不确定欠驱动系统的高阶自适应Super_Twisting滑模控制
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·
（3） u（ t） = u x + u θ + u sw ， sgn（· ） 为符号函数， K 为常数， 且 其中， K = max（λFx （X， t） + Fθ （X， t） + （λ + 1）D（X， t）） + η，
t
= x3 = x4 = f θ （ X， t） + g θ （ X， t） u（ t） + d θ （ t） = f x （ X， t） + g x （ X， t） u（ t） + d x （ t）
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∧
滑模控制是一种具有较强鲁棒特性的非线性反 馈控制方法． 理想滑模控制过程总是假设控制器能 够在有限时间内快速从一种结构切换到另一种结 构． 然而， 由于实际控制器不可能很快切换控制信 号， 因而导致控制器输入出现抖动现象 ， 同时也易激 励高频未建模动态部分， 从而对系统的硬件造成损 害， 导致系统不稳定
DOI:10.16451/j.cnki.issn1003-6059.2014.09.011
第 27 卷 第 9 期 2014 年 9 月
模式识别与人工智能 PＲ ＆ AI
Vol． 27 Sept．
No． 9 2014
不确定欠驱动系统的高阶自适应 Super-Twisting 滑模控制 *
杨兴明
1
1
高银平
［1 －2 ］
．
二阶滑模的设计思想主要是将不连续控制作用 在保证系统鲁棒性的 在滑模面变量的二阶微分上， 3］ 前提下， 有效削弱抖振现象． 文献［ 提出高阶滑模 4］ 思想． 文献［ 系统地提出二阶滑模算法， 并给出控 5］ 制精度的估计． 文献［ 在基于二次型 Lyapunov 函 ， 数的基础上 在系统分别受常值干扰和时变干扰的 Twisting 算法收敛性进行分析， 情况下对 Super同时 给出收敛时间的估计． 然而在二阶滑模控制算法中， 参数选取通常需要根据不确定性干扰的导数边界值 来确定． 在实际应用中， 该值较难精确地获取， 从而 无法保证系统获取较好的动态性能 ． 因此， 为实现一 类欠驱动系统的鲁棒控制， 本文针对其不确定性干 扰的导数边界未知的情况， 基于二次型 Lyapunov 函 Twisting 滑模控 数方法设计一类二阶自适应 Super制方式， 以削弱传统滑模控制中存在的抖振现象 ， 促 ． 进其在工程上的应用 本文以两轮自平衡车为对象 进行仿真， 验证该控制方法的有效性．
中图法分类号
HighOrder Adaptive SuperTwisting Sliding Mode Control for Uncertain Underactuated Systems
2 YANG XingMing1 ，GAO YinPing1， 1
（ School of Computer and Information ，Hefei University of Technology ，Hefei 230009 ）
27 卷
4
4． 1
二阶自适应滑模控制器设计
二阶滑模控制 条件假设： 系统复合干扰的一阶导数的上界存
· ·
k2 为待设计的参数． k1 ， 其中， Twisting 控制策 在有干扰情况下， 若采用 Super5］ 给 略， 要使滑模面 S（ t） 在有限时间收敛， 文献［ 出一种收敛条件． 常值干扰时： k1 ＞ 0 ， k2 ＞ 0 ． 时变干扰时： k1 ＞ 2 ， k2 ＞ 4． 2
2
（ iFLYIEK CO，LTD． ，Hefei 230088 ）
ABSTＲACT
To achieve good robustness against disturbances for a class of uncertain underactuated systems，a secondorder adaptive sliding mode control method is proposed based on quadratic Lyapunov function to reduce the inherent chattering of conventional sliding mode control （ SMC ） ． Firstly，a secondorder supertwisting algorithm is used by the discontinuous part of controller，which acts on the secondorder derivative of sliding mode variables． Secondly ， as for the effects of unknown disturbances on sliding mode surface ，an adaptive law is designed to adjust the parameters． This method eliminates the restriction of the first derivative of disturbances boundary being known in the traditional secondorder sliding mode control，which not only keeps convergence of sliding mode surface but also reduces chattering． Finally ，a twowheeled selfbalancing cart is used to test the proposed approach． The simulation results show that
9期
杨兴明
Twisting 滑模控制 等：不确定欠驱动系统的高阶自适应 Super-
809
compared with conventional SMC and ordinary secondorder SMC ，the proposed method outperforms the above methods on effectiveness and reducing chattering． Ke y Words Underactuated System， Chattering， SecondOrder Sliding Mode， SuperTwisting Algorithm
2 k3 1 + （ 4 k1 － 8 ） δ ． k1 （ 4 k1 － 8 ）
即 d x （ t） ≤ δ（ t） ， d θ （ t） ≤ δ（ t） ． 在且已知， 由式（ 1 ） 表示的欠驱动系统是由两个二阶系统 耦合在一起． 由式（ 1 ） ～ 式（ 3 ） 可得 t）， S（ t） = λs + s = （ λ g x + g θ ） u sw + （ X， （4） · · ∧ ∧ S （ t ） = F （ X， u sw ） + （ λ g x + g θ ） u sw ， 其中， t） + Δf θ （ X， t） + λdx （ t） + dθ （ t）， t） = λΔf x （ X， （ X， （5） F（ X， u） = λ（ λ x f x +
1
引
言
∧
t） = f θ （ X， t） + Δ f θ （ X， t） ， f θ （ X， t） 、f θ （ X， t） 为模型标称部分， Δ f x （ X， 其中，f x （ X， t） 、 t） 为模型不确定部分， Δ f θ （ X， 假设不确定部分界 t） 、 F θ （ X， t） ， t） ≤ 即 Δ f x （ X， 限为已知函数 F x （ X， F x （ X， t）， Δf θ （ X， t ） ≤ F θ （ X， t）； g x （ X， t） 、 g θ （ X， t） d θ （ t） 为由系统参数不 为已知的非线性函数；d x （ t） 、 、 确定性 摩擦阻力和外界干扰等引起的复合干扰 ．
{
eθ sθ = λ θ eθ + · sx = λ x ex + · ex S（ t） = λs x + s θ
∧
参 λθ ， λ 取正值， 为待设计的滑模面常系数， 其中， λx ， 数 λ 的取值保证 λ g x + g θ 不为零． 此时设计控制律为
∧
{
∧
ex + ¨ xd ） u x = λ（ λg x + g θ ） －1 （ － f x － λx·
∧ d∧ d∧ f x ） + λθ f θ + f + dt dt θ ∧ ∧ ∧ d ∧ （ λλ x g x + λ θ g θ + （ λ g x + g θ ） ） · dt ∧ ∧ ∧ ∧ d ∧ （ u x + u θ + u sw ） + （ λ g x + g θ ） （ u x + dt ∧ · · x · θ ∧ ∧
∧ ∧ ∧ · ·
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来自百度文库
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eθ + θ d ） u θ = （ λg x + g θ ） －1 （ － f θ － λθ·
∧ ∧ ∧ ∧
（2）
usw = （ λg x + g θ ） －1 （ － wS（ t） － Ksgn（ S（ t）））
2
模型描述
考虑一类欠驱动不确定性系统如下 ： x1 · x2 · x3 · x4
3
即
传统滑模控制器
［ 6 ］ 条件假设：系统复合干扰的边界存在且已知 ，
≤ D（ t） ， d θ （ t） ≤ D（ t） ． e θ = θ － θ d 为系统相应输出误差， 设 ex = x － x d ， 考 结合式 （ 1 ） ， 设计滑模 虑到系统零状态的动态性能， ［7 ］ 面 ：
d x （ t）
* 国家自然科学基金项目（ No． 61100211 ） 资助 收稿日期：2013 － 05 － 06 ；修回日期：2013 － 09 － 25 1977 年生， mail：xmyang168@ 163． com． 高银平 作者简介 杨兴明， 男， 博士， 副教授， 主要研究方向为计算机控制、 小波变换． E（ 通讯作者） ， 1989 年生， mail：ypgao163@ 163． com． 男， 主要研究方向为智能控制 、 欠驱动系统研究． E硕士， 助理工程师，
T · · T
（1）
η ＞ 0． 为证明其稳定性， 考虑 Lyapunov 函数为 1 V s = S2 （ t ） ， 2 对其求导： 结合式（ 2 ） 和式（ 3 ） ， s = S（ t） S（ t） V e x + λ θ· e θ + λ¨ ex + ¨ eθ ） = S（ t） （ λλ x· = S（t）（λΔ fx + Δ fθ + λdx + dθ － wS（t） － Ksgn（S（t））） ≤ － wS（ t） － η S（ t） ≤ 0 ， 即系统可在有限时间内稳定至滑模面 ．
1， 2
（ 合肥工业大学 计算机与信息学院
2
合肥 230009 ）
（ 科大讯飞股份有限公司
合肥 230088 ）
摘
要
为实现一类不确定欠驱动系统在未知干扰情况下的鲁棒控制， 针对传统滑模控制中存在的抖振问题， 提
Twisting 自适应滑模控制策略． 首先， 出一种基于二次型 Lyapunov 函数的二阶 Super控制器的不连续项采用二阶 SuperTwisting 算法， 将不连续控制作用在滑模量的二阶导数 ． 然后， 针对滑模面受不确定干扰影响的情况， 为调节 参数设计一种自适应律方法， 该方法不受传统二阶滑模控制中干扰项的一阶导数边界已知的条件限制， 保证滑模 面在有干扰情况下的收敛， 削弱控制器输入的抖振现象 ． 最后， 以两轮自平衡车为实验对象验证该方法， 并与传统 滑模及普通二阶滑模方法做仿真对比 ． 仿真结果表明文中所提的二阶自适应滑模控制方法在控制效果和降低抖振 方面表现更优． 关键词 欠驱动系统，抖振，二阶滑模，超螺旋算法 TP 273
2 ·
其中， x2 ， x3 ， x4］ = ［ x， x］ X =［ x1 ， θ， θ， t ） 、f θ （ X ， t） 描述为 为 可 测 量 的 状 态 变 量 ； fx （ X ， f x （ X， t） = f x （ X， t） + Δ f x （ X， t） ，
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模式识别与人工智能
（3） u（ t） = u x + u θ + u sw ， sgn（· ） 为符号函数， K 为常数， 且 其中， K = max（λFx （X， t） + Fθ （X， t） + （λ + 1）D（X， t）） + η，
t
= x3 = x4 = f θ （ X， t） + g θ （ X， t） u（ t） + d θ （ t） = f x （ X， t） + g x （ X， t） u（ t） + d x （ t）
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滑模控制是一种具有较强鲁棒特性的非线性反 馈控制方法． 理想滑模控制过程总是假设控制器能 够在有限时间内快速从一种结构切换到另一种结 构． 然而， 由于实际控制器不可能很快切换控制信 号， 因而导致控制器输入出现抖动现象 ， 同时也易激 励高频未建模动态部分， 从而对系统的硬件造成损 害， 导致系统不稳定
DOI:10.16451/j.cnki.issn1003-6059.2014.09.011
第 27 卷 第 9 期 2014 年 9 月
模式识别与人工智能 PＲ ＆ AI
Vol． 27 Sept．
No． 9 2014
不确定欠驱动系统的高阶自适应 Super-Twisting 滑模控制 *
杨兴明
1
1
高银平
［1 －2 ］
．
二阶滑模的设计思想主要是将不连续控制作用 在保证系统鲁棒性的 在滑模面变量的二阶微分上， 3］ 前提下， 有效削弱抖振现象． 文献［ 提出高阶滑模 4］ 思想． 文献［ 系统地提出二阶滑模算法， 并给出控 5］ 制精度的估计． 文献［ 在基于二次型 Lyapunov 函 ， 数的基础上 在系统分别受常值干扰和时变干扰的 Twisting 算法收敛性进行分析， 情况下对 Super同时 给出收敛时间的估计． 然而在二阶滑模控制算法中， 参数选取通常需要根据不确定性干扰的导数边界值 来确定． 在实际应用中， 该值较难精确地获取， 从而 无法保证系统获取较好的动态性能 ． 因此， 为实现一 类欠驱动系统的鲁棒控制， 本文针对其不确定性干 扰的导数边界未知的情况， 基于二次型 Lyapunov 函 Twisting 滑模控 数方法设计一类二阶自适应 Super制方式， 以削弱传统滑模控制中存在的抖振现象 ， 促 ． 进其在工程上的应用 本文以两轮自平衡车为对象 进行仿真， 验证该控制方法的有效性．
中图法分类号
HighOrder Adaptive SuperTwisting Sliding Mode Control for Uncertain Underactuated Systems
2 YANG XingMing1 ，GAO YinPing1， 1
（ School of Computer and Information ，Hefei University of Technology ，Hefei 230009 ）
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二阶自适应滑模控制器设计
二阶滑模控制 条件假设： 系统复合干扰的一阶导数的上界存
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k2 为待设计的参数． k1 ， 其中， Twisting 控制策 在有干扰情况下， 若采用 Super5］ 给 略， 要使滑模面 S（ t） 在有限时间收敛， 文献［ 出一种收敛条件． 常值干扰时： k1 ＞ 0 ， k2 ＞ 0 ． 时变干扰时： k1 ＞ 2 ， k2 ＞ 4． 2
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（ iFLYIEK CO，LTD． ，Hefei 230088 ）
ABSTＲACT
To achieve good robustness against disturbances for a class of uncertain underactuated systems，a secondorder adaptive sliding mode control method is proposed based on quadratic Lyapunov function to reduce the inherent chattering of conventional sliding mode control （ SMC ） ． Firstly，a secondorder supertwisting algorithm is used by the discontinuous part of controller，which acts on the secondorder derivative of sliding mode variables． Secondly ， as for the effects of unknown disturbances on sliding mode surface ，an adaptive law is designed to adjust the parameters． This method eliminates the restriction of the first derivative of disturbances boundary being known in the traditional secondorder sliding mode control，which not only keeps convergence of sliding mode surface but also reduces chattering． Finally ，a twowheeled selfbalancing cart is used to test the proposed approach． The simulation results show that
9期
杨兴明
Twisting 滑模控制 等：不确定欠驱动系统的高阶自适应 Super-
809
compared with conventional SMC and ordinary secondorder SMC ，the proposed method outperforms the above methods on effectiveness and reducing chattering． Ke y Words Underactuated System， Chattering， SecondOrder Sliding Mode， SuperTwisting Algorithm
2 k3 1 + （ 4 k1 － 8 ） δ ． k1 （ 4 k1 － 8 ）
即 d x （ t） ≤ δ（ t） ， d θ （ t） ≤ δ（ t） ． 在且已知， 由式（ 1 ） 表示的欠驱动系统是由两个二阶系统 耦合在一起． 由式（ 1 ） ～ 式（ 3 ） 可得 t）， S（ t） = λs + s = （ λ g x + g θ ） u sw + （ X， （4） · · ∧ ∧ S （ t ） = F （ X， u sw ） + （ λ g x + g θ ） u sw ， 其中， t） + Δf θ （ X， t） + λdx （ t） + dθ （ t）， t） = λΔf x （ X， （ X， （5） F（ X， u） = λ（ λ x f x +
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言
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t） = f θ （ X， t） + Δ f θ （ X， t） ， f θ （ X， t） 、f θ （ X， t） 为模型标称部分， Δ f x （ X， 其中，f x （ X， t） 、 t） 为模型不确定部分， Δ f θ （ X， 假设不确定部分界 t） 、 F θ （ X， t） ， t） ≤ 即 Δ f x （ X， 限为已知函数 F x （ X， F x （ X， t）， Δf θ （ X， t ） ≤ F θ （ X， t）； g x （ X， t） 、 g θ （ X， t） d θ （ t） 为由系统参数不 为已知的非线性函数；d x （ t） 、 、 确定性 摩擦阻力和外界干扰等引起的复合干扰 ．
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eθ sθ = λ θ eθ + · sx = λ x ex + · ex S（ t） = λs x + s θ
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参 λθ ， λ 取正值， 为待设计的滑模面常系数， 其中， λx ， 数 λ 的取值保证 λ g x + g θ 不为零． 此时设计控制律为
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ex + ¨ xd ） u x = λ（ λg x + g θ ） －1 （ － f x － λx·
∧ d∧ d∧ f x ） + λθ f θ + f + dt dt θ ∧ ∧ ∧ d ∧ （ λλ x g x + λ θ g θ + （ λ g x + g θ ） ） · dt ∧ ∧ ∧ ∧ d ∧ （ u x + u θ + u sw ） + （ λ g x + g θ ） （ u x + dt ∧ · · x · θ ∧ ∧
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模型描述
考虑一类欠驱动不确定性系统如下 ： x1 · x2 · x3 · x4
3
即
传统滑模控制器
［ 6 ］ 条件假设：系统复合干扰的边界存在且已知 ，
≤ D（ t） ， d θ （ t） ≤ D（ t） ． e θ = θ － θ d 为系统相应输出误差， 设 ex = x － x d ， 考 结合式 （ 1 ） ， 设计滑模 虑到系统零状态的动态性能， ［7 ］ 面 ：
d x （ t）
* 国家自然科学基金项目（ No． 61100211 ） 资助 收稿日期：2013 － 05 － 06 ；修回日期：2013 － 09 － 25 1977 年生， mail：xmyang168@ 163． com． 高银平 作者简介 杨兴明， 男， 博士， 副教授， 主要研究方向为计算机控制、 小波变换． E（ 通讯作者） ， 1989 年生， mail：ypgao163@ 163． com． 男， 主要研究方向为智能控制 、 欠驱动系统研究． E硕士， 助理工程师，
T · · T
（1）
η ＞ 0． 为证明其稳定性， 考虑 Lyapunov 函数为 1 V s = S2 （ t ） ， 2 对其求导： 结合式（ 2 ） 和式（ 3 ） ， s = S（ t） S（ t） V e x + λ θ· e θ + λ¨ ex + ¨ eθ ） = S（ t） （ λλ x· = S（t）（λΔ fx + Δ fθ + λdx + dθ － wS（t） － Ksgn（S（t））） ≤ － wS（ t） － η S（ t） ≤ 0 ， 即系统可在有限时间内稳定至滑模面 ．
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（ 合肥工业大学 计算机与信息学院
2
合肥 230009 ）
（ 科大讯飞股份有限公司
合肥 230088 ）
摘
要
为实现一类不确定欠驱动系统在未知干扰情况下的鲁棒控制， 针对传统滑模控制中存在的抖振问题， 提
Twisting 自适应滑模控制策略． 首先， 出一种基于二次型 Lyapunov 函数的二阶 Super控制器的不连续项采用二阶 SuperTwisting 算法， 将不连续控制作用在滑模量的二阶导数 ． 然后， 针对滑模面受不确定干扰影响的情况， 为调节 参数设计一种自适应律方法， 该方法不受传统二阶滑模控制中干扰项的一阶导数边界已知的条件限制， 保证滑模 面在有干扰情况下的收敛， 削弱控制器输入的抖振现象 ． 最后， 以两轮自平衡车为实验对象验证该方法， 并与传统 滑模及普通二阶滑模方法做仿真对比 ． 仿真结果表明文中所提的二阶自适应滑模控制方法在控制效果和降低抖振 方面表现更优． 关键词 欠驱动系统，抖振，二阶滑模，超螺旋算法 TP 273
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其中， x2 ， x3 ， x4］ = ［ x， x］ X =［ x1 ， θ， θ， t ） 、f θ （ X ， t） 描述为 为 可 测 量 的 状 态 变 量 ； fx （ X ， f x （ X， t） = f x （ X， t） + Δ f x （ X， t） ，
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