基本初等函数与初等函数PPT课件

2
定义域x (,),值域 y
22
余切函数 y cot x
定义域：x k，值域：R
2
求y cot x , x (0, )的反函数: y arc cot x 反余切函数
定义域x (,), 值域0 y

y arccot x
y
y x2
1
o
y x y x
(1,1)
1
x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
2）指数函数
y (1)x
a
y a x (a 0, a 1)
3）对数函数
y loga x (a 0,a 1)
y ax (a 1)
y loga x
,( x) 1


x
2

1,
求 f [( x)].
e( x) , ( x) 1
解
f [( x)] ( x), ( x) 1
10 当( x) 1时,
x0 ,
x0
或 x 0, ( x) x 2 1,
x 1;
或 x 0, ( x) x2 1 1,
4.复合函数与初等函数
定义: 设函数 y f (u)的定义域 D f , 而函数 u ( x)的值域为 Z, 若 D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为 x的复合函数.
x 自变量,
u 中间变量, y 因变量,
例：分析下列复合函数的结构
(1) y cot x 2
0 x 2;
例1
设
e x , f (x)
x,
求 f [( x)].
x1
x 2,
x

,( x) 1


x
2

1,
x0 ,
x0
20 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x2 1 1,
).
2.函数概念 定义
设数集X、Y为两个非空实数集合，对任意X中的元 素x，按照某一对应规则f ，Y中都有唯一的一个数y与之 对应，则称规则f : X Y为定义在X上的函数, 通常简记 为 yf(x),
其中x称为自变量, y称为因变量, X称为定义域, 记作 Df, 即DfX.
说明:
对记应作记函法y数g则号(x的,f)和而、记f后(y号x者)F的还表(x区可)示、别用与y“:自前g(”变x者、)等量表“.x示F对”自应、变的“量函”x数和等值因,.此变时量函y之数间就的
同一题中, 不同的函数应用不同的记号.
下页
几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y

sgn
x


0
当x 0
1 当x 0
y
1
o
x
-1
x sgn x x
y
4321
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过x 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o-11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
基本初等函数与初等函数
一些概念
1.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
记 U (a, ) {x a x a }.


a
a
a
x
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
点a的去心的邻域,

记作U
(a,
双曲正弦sh x

ex

e x ,
2
双曲余弦ch x ex ex 2
等都是初等函数.
,
双曲正切th x

shx chx

ex ex

ex ex
,
双曲余切cth
x

chx shx

ex ex

ex ex
例1
设
f (x)
e x ,
x,
x1
x 2,
x

阶梯曲线
3.函数的性质:单调性、奇偶性、周期性、有界性
若存在数K1, 使对任一xX, 有f(x)K1, 则称函数f(x)在 X上有上界.
若存在数K2, 使对任一xX, 有f(x)K2, 则称函数f(x)在 X上有下界.
若存在正数M, 使对任一xX, 有 |f(x)|M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x) 在X上无界.
(a 1)
y log 1 x
a
4）三角函数 与反三角函数
正弦函数 y sin x
定义域：R，值域：[-1,1]
求y sin x , x [ , ]的反函数:
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x arcsin y y arcsin x
反正弦函数
余弦函数 y cos x
定义域x [1,1], 值域 y
例、 求函数y=
x2
—，x－6
+arcsin
2x－1
7
的定义域.。
3 x 2或3 x 4
3.基本初等函数
1）幂函数 y x (是常数)
2）指数函数
y a x (a 0, a 1)
3）对数函数
y 1
y loga x (a 0,a 1) x
4）三角函数 与反三角函数
y u, u cot v, v x . 2
(2) y esin2(3x1) y eu， u v2, v sin w,
w 3x 1
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函
数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函
数.
**分段函数不是初等函数**
双曲函数
函数的有界性
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函数的性质:单调性、奇偶性、周期性、有界性
例、判断函数ຫໍສະໝຸດ Baidu奇偶性
1. y 1 ln 1 x . 2 1 x
2.y ln(x x2 1)
ex ex 3. y
2
ex ex 4. y
2
5. y x3 sin x 6. y (| x | x2 )cos x 1、奇，2、奇，3、偶， 4、奇，5、偶，6、偶
2
2
求y cos x , x [0, ]的反函数:
y arccos x 反余弦函数
定义域x [1,1], 值域0 y
正切函数 y tan x
定义域：x k，值域：R
2
求y tan x , x ( , )的反函数:
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y arctan x 反正切函数