西南交大材料力学

y
d A
t
FS S z bI
z
tmax
h
z
y
Sz
h h/2 y b y 2 2
2 bh 2 4 y 2
y
b
2
2 FS h FS bh 2 2 t y 4 y 2Iz I zb 2 4
t max
4 FS π 2 3 d 4 4 FS 3A
k'
Ⅱ、梁的切应力强度条件
t max t
I zb t
对于等直梁：
F S , max S z , max

横力弯曲梁的强度条件：
s
max
s

验证
t max t
s
max
s

确定截面尺寸
t max t
q 6 . 1kN/m
y
45 45
100
3）抗剪强度
S z , max 180 20 (100
20 2 ) 100 2
846 10 mm
3 3
20
45 100
2
t max
FS, max S z , max bI
z

2 q 10 846 10
3
例 图示为一槽形截面简支梁及其横截面的尺寸和形 心C的位置。已知横截面对中性轴的惯性矩 Iz=1152104mm4。试绘出D截面上的切应力分布图。
D D
0.4m 0.6m
140
B
FB
C
10
FA
y
10
解 1）求内力
F A 66 kN F B 44 kN
F S 66 kN
t max
FS S z , max dI
3
3
90 14736 10
4
20
[t 1 ] 0 . 35 MPa
q 5 . 9 kN/m
20
180
4）顶底板上的水平剪应力
S z " 45 20 (100
20 2
100
)
240
99 10 mm
3
3
100
y
45 45
t"
FS, max S z " bI
3
90 14736 10
4
[t ] 1 . 1 MPa
q 8 . 6 kN/m
20
180
4）胶合缝的抗剪强度
S z ' 180 20 (100
20 2
100
)
240
396 10 mm
3
3
100
y
45 45
t
'
FS, max S z ' bI
z

2 q 10 396 10
100
M
max
ql / 8 2 q kN m
2
4 4
240
100
I z 14736 10 mm
Wz Iz y max
y
45 45
1228 10 mm
3
3
20
20
180
2）抗弯强度
s
max
100

M
max

2 q 10
6 3
Wz
1228 10
10 MPa
240
t max
FS h 8I z
2

8 bh

FS h
2
3
12


3 2

FS bh

3 FS 2A
二.工字形截面梁 1、腹板上的切应力
tmax
t
FS S z I zd

d O
h
t' t A* s
y
O
t
y b
y
dA
tmin
h/2 y y 2 2 2 y

F
* N1
t 1
FS S z I z
b
FS
t1
FS S z I z
FS h t1 h I z 2 2 2Iz

t1max tmax O
tmax
t max
2 h FS 2 b h d y 2I zd 2
§6.3 梁的切应力及其强度条件
Ⅰ、梁横截面上的切应力 一、矩形截面梁 F1 F2 q(x) h y 弯曲切应力沿横截面宽度方向均匀分布
b
z
横截面上的弯曲切应力方向与剪力相同
一、矩形截面梁 F1 F2 m n
x m n dx
tt
q(x) h
b z
y z O
d FS
dA
* N1
z O
x
s
F
y
4
4
4
x
75 x 112.5
s
E , max
Wz
Iz y m ax

16521 10 170
3 3
972 10 mm
M
max
M(kN· mm)
112.5 150

150 10 972 10
6 3
154 . 3 MPa
Wz
C截面： I z ' 11076
Wz Iz' y max '
z

66 10 462 10
3
2
10 1152 10
4
26 . 5 MPa
4) 求d点的切应力
10 220 d 103 47
FSD C y
3 3
td ta
140
10
C y 10
tmax
S z 150 10 [103 (150 / 2 )] 42 10 mm
t
y
t'
y
F N2
*
z O
d FS
dA
*
F
x
0
* * F N2 F N1 d FS
s
F N1
t
F
* N2
FS S z bI
z
y
t
FS S z bI
z
FS：横截面上的剪力； b：计算点与FS垂直的截面尺寸； z
y1 y
Iz ：横截面对中性轴的惯性矩；
Sz：计算点以外部分对z轴的静矩
z
D截面的剪力
103 47
A
F=110 kN
10
220
10
220
103 47
2）求最大切应力
a
S z , max 103 10
103
140
10
C y 10
2
3
3
2 2 1061 10 mm

t max
FS S z , max dI
z
66 10 1061 10
2
10 2 1152 10
4
30 . 4 MPa
3）求a点的切应力
S za S za
ta
140 10 [103 (140 / 2 )] 462 10 mm
2
3
220 10 ( 47 10 / 2 ) 924 10 mm
2
3
FS S z dI
66 10 42 10
3
S z ( 220 / 2 10 ) 10 ( 47 10 / 2 ) 42 10 mm
3
3
td
FS S z
3
I z

10 1152 10
24 . 1MPa
4
例 跨度为6m的简支钢梁，是由32a号工字钢在其中间 区段焊上两块 10010 3000mm的钢板制成。材料均 为Q235钢，其[s ]=170MPa，[t ]=100MPa。试校核该 梁的强度。
y
FS(kN)
75 25 25
x
75
FS , max 75 kN
150 kN m
x
M(kN· mm)
112.5 150
112.5
M
max
2）校核抗弯强度 跨中截面： I z F (kN)
S
11076 10 mm
4
4
75 25 25
100 10 165 2
2
16521 10 mm
h h S z b d 2 2 2 b d h h 2 2 2
2、翼缘上的切应力

F

* N1
* N2

d h
O
t
y
t1 t1' F
d FS F
* N2
d F S t 1 d x
l
l 4
Hale Waihona Puke Baidul 2
Fl 4
Fl 8
q
l/2
l ql2/8
M
max
M C 0 . 125 ql
2
q
D
A a
C
B l/2
a
E
M
qa2 2 ql2 -qla 8 2
当 a 0 . 207 l 时
max
l
M
B
MC
2
0 . 0214 ql
F 最佳布局的原则：
A
l
B
a
C F(l-a)/4=Fa 得： a=a/5
10 mm
4
4
11076 10 160
4
692 10 mm
3
3
s C , max
M
C

120 10
6 3
Wz
692 . 2 10
173 . 4 MPa [s ] 100 MPa
C截面上的弯曲正应力未超过[s]的5%，故抗弯 强度满足要求。 3）校核抗剪强度 FS(kN)
t1
FS 2I z
h

y
tmin
切应力流
最大剪应力一般发生在中性轴上
z
三、薄壁环形截面梁 最大切应力tmax 仍 发生在中性轴z上。
tmax t
O
r0
tmax
t max
FS π r0 2 FS A
y
四、圆截面梁 d
tmax
O k O' y
最大切应力tmax 在中性轴z处
F(l-a)/4 Fa
二、合理选取截面形状
b
h z y
y
z
z
y1
y2
O y
z
75 25 25
Iz
查表得：
t m ax
274 . 6 mm
S z , max F S m ax S z , m ax dI z

75 10
3
x
75 x
9 .5 2 7 4 .6
28.7 M P a [t ] 100 MPa
M(kN· mm)
112.5 150
112.5
抗剪强度也满足要求。
z

2 q 10 99 10
3
3
20 14736 10
4
20
[t ] 1 . 1MPa
q 16 . 4 kN/m
取最小值： [ q ] 5 . 9 kN/m
§4-6 梁的合理设计
控制强度条件： s
max

M
M↓
max
[s ]
Wz
Wz ↑ F 辅梁
l 4
一、合理配置梁的荷载和支座 F
10 320 10
F B 75 kN
50kN 50kN 50kN
100
9.5
F1
F2
C B A 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m FA FB
y
解 1）求内力
F A 75 kN
10 320 10
50kN 50kN 50kN
100
F1
F2
9.5
C B A 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m FA FB
20
例 跨度 l=4m 的箱形截面简支梁，沿全长受均布荷 载q作用，该梁是用四块木板胶合而成如图所示。已 知材料为红松，其弯曲容许正应力[σ]＝10MPa，顺 纹容许剪应力[τ]=1.1MPa；胶合缝的容许剪应力 [τ1]=0.35MPa 。试求该梁的容许荷载集度q之值。 180 解：1）求内力
F S , max ql / 2 2 q kN