均匀设计

全面交叉试验要N=73=343次,太多了。 建议使用均匀设计。 有现成的均匀设计表，提供使用。参见:
“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版社(1994).” 之附表 1
也可以浏览如下网页
网络地址:.hk/UniformDesing 9
第1步: 将试验因素的水平列成下表：
U7 (74 )
234 236 465 624 153 312 541 777
表 1.1.4:
No. 1 2 3 1 123 2 246 3 362 4 415 5 531 6 654 7 777
第3步: 应用选择的 UD-表, 做出试验安排。
13
表 1.1.5: 1.5
No. 1 2 3 4 5 6 7
3. 对第二列，第三列做同样 的替代. 4. 完成该设计对应的试验， 得到７个结果，将其放入最 后一列.
14
第 4步: 用回归模型匹配数据 首先，考虑线性回归模型:
y 0 1x1 2 x2 3x3
(1.1.1)
使用回归分析中变量筛选的方法，比如‘向后法’，得到 推荐的模型为：
yˆ 0.2142 0.0792 x3
对某农作物产量的影响,
前两个为定量因素，后两个为定性因素。
如何安排试验，引出了下面的内容。
28
混合型因素混合型水平的均匀设计
一般情况下试验中既有定量型连续变化因素，又有定性型状态变化 因素。
假设有k个定量因素X1,…,Xk；
这k个因素可化为k个连续变量， q1，…，qk。

其水平数分别为
又有t个定性因素G1,…,Gt，
第四列安排种子品种 A，分3个A1，A2，
A3。
31
表 2.1.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
U12(12×6×4×3 )
1 234 1 112 2 223 3 332 4 443 5 511 6 623 7 131 8 243 9 311 10 4 2 2 11 5 3 1 12 6 4 2
讨论:
因素 x2 没有给响应Y予显著的贡献，我们可以选 x2为 其中点 x2 = 19 ml. 求出的x1* = 3.4 在边界上, 我们需要扩大 x1的试验上限。 在x1 = 3.4和 x3 = 2.7575的邻域,追加一些试验是必要的。
在第５步，一些优化算法是很有用的。 21
22
混合型水平的均匀设计
图 1.1.2c偏回归图
19 第5步: 优化 -- 寻找最佳的因素水平组合
表1.1.5的设计是73=343个全面试验的部分实施, 其中最好 的试验点是值为Y= 48.2%的 #7。它不一定是全局最好的。 人们想找到满足下式的x1*和 x3* :
Yˆ(x1*, x3*) max Yˆ(x1, x3 )
中国数学会均匀设计分会
1
前言
沐浴在改革开发的阳光下，神州大地生机盎然，新生事物层出不穷。在科教兴 国建设四化的过程中，人们熟悉的那些传统的试验设计方法，已不能充分满足 快节奏高效率的要求。新时期呼唤新思维¸新方法。
中国科学家巧妙的将“数论方法”和“统计试验设计”相结合，发明了一种全 新的试验设计方法，这就是均匀设计法。
z42 (1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1)
它们和 Ｘ、Ｔ 一起进行回归分析。
回归方程如下:
33
34
y 0 1 X 2T 3Z31 4Z32 5Z33 6Z41 7Z42
771 901 899 927 1111 1271
=
1053 1069 1187 1220 1062 974
U ( ) 12 12×6×4×3２ ×2２
1 23 4 56 7 1 1 1 1 2 312 2 2 2 2 3 221 3 3 3 3 2 112 4 4 4 4 3 121 5 5 5 1 1 222 6 6 6 2 3 211 7 7 1 3 1 111 8 8 2 4 3 321 9 9 3 1 1 322 10 10 4 2 2 2 1 2 11 11 5 3 1 1 1 1 12 12 6 4 2 3 2 2
均匀设计
因素的最大数
Un(qs)
试验次数
水平数 11
例如:
表 1.1.2:
No. 1 11 22 33 44 55 66 77
U7 (74)
234 236 465 624 153 312 541 777
12
表 1.1.3: U9 (94 )
No. 1 2 3 4 1 1213 2 2545 3 3987 4 4369 5 5471 6 6726 7 7194 8 8638 9 9852
111.0xx13 12.4 13.8 24.2 25.6 36.0 37.4
21x92 23.0 46211.050 12.5 316 50.5 722
3 3 6 2 5 1 4 7
2.0
28
y 0.330 0.366 0.294 0.476 0.209 0.451 0.482
1. 将 x1, x2和 x3放入列1,２ 和3. 2．用x1的７个水平替代第 一列的1到 7.
表 1.1.1: 因素 水 平
x1
原料配比
1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4
x2
吡碇总量 (ml)
10 13 16 19 22 25 28
x3
反应时间 (hr)
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
10
第2步: 选择相应的均匀设计表. 每个均匀设计表有一个记号，它有如下的含义:
yˆ 0.06232 0.25 x3 0.06 x32 0.0235 x1x3 (1.1.4)
中的三项，在 5%的水平下都是显著的。
图1.1.1:
残差与 yˆ 的示意图
y yˆ
状态是正常的，所以模型 (1.1.4)是可接受的。
yˆ
图 1.1.2a 匹配图
18
图 1.1.2b 正态 Q-Q 图
(1.1.4)
表 1.1.6:
来源
回归 误差 总和
方差分析（ANOVA） 表
df SS
MS
3 0.062190 0.020730
3 0.014170 0.000472
6 0.063608
F 43.88
p 0.006
16
具有
模型
17
R2 0.978, s 0.02174,
tx3 6.41, tx32 5.64, tx1x3 4.88.
入門
(PPT)
策划:方开泰
执笔:王柱
6
-1-
使用方法 7
我们通过制药工业中的一个实例, 来看均匀 设计表的使用方法。 例1.1 :阿魏酸的制备
阿魏酸是某些药品的主要成分，在制备过程 中，我们想增加其产量。
这就是说以阿魏酸的产量作为目标 Y。
8
经过分析研究，挑选出因素和试验区域，为 原料配比:1.0---3.4 吡啶总量:10----28 反应时间:0.5---3.5 确定了每个因素相应的水平数为7。如何安排试验呢?
e1
e2
0
e3
1
e4
2
e5
3 +
e6
4
e7
5
e8
6
e9
7
e10
e11
e12
35
ˆ0 158.96
解得
回归系数的
最小二乘估
ˆ1 ˆ2
8.54 12.625
计及其Ｒ和 ˆ3 231.09
Ｆ值为：
ˆ4 208.98
ˆ5 144.45
ˆ6 124.50
ˆ7 168.875
32
为了进行分析，我们引进5个‘伪变量’。它们的记
号和取值如下：
B因素的
z31 (1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0) z32 (0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0) z33 (0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0)
A因素的
z41 (0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0)
(1.1.2)
这个结果与人们的经验不符。
15
然后，我们尝试用二次回归模型来匹配这些数据：
y 0 1x1 2 x2 3x3 11x12 22 x22 33x32
12 x1x2 13x1x3 23x2 x3
(1.1.3)
使用‘向前’的变量选择法，我们发现适宜的模型：
yˆ 0.06232 0.25 x3 0.06 x32 0.0235 x1x3
试验中各因素若有不同水平数，比如，其水平数分别为q1，…，qk。
这时应使用相应的均匀设计表。见
“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版(1994).” 之附表2
23
每个混合水平表有一个记号，含义为：
均匀设计
定量因素 的最大数
Un(q1 × … × qk )
试验次数
各定量因素 之水平数
下表是一个混合水平均匀设计表:
13 每个表还有一个使用表，将建议我们如何选择适当的 列。其中‘偏差’为均匀性的度量值，数值小的设计 表示均匀性好。例如 U7 (74)的使用表为,
因素数
列号
偏差
2
1, 3
0.2398
3
1, 2, 3
0.3721
4
1, 2, 3, 4
0.4760
表1.1.2:
No. 1 11 22 33 44 55 66 77
方开泰 王 均匀设计法诞生於１９７８年。由中国著名数学家
教授和
元院士合作共同发明。
2
华罗庚
王元
3
4
均匀设计是一种试验设 计 方法。它可以用较少的试 验次数，安排多因素、多水平 的析因试 验，是在均匀性的 度量下最好的析因试验设计方 法。均匀设计也是仿真试验设 计和稳健设计的重要方法。
5
Introduction to
1 70 1 1 0 0 0 1 1 74 2 0 1 0 0 0 1 78 3 0 0 1 0 1 1 82 4 0 0 0 0 0 1 86 5 1 0 0 1 0 1 90 6 0 1 0 0 0 1 94 1 0 0 1 1 0 1 98 2 0 0 0 0 0 1 102 3 1 0 0 1 1 1 106 4 0 1 0 0 0 1 110 5 0 0 1 1 1 1 114 6 0 0 0 0 0
这t个定性因素分别有d1，…，dt
人们使用“拟水平法”，或用优化方法计算，求出相应的 均匀设计表。
29
这种混合因素混合水平表有如下的记号和含义：
均匀设计
定量因素 的最大数
定性因素 的最大数
Un(q1 × … × qk × d1 × …× dt )
试验次数
各定量因素 之水平数
各定性因素 之水平数
例：
这里求取max的区域为：
1 x1 3.4, 0.5 x3 3.5
且
Yˆ(x1, x3) 0.06232 0.25x3 0.06x32 0.0235x1x3
图 1.1.3 等值线图
20 (x1*,x3*)
x1x3的回归系数是正的，x3的回归系数也是正的, x1* = 3.4.
Yˆ(3.4, x3) 0.06232 0.3309x3 0.06x32 在x3* = 2.7575达到最大值 。 在x1* = 3.4和 x3* = 2.7575处估计响应的最大值是 51.85% 。它 比７个试验点的最好值48.2%还大。
试验的安排及结果如表2.1.2
XTB A 值 70 1 B1 A2 771 74 2 B2 A3 901 78 3 B3 A2 899 82 4 B4 A3 927 86 5 B1 A1 1111 90 6 B2 A3 1271 94 1 B3 A1 1053 98 2 B4 A3 1069 102 3 B1 A1 1187 106 4 B2 A2 1220 110 5 B3 A1 1062 114 6 B4 A2 974
30
１２次试验。
可以安排２个
水平数为12和 6的定量因素，
以及总数为５
的一个水平 为4、两个水 平为3和两个 水平为2的定
性因素的设计。
我们选均匀设计表 2.1.1安排此试验
第一列安排平均施肥 量X，分为12个水 平
第二列安排种子播种 前浸种时间T，分 为6个水平
第三列安排土壤类型 B，分4种B1，B2， B3，B4。
24
它的试验数ｎ 为 12。可以安 排水平数为６、 ４、３的因素 各一个。
U12(624)
1
2
3
1
1
2
3
2
1
3
2
3
2
5
1
4
2
6
4
5
3
1
2
6
3
3
1
7
4
4
4
8
4
6
3
9
5
1
1
10
5
2
4
11
6
4
3
12
6
5
2
此表也是混合水平均匀设计表。
它的试验数ｎ 为 12。可以安 排二个6水平因 素和一个4水平 因素的设计。
25
-2-
使用方法 26
27
例2 .1:在农业试验中
考虑4个因素：
平均施肥量X，分为12个水平 (70,74,78,82,86,90,94,98,102,106,110,114)。 种子播种前浸种时间T，分为6个水平(1,2,3,4,5,6)。 土壤类型B，分4种B1，B2，B3，B4。 种子品种A，分3个A1，A2，A3。