167;4单调有界数列：应用

(1
k n
n
)k
k
ek,
lim lim lim n
(1 k )n n
n
(1
k n
)
n k
k
n
(1
k n
)
n k
k
ek .
推广：
lim (1 1 ) e， 视为整体
n
凑 搭积木
例３
⑴
lim n
(1
2 n2
)n2
5
lim lim
n
(1
2 n2
)5
n
(1
2 n2
......
1 n!
n n!n
n!
1
1 1!
1 2!
......
1 n!
n n!n
n!
lim
n
1
1 1!
1 2!
......
1 n!
n
n!n
n!
1
1 1!
1 2!
......
1 n!
n!
lim n 0
n n
四、 e是无理数
证明： 设e p q ， 由2 e 3， q 2
(e
k 1
1 nk
1
1 1
1 2!
1
n
1
1
1 3!
1
n
1
1
1
n
2
1
.....
n
1
1
!
1
n
1
1
1
n
2
1
........1
n
n
1
en en
en 1
1
1 1
1 2!
1 3!
.......
1 n!
Sn
3
lim en
n
lim (1
n
1 )n n
存在，记为 e
lim (1 1)n e
n
ln
n
n
,
lim
n
n
0
说明： 利用欧拉常数可知：
1
1 2
1 3
1 n
ln(1
n)
n ( n
0，无穷小)
1
1 2
1 3
1 n
ln(n)
n(n
0，n
)
lim lim 111
1e 2 n
1 e ln( 1n) n e
n n
n n
例5：证明：1 1 1 ....... 1 ln 2
又因为e
Sn
n
1
1!
⑵
因此
n
1
1!
Байду номын сангаас
e
Sn
n
1
n!
n
n 1
e
Sn
n
n
!
1
n e Sn nn!,
n
n 1
n
1
e
Sn
n
n!n
,
n n 1
n
1,
e 1 1 1 ...... 1 n
1! 2!
n! n!n
例１计算 解：
limn!e n!e
n
lim
n
n!e n!e
lim
n
1
1 1!
1 2!
lim lim m
amk
m
(1
1 m
)m
k
ek
有子列 ek
⑵
an
1 (1 k )(1 k )
n
n
(1
k n
)n1 1
an1
1
n(1 n1
k n
)
n1
an是单增. lim an lim amk ek
n
m
——单调数列有子列收敛则收敛，
有子列发散则发散。
例2 lim (1 k )n ek
35
2n 1
n
2
n,
lim
n
n
0
证明：由于1
1 2
......
1 n
ln
n
'
n
,
lim
n
'
n
0,
因此有1
1 2
......
1 2n
ln
2n
'
2n
,
lim
n
'
2n
0,
故有
1
1 3
1 5
.......
1 2n 1
1 2
1
1 2
......
1 n
ln
2n
' 2n
1
1 3
1 5
.......
1 2n
n 2 3
n
进一步得到欧拉公式
1
1 2
......
1 n
ln
n
n,
lim
n
n
0
（１）因为
1 n 1
ln 1
1 n
1 n
因此 1 ln n 1 ln n 1
n 1
n
1
n
1
ln n
1
ln
n
1 n
n
1
2
ln n
2 ln n
1
1 n 1
固有
n
1
3
ln n
3
ln n
2
n
1
2
.........................................................
1
ln n k ln n k 1
1
n k
n k 1
将上面的式子相加得到结论：
k ln n k ln n k
nk
n
（２）由于
1 n 1
ln 1
2010/9
§4 单调有界数列：应用
讨论两类特殊极限
en
1
1 n n
;
sn
1 1 1!
1 ..... 2!
1 n!
一、 lim (1 1 1 1 1 )
n 1! 2! 3!
n!
由于 {sn}
并且 sn
1
1 1
1 12
1 23
1
1 23
4
1 12 n
1
1
1 2
1 22
1 2n1
三、误差分析
snm
sn
(n
1 1)!
(n
1 2)!
(n
1 m)!
(n
1
[1 1)!
n
1
2
(n
1 2)(n
3)
(n
1 2)(n
] m)
1 [1 1 ( 1 )2 ( 1 )m1 ]
(n 1)! n 1 n 1
n1
(n
1
1)!1
1
1
1 n!n
n1
令m
e
sn
1
n !n
e是无理数
lim (1 1 ) e， 视为整体
n
n2
)2
2
e2
⑵
1 lim ( n 3
2n )n 2n
(1
lim
n (1
1 )n 2n 3 )n 2n
lim (1
n
lim (1
n
1
2n1
)2
2n
3
2n3
)3 2
2n
13
e2 2
e 1
例４：利用不等式证明下面结论
1 n 1
ln 1
1 n
1 n
（１）
n
k
k
ln 1
k n
k n
（２）证明：lim 1 1 1 1 ln(1 n)存在。
1 n
又因为
xn1
xn
n
1
1
ln
n
2
ln
n
1
n
1
1
ln
1
n
1
1
0
因此有
xn
1
1 2
......
1 n
ln
n
1
1 2
......
1 n
ln
n
1
ln
n
1
ln
n
ln
n
ln
n
1
ln
n n 1
ln
1
1 n 1
lim ln n ln n 1 0
n
lim
n
xn
1
1 2
......
1 n
sq
)
1 q!q
q!(e
sq
)
1 q
1 2
但是：
q!(e
sq
)
q!(
p q
sq
)
(q
1)!
p
q!
sq
(q 1)! p q!(1
1 1!
12!
1q!)为整数
矛盾！
五、例题
例１
k N*,求证
lim (1 k )n ek .
n
n
证明：
⑴
an
(1
k )n,n n
mk时，amk
(1
1 )mk m
3
lim sn 存在，记为 s. n
二、 lim (1 1 )n
n
n
(1 n
)k
C
k n
n! k !(n
( 1 )k k)! n
1 (1 k!
1) n
(1
k
n
1)
en
(1
1 )n n
n k0
C
k n
(
1 n
)k
1 (1 1 )(1 2)(1 n 1)
n! n n
n
1 1 1 (1 1 ) 1 (1 1 )(1 2 )
n
n
解：
lim (n k )n n n
lim n (
1 n
1
)n lim (1
k
)n
n k n n k
令an
(1
n
k
)n k
lim lim
(1
n
n
k
)n k k
(1
m
n
k
)k k
ek
原式 ek
lim lim lim (1 k )n
n
n
n
(1
k n
n
)k
k
n
1
ln
2n
2
2n
1 2
1
1 2
......
1 n
ln
2n
' 2n
1 2
ln
n
' n
ln 2
n
2
n
这里 n
2n'
n
'
,
lim
n
n
0,
结论得证.
总结
lim1 n
1 1!
1 2!
1 n!
e
（单增）
lim (1 1 )n e
n
n
（单增） 且en sn
e
sn
1 n!n
误差公式
e 2.71828 — —自然对数之底
n
且e s
⑶ 对n m
en
1
1 1!
1 (1 2!
1) n
1 (1 m!
1 )(1 n
m n
1)
固定m,令n ，得
e 1 1 1 1
1! 2!
m!
e s e s
⑷ 总结：
lim 1 n
1 1!
1 2!
1 n!
e
(单增)
lim (1 1)n e
n
n
（单增） 且en sn
e 2.71828 — —自然对数之底
1 n
1 n
因此
1 ln n 1 ln n 1 ,
n 1
n
1
2
ln
2
ln1
1
1 ln 3 ln 2 1
3
2
............................
1 1 ....... 1 ln n 1 1 1 .... 1 (1)
23
n 1
2
n
n
1 1
ln
n
1
ln
n
2! n 3! n
n
11 1 1 1 s
2! 3!
n!
比en和en1的大小，en en1， en
en
n
1 cnk k 1
1 nk
1
1 1
1 2!
1
1 n
1 3!
1
1 n
1
2 n
.....
1 n!
1
1 n
1
2 n
........1
n
n
1
.
en 1
1
n
cnk1