉ ｌ Ｉ ｌ ， Ｖ ∈Ｒ ．
（ ｉ ） Ｓ＜ ０
（ ｉ ｉ ）Ｓ ２ ２ 一Ｓ Ｔ ２ Ｓ 五 Ｓ １ ２ ＜Ｏ
（ ｉ ｉ ｉ ）ｓ ｌ １ 一Ｓ １ ２ Ｓ Ｓ Ｔ ２ ＜０ ．
引理 ２ ｃ 对 于代 数 Ｒｉ ｃ ａ ｔ ｔ ｉ 方程
Ａ Ｐ ＋ ＰＡ ＋ ＰＲＰ ＋ Ｑ 一 ０， （ ２ ｌ— Ｍ
（ Ｍ ， Ｎ， Ｏ）＝ ｒ ａｉ ｎ ｉ
∈ Ｒ
Ｎ
ｉ Ｏ
其 中： ｉ ＝厅
引理 １ ㈨
， 为适当维数 的单位矩阵．
对 给定 的 对称矩 阵 Ｓ一
茎 ， 其 中 ｓ 是 ｒ × ｒ 维 的 ， 以 下 三 个 条 件 是 等 价 的 ：