实际波动率与GARCH模型的特征比较分析_于亦文

Vol 20, No 2
管理工 程学 报
Journal of Industrial Engineering Engineering Management
2006 年 第 2 期
实际波动率与 GARCH 模型的特征比较分析
于亦文
( 南京航空航天大学经济管理学院, 江苏 南京 210016)
摘要: 金融资产价格的波动率的测度具 有重要 意义, 实 际波动 率 ( Realized Volatility) 概 念是近 些年提 出的用 于测度市场波动率的新概念, 在诸多方面具有优势。本文利用上海证 券市场的高 频数据, 比较 了两种不 同的波动 率模型 RV 模型和 GARCH 模型 的性能表现。本 文首先 介绍了 连续时 间状态下 实际波 动率 的概 念和模 型, 然后建立了 GARCH ( 1, 1) 模型, 使用日收益率 对 GARCH 模 型进行估 计, 得到 条件方 差方程, 分 别用日 收益平 方和日内累计收益平方和作为波动率指标对收益平方 波动方程进行回归, 并以回归决定系数来衡量波 动率拟合水 平的优劣, 结果发现采用高频数据 的回归 决定 系数比 原来 提高 了两倍, 这个结 果与 已有的 实证 分析 结果基 本一 致, 最 后, 我们 将实际波动率的计算结果与 GARCH 模型的结果经标准化 后进行了对 比, 发现实证 研究结果 表明, 实际波动率模型比传统的 GARCH 模型提供了更好的拟合。
据得到的实际 波动率( RV ) 将更加精 确地度 量波动 率。为了 进行比较不 同的 波 动率 度量 方 法的 优劣, 我们 将先 计 算日 GARCH 序列, 然后比较不同的波动率的拟合优度。图 2 和图
3 分别表示以上证综指 5 分钟数据和日收益平方计算的日波 动率 , 从两个图可以看出, 波动具有明显的聚集效应。
则每 天 m 个观察值离散抽样的收益率的计算如下:
1m
r ( m) , t = pt - pt- 1 m =
dw t- 1 ( m+ ) t- 1 ( m+ )
( 2)
0
收稿日期: 2004 04 19 修回日期: 2004 08 15 基金项目: 国家教育部博士学科点基金项目( 20020287001) 作者简介: 于亦文( 1972 ) , 男, 河南郑州市人, 河南工业大学工商管理系讲师, 南京航空 航天大学经济管 理学院博士生, 研究方向: 金 融市场 微观结构; 公司金融。
为了能对市场日内收益率的变动情况 有一个总体 了解, 我们首先描述了上证综 合指 数 5 分 钟日内 平均 收益 的波动 情况。图 1 显示了 上证 综合指 数在 样本期 内的 5 分钟 日内 平均收益率变动情况, 从图中可以看 出, 一 般而言, 在开盘初 期, 收益率会从一个 较高的 水平 迅速 下降, 而在 收盘 之前会 有较大幅度的回升。从整体上看, 一天 内的收益 率变化呈现 U 型, 这和 Wood et al( 1985) , Harris( 1986) 对美国市场的描述 结果基本是一致的。
1 实际波动率( RV) 的概念和模型
关于 实 际 波 动 率 的 理 论 基 础 在 ABDL ( 2001) 和 ABDE
( 2001) 中作了详细的论述, 我们这里做简要 的介绍。
设连续时间对数价格过程 p t 定义为
dp t = tdwt ( t 0)
( 1)
其中 wt 表示一个标准的布朗运动, t 是一个严格平稳 过程,
3 GARCH 模型和实际波动率( RV) 模型的比较
3 1 GARCH 模型的估计 Engle( 1982) 提出了 时间序 列分 析的 自回 归条 件异 方差
( ARCH) 模型, Bollerslev( 1986) 将其推 广为广义 自回归 条件异
66
图 1 上证综合指数 5 分钟日内平均收益率 方差( GARCH) 。目前, GARCH模型 已经 成为时 间序 列分 析的
2 数据来源与说明
本文的研究数据如下: 1) 研究对象为上海证券交易所上证 综合指数。 2) 数据样本的时间范围是 1999 1 4 号年至 2002 4 15 号。 3) 数据样本的抽样频率为 5 分钟, 每天 的采样时 间为上 午 9: 30~ 11: 30, 下午为 13: 00~ 15: 00。 4) 上海市场的数据样 本共有 36768 个, 766 个交易 日, 每 天 48 个样本。 5) 所有的数据样本均通过 天软. NET 金融 分析软 件进行 采集。
计一个独立同分 布随 机变量 的方 差。并据 此首 次提出 了实
际 波 动 率 ( Realized Volatility ) 的 概 念, 并 通 过 二 次 方 差 ( Quadratic Variation) 理论证明在适合的条件下, 实际波动率是 日收 益波动率的无偏估计, 并使用高频 交易数据对 外汇交易 市场 进行了实证分 析。实证 研究 表明, RV 模型在 高频 数据 分析方面比传统 的 GARCH 模型 具有一 定的 优势, 并且 在样 本内 外都表现良好。
65
于亦文: 实际波动率与 GARCH 模型的特征比较分析
t = 1 m, 2 m,
其中 dwt- 1 ( m+ ) 表示 维纳 过程, t 为 时间 脚标。 m 为每 天的
数据采样次数。当 m= 1 时代表日 收益率。进 一步, 假设 t 和wt 是 独 立 的, 所 以 可 知, r ( m) , t 是 序 列 不 相 关 的, 则 h
一种 标准工具, 尤其在具有波动聚集性 的金融实证 中得到广 泛的应用。在本文中, 我们 将遵 循 Adersen, T. G. ( 2000) 采用 的方法, 使用 GARCH( 1, 1) 模型 和实际 波动率概 念来研 究市
场波 动率问题。
为了正式定义 GARCH( 1, 1) 模 型, 令
2 (m)
,
t
为
t
-
1
m
时
刻信息集基础 上 r (m) , t 的 条件方差, 则 r ( m) , t 的 波动模 型由下
列条 件均值方程和条件方差方程给定:
r = z (m) , t
( m), t
(m ), t
( 5)
= + ( z ) 2
2
(m) , t
(m)
( m)
( m) , t- 1 m
( m) , t- 1 m
像其他新 兴的市场 一样, 中国 的证 券市 场发展 迅速, 但 属于 成熟度较低的市场, 市 场行 情经常 出现 大幅 度的波 动, 可以 设想使用这样的市场数据可以更好的检验 RV 模型 的性 能。目前国内 这方面的工作还是空白, 本文对此做 了有益的 探索。文章的结构安排 如下: 首先介绍 实际波动率 的概念和 模型 , 然后分别使用 RV 模型和传统的 GARCH 模型对来自上 海证 券市场的数据进行了分析, 并对两 者的结果做 了对比分 析, 最后是得到的结论。
作为日实际收益率的估计, 即有
p lim m j= 1,
r2 ( m) , t+
j
m
=
,m t
2 t, h
( 4)
所以, 实 际波动 率是积 分波动率 的一致 估计。因 此, 足
够的高频离散日内收益 率的平 方和 可以用 来充 分和 准确地
估计积分波 动率。使用 实际波 动率 概念的 一个 主要 原因是 当抽样频率 m 时, 实际波动 率是 没有测 量误 差的, 而参 数估计方法往往会受到误差影响。实际上, 实际 波动率作为 日波动率的 估计比日 收益 率平方 更加 有效。因 为实 际波动 率包含了日内波动的更多的信息, 而日 收益率平 方仅仅包含 了收盘和开盘时刻的信息。当 m 时, 实际波 动率包含了 日内所 有 的 波 动 率 的 信 息, 实 际 也 就 是 隐 含 波 动 率 的 真 实值。
为 了评 价波动 率拟 合的 优劣, 考虑 如下 收益平 方 波动
方程 :
r2 ( m), t
=
a(m) +
b ( m)
+ 2
( m), t
(m ), t
( 7)
其中 波动率
2 (
m)
,
t
的解释能力是由回归决定
系数
R
2
测 度的。
尽管 这种测度方式存在一些问题, 但是 它仍广泛应 用于波动
率预 测评价当中。
我们 首 先 采 用 日 收 益 率 估 计GARCH( 1, 1) 模 型, 得 到
Vol 20, No 2
管理工程学报
2006 年 第 2 期
Baidu Nhomakorabea
图 2 采用上证指数 5 分钟数据计算的日波动率
图 4 日内收益平方和与日 GARCH 估计的比较
图 3 采用上证指数日收益率平方计算的日波动率
其中, 参数
+ (m ) ( m) > 0, ( m)
2 ( m) , t- 1 m
0, (m)
( 6) 0, 且 z (m) , t 为均值为 0, 方
差为 1 的独立同分布随 机变 量, m 为数 据抽 样频率, 当 考虑
日收 益率时, m= 1。
通常采用的波动率估 计的 方法 是使用 日收 益平方 作为
( h> 0) 期收益 的方差可以定义为:
1m
2 t, h
=
2 t+
d
( 3)
0
这个积分波动率的表述, 说明了在连续 时间下价 格波动的定
义, 也就是说, h 期波动率等于过去更 高频的波 动率的 积分。
但是, 实际中波动率的积分是不可观 测的, 所以要进行 估计。
在文献 Anderson et al. ( 2000) 中, 将日内 高频收益 率的平方和
关键词: 实际波动率; GARCH 模型; 高频数据 中图分类号: F831 5 文献标识码: A 文章编号: 1004 6062( 2006) 02 0065 05
0 引言
在金融市场中, 资产的价格的波动率( volatility) 往往受到 投资者的极 大 关注, 因 为 它会 使投 资 者面 临不 同 程度 的风 险。对金融资产波 动率 的估计 和预 测也是 学术 界的 研究热 点。所谓价 格的波动率, 通常是指未来 价格偏离 其期望值的 程度, 波动性 越大, 价格上 升或下 降的程 度越大。在 金融经 济学中, 波动率一般 是用收 益的 标准 差来衡 量, 而不 是用价 格的标准差 来度量的。 因为收 益可 以认为 是由 一个 具有常 数有限无条件均值和方差的平稳随机过程 产生的, 有限方差 意味 着 波 动 性 会 趋 于 一 个 常 数 均 值, 即 均 值 回 复 ( mean reversion) 。而价格的方差是无限 的, 即价格的 方差会 随着时 间增长, 这是由于价格的不平稳性造 成的。根据 国内外学者 的实证研究, 金融市场波动率表现出的 特点有聚 集性和爆发 性、持 久性、均值 回复现象 等。对波 动率的估 计和预 测方法 从最初的移 动平均方 法发 展到异 方差 GARCH 模 型、隐含波 动率 B S 模型等。随着计算机技术和交 易系统 的不断 完善, 对波动率的建模从估计年收 益波动 率( Officer, 1973) 、月收益 波动率 ( Merton, 1980) 已 经发 展 到 对日 收 益波 动 率 的估 计。 近年来, 使用高频数据考察收益率的波 动形式成 为一个受到 广泛 关 注 的 问 题, 这 主 要 是 由 于 日 内 波 动 率 ( Intraday Volatility) 的动态特性 对收 益率 预测 和风 险管 理有 重要 的启 发意义。Torben G. Anderson 和 Bollerslev( 1997) 认为, 经 济学 家不能处理日内收益率 是由于 没有 合适的 标准 时间 序列模 型来处理高频数 据。Merton( 1980) 指 出, 在抽 样频 率足 够大 的情况下, 通过加总 高频平 方变 量的 值, 可 以充 分精 确的估
日波 动率的估计,
因为
E(
r
2 t
)
=
E(
2 t
z
2 t
)
=
2t ,
所以
r
2 t
是
2 t
的无偏估计, 但 是 Andersen( 2000) 认为 使用日 收益 平方 作为
日波 动率的估计会带来 很大 的噪 声, 造 成较 大的 估计误 差,
比如 当某一个交易日中价格变化很大, 但是在收盘 时的价格 正好 和前一个交易日的收盘价相同, 这 样日收益平 方所反应 的 日波动 率就是 零, 显 然和事 实不符。相 比而言, 由 高频数