专升本资料4(向量代数与空间解析几何)

四川省普通高等学校“专升本”选拔 《高等数学》考试大纲（理工类）

总体要求

考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。

考试用时：120分钟

考试范围及要求

一 函数、极限和连续 二 一元函数微分学 三 一元函数积分学

四 向量代数与空间解析几何 （攀枝花学院理科、文科：无考题）

（成都理工大学： 理科：1个解答8分， 1个相关的填空题4分） （成都理工大学： 文科：无考题） （一）向量代数

1. 理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。

（1）向量概念： 既有大小又有方向的量叫做向量。

特殊向量： 零向量，单位向量，自由向量。

向量间的关系：两个向量相等，两向量平行，逆向量。 向量的运算：向量相加（和），两向量相减（差），数乘向量， （2）向量的坐标表示法 ① 表示： k a j a i a a z y

x ++= 或 },,{z y x a a a a =

② 向量的模：

2

22z

y x a a a a ++= ．

（3）单位向量：与向量 a 同方向的单位向量：

a

a

⋅=

方向余弦：向量a 与三条坐标轴的夹角分别为α、β、γ称为a 的方向角。 方向角α、β、γ的余弦值叫向量a 的方向余弦。

与向量 a 同方向的单位向量：

{}γβαcos ,cos ,cos 0

=a

向量 a 在三个坐标轴上的投影分别为：x a 、y a 、z a

|

|cos a a =

α、|

|cos a a =

β、|

|cos a a =

γ

2. 掌握向量的运算，向量的数量积、向量的向量积的计算方法。

（1）向量的线性运算

设},,{z y x a a a a =，},,{z y x b b b b =． 则

b a ±k b a j b a i b a z z y y x x )()()(±+±+±=

},,{z z y y x x b a b a b a ±±±=，

a λ},,{z y x a a a λλλ=．

（2）向量的数量积

定义： ),(cos ||||b a b a b a ∠⋅⋅=⋅ 计算公式：

b a ⋅z z y y x x b a b a b a ++=

（3）向量的向量积

定义：两向量a 与b 的向量积是一个向量，记为b a ⨯；规定它的模是

),(sin ||||||b a b a b a ∠⋅⋅=⨯；它的方向与向量a 、b 都垂直，且向量a 、b 、b a ⨯构

成右手系。

计算公式：

y x y x

b b a a j i

b a =⨯ 用途：求与两向量a 和b 同时垂直的向量。

3. 了解两向量平行或垂直的条件。

（1） 两向量平行： b a //⇔0=⨯b a ⇔b a λ=⇔z

z

y y x x b a b a b a =

= （2） 两向量垂直：

b a ⊥⇔0=⋅b a ⇔0=++z z y y x x b a b a b a

（二）平面与直线

1. 会求平面的点法式方程、一般式方程，会判断两平面的垂直、平行。 （1）平面的点法式：

平面π过点),,(0000z y x M ，法向量},,{C B A n =，则方程为：

0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A

（2）平面的一般式：0=+++D Cz By Ax

（3）两平面垂直、平行的判别

1π：01111=+++D z C y B x A ； 2π：02222=+++D z C y B x A

① 21ππ⊥⇔21n n ⊥⇔ 0212121=++C C B B A A ．

② 21//ππ⇔21//n n ⇔

2

1

212121D D C C B B A A ≠==． 2. 会求点到平面的距离。 （1）点到平面的距离

点),,(000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： ① 写出平面的法向量，即为垂线的方向向量。 ② 写出过点),,(000z y x P 且垂直平面的直线的方程。 ③ 将平面方程与其垂线的方程联合，解出垂足0P 的坐标。 ④ 求出垂足0P 与点P 间的距离，即得到点P 到平面的距离。 公式：2

2

2

000|

|C

B A D Cz By Ax d +++++=

（2）点到直线的距离

点),,(000z y x P 到直线L ：

p

z z n y y m x x 1

11-=-=-的距离． ① 写出直线的方向向量，即为垂面的法向量。