第八章 联立方程模型

第八章联立方程模型
第1节、联立方程模型的概念
1、什么是联立方程模型
联立方程模型是相对于前面所学的单一方程模型提出的。

单一方程模型中只含有一个被解释变量和若干个解释变量，这类方程最大的特征是，它只能描述经济变量之间的单向因果关系，即解释变量是因，被解释变量是果，例如Y=β0+β1X+u表示收入对服装支出的影响，收入是因，服装支出是果，而且这种因果关系是不可逆转的，不能用这个方程又解释服装支出对收入的影响。

但是，经济现象是错综复杂的，许多经济变量之间存在着交错的双向或多向因果关系，是相互依存，互为因果的。

例如，收入影响消费，消费反过来也影响收入；价格影响着商品的需求和供给，反过来，商品的需求和供给关系又影响着商品的价格。

因此，要想描述清楚一个经济系统中各个变量之间的关系，就需要用一组方程才能描述清楚。

联立方程模型：同时用若干个模型去表示一个经济系统中经济变量相互联立依存性的模型。

例如：由国内生产总值（Y）、居民消费总额（C）、投资总额（I）、和政府开支（G）等变量构成的简单的宏观经济系统：
如果我们把政府开支（G）有系统外部实现给定，那么，就国内生产总值、居民消费总额、投资总额之间是互相影响并互为因果的。

可以建立如下模型：
Yt=Ct+It+Gt
Ct=a0+a1Yt+u1t
It=β0+β1Ytβ2Yt-1+μ2t
其中第一个方程表示国内生产总值由居民消费总额、投资总额和政府开支共同决定，在假定进出口平衡的情况下，是一个衡等方程；第二个方程表示居民消费总额由国内生产总值决定；第三个方程表示投资总额由国内生产总值和前一年的国内生产总值共同决定。

这就是一个简单的描述宏观经济的联立方程模型。

2、联立方程模型的特点
1、模型中不止一个应变量，有M个方程可以有M个应变量；
2、应变量和解释变量之间不仅是单向的因果关系，可能是互
为因果；
3、解释变量有可能是随机的不可控变量，比如上例中，居民
消费总额和投资总额是随机变量，而国内生产总值由他们决
定，因此国内生产总值不是确定性的变量，它作为居民消费的
解释变量，就是随机的变量。

4、解释变量可能与随机扰动项相关，违反了OLS基本假定
（回忆以下P24：解释变量是非随机的，或与随机扰动项不相
关）
居民消费C与U1相关，国内生产总值又由C决定，因此，Y也与u1相关。

3、联立方程模型中的内生变量、外生变量和前定变量（先决变
量）
单一方程模型中，解释变量与应变量的区分十分清晰；但在联立方程模型中，同一变量可能既是应变量又可能是解释变量，。

如果只是区分解释变量与被解释变量意义不大。

因此，需要对变量重新进行分类：
1、内生变量：由模型系统决定的随机变量。

既影响系统同时
又被系统影响，如国内生产总值、消费总额、投资总额，在联
立方程模型中，内生变量既是某个单方程的被解释变量，也可
能是某些方程的解释变量；但在单方程模型中，内生变量就是
被解释变量。

2、外生变量：由模型系统以外的因素决定其取值的确定性
变量。

外生变量影响系统，但本身不受系统的影响，因此只能
做解释变量，如上例中的政府开支。

无论是在联立方程模型
中，还是在单方程模型中，外生变量只能是解释变量。

3、前定变量：外生变量和滞后的内生变量统称前定变量或
先决变量。

如上例中的Yt-1就是滞后的内生变量。

意义：区分内生变量和外生变量对联立方程模型的估计和应用有重要意义
4、联立方程偏倚
由于用OLS估计时是假定解释变量与随机扰动项不相关。

但在联立方程模型中，由于解释变量与随机扰动项之间相关，违反了这一假定，如果用OLS法去估计参数，得到的估计量是有偏的，这称为联立方程偏倚。

因此，一般情况下，OLS法不适合于估计联立方程模型。

5、联立方程模型的类型
划分的目的：为便于讨论模型的识别问题
划分标准：以变量间的联系形式
1、结构式模型
根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接关系结构的计方程系统称为结构式模型。

如上面的例子就是一个结构式模型。

也就是将某内生变量直接表示为内生变量和前定变量的函数。

如果结构
模型中方程个数与内生变量个数相同，则称为完备的结构式模型。

结构方程中变量的系数称为结构参数，所有的结构参数组成的矩阵称为结构参数矩阵。

一个完备的结构式模型可以用矩阵表示为：BY+ГX=U 其中，Y表示内生变量矩阵，上例中Y=B表示内生变量的结构参数矩阵。

X表示先决变量矩阵，Г表示前定变量结构参数矩阵。

作用：
其参数表现了解释变量对应变量的直接影响，可直接分析解释变量变动对应变量的作用，但由于存在联立方程偏倚，系数估计面临困难。

说明结构式模型具有经济分析的意义，而缺乏经济计量的意义。

2、简化式模型
指将联立方程模型的每个内生变量表示成只有前定变量和随机扰动项的函数，所形成的模型称为简化式模型。

简化式模型中每个方程称为简化式方程，方程的参数称为简化式参数，用П表示简化式参数，于是简化式模型的矩阵形式为：
Y=ПX+E
由结构式模型进行变换：
简化式模型的作用：
1、 简化式模型中每个方程的解释变量全是前定变量，从而避免了联
立方程偏倚，可以使用OLS方法估计；
2、 简化式模型中的参数是原结构模型参数的函数，由估计的简化式
模型参数，有可能求解出结构式参数；
3、 简化式反映不出经济变量之间的结构，因此不能直接作结构分
析。

特例：递归模型：结构式模型的一种特殊形式：第一个方程中解释变量只包含前定变量；第二个方程中解释变量中只包含前定变量和前一个方程中的内生变量；第三个方程中解释变量只包含前定变量和前两个方程的内生变量；以此类推。

就是递归模型。

特点：每个模型都可以直接运用OLS法，依次估计一个方程，逐步得到全部参数估计值，并且不会产生联立偏倚。

第二节 联立方程组模型的识别
1、识别的概念
如有以下3个方程构成的简单宏观经济模型：
C=a0+a1Y+u1（1）
I=β0+β1Y+μ2 （2）
Y=C+I （3）
这个模型显然具有合理的经济学解释和背景，（1）和（2）的方程的参数应该是唯一的。

现在对（2）和（3）进行变换，目的是消去I，则有：
C=-β0+（1-β1）Y-μ2 （4）
可以看见，方程1是包含C、Y和常数项的方程，而新方程同样是包含C、Y和常数项的线性方程，现在问题出来了，当我们用C、Y的样本观测值进行参数估计后，所得的参数估计量到底是方程1的还是4的呢？既然有两个方程，那得到的参数估计量的经济含义是否是唯一的呢？——这就是所谓的识别问题。

从计量经济学模型的观点看，我们前面说了，由于联立方程的结构式模型存在联立偏倚的问题，无法用OLS进行估计，只有简化式模型，因为解释变量中只有前定变量和随机扰动项，才能进行OLS估计，但为了分析经济的结构，最终我们必须由简化式模型得出的估计量导出结构式模型的参数。

所谓的识别，就是指是否能从简化式模型参数估计值中导出结构式模型的参数估计值。

注意：
1、 识别是针对有参数要估计的模型，定义方程、恒等式本身没有识
别问题；
2、 联立方程必须是完备的，模型中内生变量的个数与模型中独立方
程的个数相同；
3、 联立方程中每个方程都是可识别的，整个联立方程才是可识别
的。

2、 识别的分类
我们知道，利用简化式参数估计值来求解结构式参数估计值，存在三种情况，即有唯一解，有多个解，无解，这取决于结构方程，因此，据此可将结构方程分为三类：
1、 不可识别
从掌握的信息，通过简化模型参数估计值无法得到结构方程的参数估计值，则称该结构方程不可识别。

如果一个模型系统中存在一个不可识别的方程，则认为该联立方程模型是不可识别的。

原因：信息不足，没有解
2、 恰好识别
如果通过简化模型参数估计值可以唯一确定各个结构模型的参数估计值，则称该结构方程恰好识别。

原因：信息恰当，有唯一解
3、过度识别
如果由简化模型参数估计值虽然可以确定结构模型参数，但是不能唯一地确定（可得出两个或两个以上的结果），则称该结构方程过度识别。

原因：信息过多，有解但不唯一。

结论：
1、方程不可识别的原因是一个方程与模型中其他方程具有相同的统计形式。

（一个方程的统计形式在模型中不唯一）
所谓的统计形式，是指变量和方程关系式。

所谓的统计形式的唯一性，是指结构模型中的某个方程，同模型的其余任何一个方程，以及任意的线性组合方程所包含的内生变量或前定变量不完全相同。

如前面的例子中，出现了两个包含Y和常数项的方程，则统计形式不具有唯一性，因此是不可识别的。

2、一个方程能否识别依赖于模型中其他方程所含变量的个数。

3、一个结构方程的识别状况，决定于不包含在这个方程中，但包含
在模型其他方程中变量的个数：
这类变量过少——不可识别
这类变量过多——过度识别
这类变量适度——恰好识别
3、模型识别的条件
从识别的概念出发，可以对联立方程模型的识别状态进行判断，但这样做是非常费事的。

下面介绍的这种直接从待判断的结构方程出发的规范程序，称为识别的阶条件和秩条件。

1、识别的阶条件——识别的必要条件（满足它不足以判断可识
别，但违反了它，则可以判断不能识别）
思想：一个结构方程的识别，取决于不包含在这个方程中，而包含在模型其他方程中的变量的个数，可从这类变量的个数去判断方程的识别性质。

方法：
先引入符号：
M=联立方程模型中内生变量的个数（即方程的个数）
mi=模型中第i个方程中包含的内生变量的个数
K=联立方程模型中前定变量的个数
ki=模型中第i个方程中前定变量的个数
模型识别的阶条件：两种方式
（1）方式1
模型的一个方程中不包含的变量总个数（内生变量+前定变量）大于或等于模型中内生变量总个数减1，则该方程能够识别。

模型中变量总数M+K
第i个方程中包含的变量总个数：mi+ki
第i个方程中不包含的变量总个数：（M+K）—（mi+ki）
阶条件：如果（M+K）—（mi+ki）≥M—1 能够识别
（M+K）—（mi+ki）=M—1 恰好识别
（M+K）—（mi+ki）>M—1 过度识别
（M+K）—（mi+ki）<M—1 不可识别
（2）方式2
模型的某个方程中不包含的前定变量个数（K—ki），大于或等于该方程中包含的内生变量个数mi—1，则该方程能够识别（可以由上面的不等式推出）
K—ki≥mi—1 能够识别
K—ki=mi—1 恰好识别
K—ki>mi—1 过度识别
K—ki<mi—1 不可识别
注意：阶条件比较简单，但只是方程识别的必要条件，还不是充分条件，只有当（M+K）—（mi+ki）≥M—1或K—ki≥mi—1时方程才可能识别，但满足这样的阶条件时也不一定就能识别，还需寻求方程识别的充要条件。

2、识别的秩条件——识别的充分必要条件
秩条件的表述：
在有M个内生变量M个方程的完备联立方程模型中，当且仅当一个方程中不包含但在其他方程包含的变量（不论是内生变量还是前定变量）的系数，至少能够构成一个非零的M—1阶行列式时，或者说参数矩阵的秩为M—1时，该方程是可以识别的。

秩条件检验方法的步骤：
（1）将结构模型的参数列成完整的参数表（方程中不出现的变量的参数以0表示）
（2）考察第i个方程的识别问题：划去该方程的那一行，并划去该方程出现的变量的系数（该行中非0系数）所在列，余下该方程中不包含的变量在其他方程中的系数；
（3）检验所余系数矩阵的秩，看是否等于M—1，或检验所余系数是否能构成非零M—1阶行列式。

例：Y1=a0+a1Z1+a2Z3+u1
Y2=b0+b1Y3+b2Z1+b3Z2+u2
Y3=c0+c1Y1+c2Z1+c3Z3+u3
其中 Y——内生变量 Z——前定变量表示为一般形式：
Y1—a0—a1Z1—a2Z3=u1
Y2—b0—b1Y3—b2Z1—b3Z2=u2
Y3—c0—c1Y1—c2Z1—c3Z3=u3
（1）略去截距项和随机扰动项，把各参数列表：
变量： Y1 Y2 Y3 Z1 Z2 Z3
方程1： 1 0 0 -a1 0 -a2
方程2： 0 1 -b1 -b2 -b3 0
方程3： -c1 0 1 -c2 0 -c3
（2）考察第i个方程（如第3个）的识别问题：
划去该方程那一行，划去该行中非零系数所在的列（即该方程出现的变量的系数所在列）
则余下该方程不包含的变量在其他方程中的系数 0 0
1 -b3
（3）检验所余系数矩阵的秩，看是否等于M-1，本例中的秩
为1，而M=3，1<3-1,则该方程不可识别。

P146页例
3、模型识别的一般作法：
秩条件——是充分必要条件，但比较繁琐
阶条件——只是必要条件，但比较简便
因此，模型识别的一般做法是将秩条件和阶条件综合使用：阶条件否
是 K—ki<mi—1 不可识别
秩条件否
是秩<M-1 不可识别
阶条件否
是 K—ki>mi—1 过度识别
恰好识别
(1) 应用识别的阶条件。

若阶条件不成立，即K—ki<mi—1
，则所讨论的结构方程不可识别；
(2) 应用识别的秩条件。

若阶条件成立，则再检验秩条件。

如果秩小于M-1则方程不可识别；
(3) 应用识别的阶条件。

如秩条件成立，若K—ki>mi—1，
则方程为过度识别；若K—ki=mi—1，则方程为恰好识别。

财大教材 P221 例
第三节联立方程模型的估计
一、联立方程模型估计方法的选择
联立方程计量经济学模型的估计方法分为两大类：
1、单方程估计方法：指每次只估计模型系统中的一个方程，依次逐个估计以获得全部方程的估计值。

2、系统估计方法：指对模型中全部方程同时进行估计，同时得到所有方程的参数估计量。

结构方程的识别状况决定了该方程的参数估计方法：
对于恰好识别模型——用间接最小二乘法、工具变量法
对于过度识别模型——用二段最小二乘法、三段最小二乘法
对于不可识别模型——不能估计其结构参数
二、恰好识别模型的估计——间接最小二乘法（ILS）
基本思想：恰好识别模型通过简化式参数可以唯一确定结构式参数。

显然，可以先用OLS法估计简化式参数，然后求解出结构式参数，即间接最小二乘法。

估计步骤：
1、先将结构式方程变换为简化式方程；
1、用OLS法估计简化式参数；
2、利用简化式与结构式参数的关系式，求解结构式参数。

P155例只适用于恰好识别模型
三、工具变量法
基本思路：由于结构方程存在内生变量作为解释变量，它与随机扰动项相关，因此不能直接应用最小二乘法估计参数。

用合适的前定变量作为工具变量代替结构方程中的内生变量，从而降低解释变量与随机项的相关程度，再利用最小二乘法进行参数估计。

具体步骤：
1、择适当的前定变量作为工具变量，代替结构方程中作为解释变量的内生变量。

工具变量应满足以下条件：工具变量与所代替的内生变量之间高度相关；工具变量与结构方程中的随机项不相关；工具变量与结构方程中其他解释变量之间的多重共线性程度低。

具体选择可见P153
2、对进行了变量替换后的结构方程应用最小二乘法来估计结构参数。

工具变量法适用于恰好识别的结构方程，关键在于找到合适的工具变量替代。

4、过度识别模型的估计——二阶段最小二乘法（TSLS）
由于实际的结构方程中大多是过度识别的。

二阶段最小二乘法是一种既适用于恰好识别，又适用于过度识别的估计方法，是一种应用最普遍的方法。

基本思路：
由结构式方程变换得到的简化式方程的一般形式为：Y=ПX+E；
用OLS法估计出简化式参数П^,可以由此计算出Y的精确分量的估计值Y^=П^X,这是二阶段最小二乘法的第一阶段;
由简化式方程估计的Y^与结构方程中的随机项u不相关,但与Y高度相关,所以可用Y^替代作为解释变量的Y,然后对变换后的方程用OLS估计参数.这是第二阶段.
二阶段最小二乘法实际是用Y^作为Y的工具变量
估计步骤:
第一步（第一阶段）：利用简化式方程，将第i个结构方程解释变量中出现的内生变量直接对所有的前定变量回归，用OLS法估计其参数；
第二步（一阶段）：利用所估计的的参数和前定变量X求出所需要的
Y^；
第三步（二阶段）：用估计的Y^去替代结构方程中作为解释变量的内生变量Y，用OLS法估计其参数。