平方根、立方根2

• 一个正数
的正的平方根，记作
的负的平方根记 ”。这两个平方根合起
“ a ”，正数
作“ a
来记作“ a
”。
（3）性质
①一个正数的平方根有2个，它们互
为相反数；0只有1个平方根，它是
0本身；负数没有平方根。
②a 0时，a 0；
③( a ) a
2
a , a o 2 ④ a a 0, a 0 a, a 0
x
5、设 为正整数，若 x 1是完全平方数， 则它前面的一个完全平方数是（ ） • A． D B． x • C. D． 2 x 1
x
x 2 x 1 1
2
x
x 2 x 1 2
分析：设m x 1, 则m x 1
则x＋1前面一个完全平方数就是（m 1）
2
• 2、利用算术平方根的性质进行化
简计算。
三、典型例题剖析
（一）概念题
1、下列说法中正确的是（ C ） A.任何数的平方根都有两个 B.只有正数才有平方根 C.一个正数的平方根的平方就是 这个数 D.不是正数没有立方根
2、下列四个命题中，正确的是 （ D ） A.倒数等于本身的数只有1 B.绝对值等于本身的数只有0 C.算术平方根等于本身的数只有1 D.相反数等于本身的数只有0
2
0, 求xy y 2的值。
y 2x 0 2 解：由题意得9 x 0 3 x 0
x 3, y 6
xy y ( 3) (6) (6) 18
2 2
3、已知y
x 5 5 x 1,
求xy的算术平方根。
4、实数a、b在数轴上的位置如图所示，那 么化简|a-b|- 2 的结果是 ( C ) a A、2a-b B、b C、-b D、-2a+b
分析：由图知，b 0 a
a b a a b a b
2
（三）解方程
1、144x2=25
25 解：x 144
2
2、－100（x-1）2=(-4)3
解：由 x 5知x 5,
由 5－x知x 5,
x 5
y 0 011
xy 5,它的算术平方根为 5。
4、若M
a 2 b 3
a 3b是a 3b的算术平方根，
N＝2 a b1 1 a 2 是1－a 2的立方根， 求M N的立方根。 a 2b 3 2 解：由题意得 2a b 1 3
16 解：（x 1） 25
2
5 x 12
4 x 1 5
4 x 1 5 9 1 x 或 5 5
1 3 3、 ( 2 x 1) 54 4 3
解：（2x+1） =216 2x+1=6
2x=5 ∴x=2.5
（四）应用
1、已知 x 4 z 3 ( y 2 z 1) 0, 求
平方根、立方根
一、知识综览
• 平方根、算术平方根、立方 根的概念
• 开平方与开立方
1、平方根
（1）概念
如果一个数的平方等于a，那
么这个数叫做a的平方根(square
root)也称为二次方根。也就是说，
如果x2=a,那么x就叫做a的平方根。
a
（2）表示法
• 一个正数的平方根有2个，它们互 为相反数。
D. 2 90 4、计算下列各式并观察：8100＝ ____, 9 0.9 81 ____，0.81 _____, 0.0081 ______, ＝ 0.09 通过上述各式，你能发现什么样的规 律，用自己的语言叙述出来。
3、4的平方根是( C ) A. 8 B. 2 C. ±2
规律：被开方数的小数点向左移两位， 则结果的小数点向左移一位。
m 2m 1 x 1 2 x 1 1
2
＝x 2 x 1 2
6、已知一个正数的平方根为2a-3和 3a-22。 • （1）求出这个正数； • （2）请估算2a的算术平方根的近 似值（精确到十分位）。
解:(1)由题意得
（2a-3）＋（3a-22）＝0 5a=25 (2) 2a=10 ∴a=5
3 2 3
x y z 的值。
3 3 3
x 4 0 解：由题意得 z 3 0 y 2 z＋1＝0
x 4, y 5, z 3
x y z 64 125 27 216 6
3 3 3 3 3 3
2、如果
y 2xபைடு நூலகம் 9 x 3 x
B.－4x＋4
2
C.－2
2
D.4x-4
分析：4 x 4 x 1 ( 2 x 1) ＝ 2 x 1
由 2 x 3知2 x 3 0, 即2 x 3
2 x 1, 即2 x 1 0
原式＝2 x 1 ( 2 x 3) 2x 1 2x 3 2
10的算术平方根为 10 3.2
（二）化简
1、当
A.2
a
=-2时， a 2 的值是（ A ） B.-2 C.±2 D.4
2、化简 20 的结果是（ B ） A. 5 2 B. 2 5 C. 2 10 D. 4 5
3、化简 4 x 4 x 1
2

2 x 3 得( A )

2
A. 2
（2）性质
正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数； 0的立方根是0。
（3）基本公式
a ＝a
3 3
3
a ＝a
3
4、开平方与开立方
• 求一个数的平方根的运算，叫做 开平方。
• 求一个数的立方根的运算，叫做
开立方。
• 开方与乘方互为逆运算。
二、重难点注释
• 1、理解运用平方根、算术平方根、 立方根等概念进行一些简单的计算， 能解决一些简单的实际问题。
2、算术平方根
• 正数的平方根有2个，其中正数a的正
的平方根，也叫做a的算术平方根。
• 例如，4的平方根是±2，2叫做4的算 术平方根，记作 4＝2 。
• 2的平方根是 2 ， 术平方根。
2 叫做2的算
3、立方根 （1）概念
一般地，如果一个数的立方 等于a，那么这个数就叫做a的立 方根，也称为三次方根。即如果 x3=a,那么x就叫做a的立方根，记 为 3 a。