《经济数学》PPT课件 (10)[46页]
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经济数学
第一节 安排生产问题及解决方案
【问题分析】
第一问是典型的线性规划问题，设 x1, x2 , x3分别表示产品 A, B,C 的产量，可建立如下线性规划模型：
max z 100x1 80x2 70x3
9x1 8x2 6x3 500
s.t .
5 8
x1 x1
4 3
x2 x2
7 x3 2x3
经济数学
第一节 安排生产问题及解决方案
二、典型问题解决方案 概念 称（1）式为原始线性规划问题或原问题，（2）式为对
偶线性规划问题或对偶问题。这种对应关系称为对偶关系。 一般地，原问题与对偶问题的关系，其变化形式可归纳为：
经济数学
第一节 安排生产问题及解决方案
二、典型问题解决方案
例如
max z 5x1 3x2 2x3 4x4
经济数学
第一节 安排生产问题及解决方案
二、典型问题解决方案 继续讨论引例的第二问，设 y1, y2 , y3 , y4分别表示四种资源的
单位增殖价格(售价＝成本＋增殖价格)， 则决策者将所有资源出 租或出让的总增值为
w 500 y1 450 y2 300 y3 550 y4 企业生产一件 产A 品所用四种资源的数量分别是9，5，8和7个 单位，利润是100,那么企业出售这些资源的获利应不少于100， 即
min w 500 y1 450 y2 300 y3 550 y4
9 y1 5 y2 8 y3 7 y4 100
s.t
.
8 6
y1 y1
4 7
y2 y2
3 y3 2 y3
6 4
y4 y4
80 70
yi 0, i 1, , 4
经济数学
（2）
第一节 安排生产问题及解决方案
经济数学
第十章 寻找效益最大化的方法路径
中国人民大学出版社
名言
毕达哥拉斯
在数学的天地里，重要的不是我们 知道什么，而是我们怎么知道什么.
经济数学
故事
1973年比尔·盖茨进入哈佛大学法律系学习，他不喜欢法律，但对 计算机十分感兴趣。因此他面临两种选择：是继续学习，还是辍学创 办软件公司？19岁时比尔·盖茨选择了辍学并创办了自己的软件公司。 他终于成功了，以净资产850亿美元荣登世界亿万富翁的榜首。当比 尔·盖茨应邀回母校哈佛大学参加募捐会时，记者问他是否愿意继续学 习以拿到哈佛大学的毕业证，他笑了笑，没有回答。看来比尔·盖茨是 不愿意回到哈佛大学继续学习了，因为那样的话机会成本太大——失 去世界首富的地位。机会成本是决策者进行正确决策所必须考虑的现 实因素，忽视了机会成本，往往有可能使投资决策发生失误。
经济数学
min w 8 y1 10 y2
5 y1 2 y2 5
s.t .
y1 y1
4 y2 3 y2
3 2
8 y1 来自百度文库 y2 4
y1 0
经济数学
第一节 安排生产问题及解决方案
二、典型问题解决方案 对于原问题与对偶问题，我们有如下定理：
定理1 对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。 定理2 对偶定理：若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解， 且目标函数值相等。
5x1 x2 x3 8x4 8
s.t
.
2
x1
4 x2
3 x3
2 x4
10
x1
,
x2
0
其目标函数为 max，根据关系表可知对偶问题的目标函数为 min；原问题中含有4个变量，故对偶问题中 应该含有4个约束条
件。原问题的约束条件个数为2，对偶问题的变量个数也为2，设 为 y，1 , 因y2 此原问题的对偶问题为：
产品，要劳动力、原材料两种资源，已知每件产品所消耗的 资源数、每种资源的数量限制以及每件产品可获得的利润如 表10-3所示：
（1）确定获得总收入最大的生产计划； （2）如果劳动力数量不变，材料不足可以从市场购买，每单 位0.4元，那么该单位要不要购进原材料扩大生产？
450 300
7 x1
6 x2
4 x3
550
x1 , x2 , x3 0
（1）
经济数学
第一节 安排生产问题及解决方案
【问题分析】
对于第二问，资源售价由单位成本和增值价格两部分构成， 增值价格又可以理解为机会成本(也称为影子价格)。决策者 要考虑的核心问题就是增值价格的确定，因为价格太高对方 不愿意接受，价格太低自己收益又太少。合理的价格应该是 使对方用最少的资金购买自己的全部资源，而自己所获得的 利润不应低于自己用于生产时的获利。例如，若用9个单位的 资源Ⅰ、5个单位的资源Ⅱ、8个单位的资源Ⅲ和7个单位的资 源Ⅳ生产1件产品A可获利100，则用于生产1件A的这四种资源 出租和出让的获利应不低于自己生产的获利100。
影子价格(Shadow Price) 对偶问题的最优解
机会成本又称“择一成本”。指把已放弃的方案可能获取的收 益，作为评价优选方案即被选取方案所付出的代价。它是指 一笔投资在专注于某一方面后所失去的在另外其它方面的投 资获利机会。
经济数学
第一节 安排生产问题及解决方案
二、典型问题解决方案 案例1 某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙、丙三种
9 y1 5 y2 8 y3 7 y4 100
经济数学
同理，对产品 B 和 C 有 8 y1 4 y2 3 y3 6 y4 80 6 y1 7 y2 2 y3 4 y4 70
同时，资源增值价格不可能小于零，即有 yi 0 (i 1, 2, 3, 4)
综上所述，企业的资源增值价格模型为：
经济数学
目录
1. 机会成本计算问题及解决方案 2. 对偶问题典型案例 3. 进一步学习的数学知识：对偶单纯形法
经济数学
第一节 安排生产问题及解决方案 一、问题引入
引例：某企业用四种资源生产三种产品，工艺系数、资源限量 及价值系数如表10-1所示：
那么该企业如何组织生产才能获利最大？假如企业的决策者 决定不生产产品 A, B,C，而将其所有资源出租或外售，此时， 决策者如何对每一种资源进行定价呢？
二、典型问题解决方案 上述两个模型（1）和（2）是对同一问题的两种不同考虑的
数学描述，其间有着一定的内在联系，具体表现为： （1）两个问题的系数矩阵互为转置； （2）一个问题的变量个数等于另一个问题的约束条件个数； （3）一个问题的右端系数是另一个问题的目标函数的系数；
（4）一个问题的目标函数为极大化，约束条件为“≤”类 型， 另一个问题的目标函数为极小化，约束条件为“≥”。
第一节 安排生产问题及解决方案
【问题分析】
第一问是典型的线性规划问题，设 x1, x2 , x3分别表示产品 A, B,C 的产量，可建立如下线性规划模型：
max z 100x1 80x2 70x3
9x1 8x2 6x3 500
s.t .
5 8
x1 x1
4 3
x2 x2
7 x3 2x3
经济数学
第一节 安排生产问题及解决方案
二、典型问题解决方案 概念 称（1）式为原始线性规划问题或原问题，（2）式为对
偶线性规划问题或对偶问题。这种对应关系称为对偶关系。 一般地，原问题与对偶问题的关系，其变化形式可归纳为：
经济数学
第一节 安排生产问题及解决方案
二、典型问题解决方案
例如
max z 5x1 3x2 2x3 4x4
经济数学
第一节 安排生产问题及解决方案
二、典型问题解决方案 继续讨论引例的第二问，设 y1, y2 , y3 , y4分别表示四种资源的
单位增殖价格(售价＝成本＋增殖价格)， 则决策者将所有资源出 租或出让的总增值为
w 500 y1 450 y2 300 y3 550 y4 企业生产一件 产A 品所用四种资源的数量分别是9，5，8和7个 单位，利润是100,那么企业出售这些资源的获利应不少于100， 即
min w 500 y1 450 y2 300 y3 550 y4
9 y1 5 y2 8 y3 7 y4 100
s.t
.
8 6
y1 y1
4 7
y2 y2
3 y3 2 y3
6 4
y4 y4
80 70
yi 0, i 1, , 4
经济数学
（2）
第一节 安排生产问题及解决方案
经济数学
第十章 寻找效益最大化的方法路径
中国人民大学出版社
名言
毕达哥拉斯
在数学的天地里，重要的不是我们 知道什么，而是我们怎么知道什么.
经济数学
故事
1973年比尔·盖茨进入哈佛大学法律系学习，他不喜欢法律，但对 计算机十分感兴趣。因此他面临两种选择：是继续学习，还是辍学创 办软件公司？19岁时比尔·盖茨选择了辍学并创办了自己的软件公司。 他终于成功了，以净资产850亿美元荣登世界亿万富翁的榜首。当比 尔·盖茨应邀回母校哈佛大学参加募捐会时，记者问他是否愿意继续学 习以拿到哈佛大学的毕业证，他笑了笑，没有回答。看来比尔·盖茨是 不愿意回到哈佛大学继续学习了，因为那样的话机会成本太大——失 去世界首富的地位。机会成本是决策者进行正确决策所必须考虑的现 实因素，忽视了机会成本，往往有可能使投资决策发生失误。
经济数学
min w 8 y1 10 y2
5 y1 2 y2 5
s.t .
y1 y1
4 y2 3 y2
3 2
8 y1 来自百度文库 y2 4
y1 0
经济数学
第一节 安排生产问题及解决方案
二、典型问题解决方案 对于原问题与对偶问题，我们有如下定理：
定理1 对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。 定理2 对偶定理：若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解， 且目标函数值相等。
5x1 x2 x3 8x4 8
s.t
.
2
x1
4 x2
3 x3
2 x4
10
x1
,
x2
0
其目标函数为 max，根据关系表可知对偶问题的目标函数为 min；原问题中含有4个变量，故对偶问题中 应该含有4个约束条
件。原问题的约束条件个数为2，对偶问题的变量个数也为2，设 为 y，1 , 因y2 此原问题的对偶问题为：
产品，要劳动力、原材料两种资源，已知每件产品所消耗的 资源数、每种资源的数量限制以及每件产品可获得的利润如 表10-3所示：
（1）确定获得总收入最大的生产计划； （2）如果劳动力数量不变，材料不足可以从市场购买，每单 位0.4元，那么该单位要不要购进原材料扩大生产？
450 300
7 x1
6 x2
4 x3
550
x1 , x2 , x3 0
（1）
经济数学
第一节 安排生产问题及解决方案
【问题分析】
对于第二问，资源售价由单位成本和增值价格两部分构成， 增值价格又可以理解为机会成本(也称为影子价格)。决策者 要考虑的核心问题就是增值价格的确定，因为价格太高对方 不愿意接受，价格太低自己收益又太少。合理的价格应该是 使对方用最少的资金购买自己的全部资源，而自己所获得的 利润不应低于自己用于生产时的获利。例如，若用9个单位的 资源Ⅰ、5个单位的资源Ⅱ、8个单位的资源Ⅲ和7个单位的资 源Ⅳ生产1件产品A可获利100，则用于生产1件A的这四种资源 出租和出让的获利应不低于自己生产的获利100。
影子价格(Shadow Price) 对偶问题的最优解
机会成本又称“择一成本”。指把已放弃的方案可能获取的收 益，作为评价优选方案即被选取方案所付出的代价。它是指 一笔投资在专注于某一方面后所失去的在另外其它方面的投 资获利机会。
经济数学
第一节 安排生产问题及解决方案
二、典型问题解决方案 案例1 某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙、丙三种
9 y1 5 y2 8 y3 7 y4 100
经济数学
同理，对产品 B 和 C 有 8 y1 4 y2 3 y3 6 y4 80 6 y1 7 y2 2 y3 4 y4 70
同时，资源增值价格不可能小于零，即有 yi 0 (i 1, 2, 3, 4)
综上所述，企业的资源增值价格模型为：
经济数学
目录
1. 机会成本计算问题及解决方案 2. 对偶问题典型案例 3. 进一步学习的数学知识：对偶单纯形法
经济数学
第一节 安排生产问题及解决方案 一、问题引入
引例：某企业用四种资源生产三种产品，工艺系数、资源限量 及价值系数如表10-1所示：
那么该企业如何组织生产才能获利最大？假如企业的决策者 决定不生产产品 A, B,C，而将其所有资源出租或外售，此时， 决策者如何对每一种资源进行定价呢？
二、典型问题解决方案 上述两个模型（1）和（2）是对同一问题的两种不同考虑的
数学描述，其间有着一定的内在联系，具体表现为： （1）两个问题的系数矩阵互为转置； （2）一个问题的变量个数等于另一个问题的约束条件个数； （3）一个问题的右端系数是另一个问题的目标函数的系数；
（4）一个问题的目标函数为极大化，约束条件为“≤”类 型， 另一个问题的目标函数为极小化，约束条件为“≥”。