补形法求解立体几何题(高中数学教与学)

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补形法求解立体几何题

…………从一道高考题谈起

竺美月 奉化市武岭中学

在对2006江西省高考理科第20题进行例题教学时，因为没有现成的两两相互垂直的三条直线，需要添加辅助线来建立空间直角坐标系，相当一部分同学会感到困难. 其实在求解某些立体几何问题时，若能把所求解的几何体补形成特殊的几何体，则可使求解问题的难度大大降低. 下面举例说明之，意在强调教师在教学过程中补上“补形法求解立体几何题”一课的重要性，以达到拓宽学生思维的目的.

例1（ 2006江西省高考理科第20题）：如图（1）在三棱锥BCD A -中，侧的斜边，3=AD ，

面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共

1==CD BD ，另一个侧面是正三角形. (1)求证：BC AD ⊥.

(2)求二面角D AC B --的大小.

(3)在直线AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 角，若存在，确定E 的位置；若不存在，说明理由分析：从题目的条件可以得出2===BC AC AB ，因此此三棱锥BCD A -的各棱长可以看作棱长为1的正方体的棱长、面对角线和体对角线，能考虑到这个特殊的边长关系，把三棱锥BCD A -的补形成一个正方体（四个顶点放到正方体的顶点上去），如图（2），借助正方体来建立空间直角坐标系，用向量法来解题，可使求解的难度大大降低.

解：由已知得：2===BC AC AB ，考虑到三棱锥BCD A -边的特殊性，把三棱锥

BCD A -

的四个顶点放到正方体的顶点上

去，，建立空间直角坐标系xyz B -，如图 则)1,0,1(A 、)0,0,0(B 、)0,1,1(C 、)0,1,0(D

(1))1,1,1(--=，)0,1,1(= 0=•BC AD Θ，BC AD ⊥∴即BC AD ⊥

(2))1,1,0(-=AC ，设),,(1111z y x n =为面ABC 的法向量，则BC n AC n ⊥⊥11,ρ

ρ 0,11=•=•∴n AC n ρ

ρ

⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨

⎧=+=-11

1

1111100y x y z y x z y ， 取11=y ，则)1,1,1(1-=n 设),,(2222z y x n =为面ADC 的法向量，则n n ⊥⊥22,ρ

ρ 0,022=•=•∴n n ρ

ρ

⎩⎨⎧==⇒⎩⎨

⎧=-+-=-00022

222222x y z z y x z y ， 取12=y ，则)1,1,0(2=n 36

232,cos 212121=

⋅=•=∴n n n n n n ρρρ

ρρρ， 即所求二面角D AC B --的大小为3

6

arccos

(3) 假设存在一点E ，使ED 与面BCD 成ο30角，设)1,,1(y y E -，则

)1,1,1(---=y y ，

)

1,0,0(=n ρ

为面BCD 的法向量

，

1

34212

1

30sin 2⨯+--=

==y y y n ορ2

2

1-

=⇒y ，此时CE ＝1 例2 （2003全国高考题12）如图（3），一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（ ） A .π3 B . π4 C .π33 D .π6 分析：此四面体为正四面体，将正四面体补形形成一个正方体，如图（4），则正四面体的棱长为正方体的的面对角线，所以正方体的棱长为1

，正四面体体的外接球即为正方体的外接

D

球，而正方体外接球的中心为体对角线的的中点，外接球的

直径为体对角线，所以外接球的半径2

3R ＝

ππ342==∴R S 球面 选(A)

例3：（2006湖南高考理9），棱长为2 的正四面体的四个顶点都在同一球面上，若过该球球心的一个截面如图（5），则图中三角形（正四面体的截面）的面积为（ ） A .

22 B . 2

3

C .2

D .3 分析：将棱长为2的正四面体补形成一个正方体，如图（6），则正方体的棱长为2，正四面体的外接球即为正方体的外接球，而正方体外接球的中心为体对角线的的中点， 3==CM BM

BCM ∆在正方体的对角面上，BCM ∆的BC 边上的高即为正方体的棱长

2=∴截面S ，选（C ）.

C

C

例4：如图（7），三棱锥ABC P -中，PC PB PA 、、两两互相垂直，

，＝＝、＝21PC PB PA 则空间一点O 到点C B A P 、、、等距离d 的值为（ ）

A .22

B . 23

C .25

D .2

6

分析：空间一点O 到点C B A P 、、、等距离，即点O 为三棱锥ABC P -的外接球的球心，所求的距离d 为三棱锥ABC P -的外接球的半径，将三棱锥ABC P -补形，使三棱锥ABC P -的四个顶点在长方体的顶点上，则三棱锥ABC P -的外接球的球心即为长方体的外接球的球心，而长方体的外接球的球心为长方体的体对角线的中点，长方体的外接球的直

径为长方体的体对角线，所以三棱锥ABC P -的外接球的半径2

5

d R ＝=，选（C ）.

例5：如图（8），点P 在正方形ABCD 所在的平面外，ABCD PD 面⊥，PD ＝AD ，则PA 与BD 所成角的度数为 分析：将四棱锥P －ABCD 补形成正方体，如右图，则PA 与BD 所成角即PA 与PM 所成角，而

∆PAM 为等边∆，ο60所求角为∴.

注：本文发表于《高中数学教与学》2007年第7期

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A

C

B