一类微分算子的特征值和特征函数的渐近估计

首先 把 （ ） 为下述 非 齐次方 程初值 问题 的解 ： ｚ， 视
１ Ｏ ｙ（ ）
一
（【 ７ ）一 １
５ ， … ～
由常数变 易法 ， 得 ９ｘ，） 可 （ 的形 式为 ：
一 ｃｓ ｏ ｚ ＋ ｉ ｖ￣ ｘ（ ｓ － １ ｎ－ ／
ｓ、７一ｓ 兀 Ｂ 去 １／ｃ 一） √ Ｊ ｎ＾ ＾ ＋＾ 。
ｉ （ ｆ ｎ ） －ｄ ｆ
其 中
Ｂ 去 ：
以下 分析 ：． １ 来自百度文库 引理 １ ２ ．
ｉ （ ｎ 兀
（） １ ． ７
如果 ９ ｘ ） 足 （ ） （ ）则 它 为问题 （ ． ） 特征 函数 ， （， 满 ０一 ７ ， ｒ １４的 对应 的 为特 征值 ． 定义 １ 称 厂（ ， ） ＝ （ ） ． ｇ ＝ ０ 一 （ ） ＝ ７ 为问题 （ ． ） ｃ １ ４ 的特 征方程 ． ， ｇ 的解析性 质 ；． ２口 － ０的根 的分 布及渐 近性 ． ，） ２ｆ（ ，） Ｘｈ ￣ ＥＲ， （ ） 。ｏ ７ ， ｚ ２ｑ 满足下 列性 质 ： ｑ ｚ ＥＬ Ｅ ，］ （ ， ，） 【
ｆ， ＋ｔ‘０ 一 ｇ １Ｏ）一 ％ （ ）一’ ％ 一 ～ ， 一 ‘ ｚ ％（ ７
２ 特征 值 和 特征 函数 的渐近 式
定理 ２１ 设 （ ， （ ，，） ・ 工舀 为ｚ的函数 ， ． ・，，）协 ・ ， （ ，，） 则下列等式成立 （） ， （ ） （） Ｉ （）ｒ ａ［ ｚ ＋ ｏ ＝ ｒｄ． ，
谭 佳 ， 高云 兰 ， 塔 娜 ， 王 琳
（ 蒙 古工 业 大 学 理 学 院 ， 和 浩特 ０ ０ ５ ） 内 呼 １ ０ １
摘要 ： 本文利用Ｂ ｎｃ ａａ ｈ空问中的Ｆｅｈｔ ｒｃ６ 导数技术， 研究了一类具有周期型耦合
边 界 条 件 的微 分 算 子 的 特 征 值 和 特 征 函数 ， 出该 类 算 子 的特 征 值 和 特 征 函数 的 给 更精 细 的 渐 近 估 计 （ － ９参考 文献 （］ 比） １相 ．
１ （ ，） 于 ｚ在［ ，］ 连续 ； ） ， ｇ 关 Ｏ ７上 【
２ （ ， ） 于任 意 （・， ， ＥＲ×Ｌ Ｅ ， ］ Ｆ ｅ ｈ ｔ ） ・， ｇ 关 ） 。ｏ ７ 是 ｒｃ ６ 可导 （ 一 导 ） ， 导 算子 满 足定解 问 ｃ Ｆ可 的 且
题：
ｆＯ ＋ｃ ｚ 一 Ｉ： 仇（ ）＝’ ？ ， ０ 一） 一 （ ７ ，一
（） １ ． ３
收 稿 日期 ：０ ９０— ６ ２ ０ — ７１ 基金项 目： 内蒙 古 工 业 大 学 基 金 项 目 （ 号 ：Ｄ ０８ ４ 编 Ｚ ２０１）
作者简介 ： 谭佳 ， ， 算数学 专业 ，０ ６ 女 计 ２ ０ 级研究生．
８ ２
内蒙古工业大学学报
２ １ 焦 ００
其 中 ｏ ≤７ ｇ ｚ ＥＬ ［ ，］ ４ｚ ｃ （ ） 。０ ７ ． ， ｒ
然而 ， 离 边 界 条 件 仅 是 一 类 特 殊 的 自伴 边 界 条 件 ， 此 ， 一 般 自伴 边 界 条 件 下 的 Ｓｕｍ— 分 因 在 ｔｒ
Ｌｏ ｖｌ ｉｕ ｉｅ问题 特 征值是 否仍 为简 单 的 ， ｌ 以及它 们在实 轴上 的分布 情况 自然就是 值得 讨论 的 问题 ． 袁小平 在文 章 （ ］ １ 中将 自伴 边 界条 件简 化 成两 种等 价 的标准 形 式 ， 并对 特 征值 的渐 近 式 和分 布 进行 了讨 论． 本 文将 利用 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空间 中 的 Ｆ ｅｈ ｔ 数技 术 ， 出一 类具 有周 期 型耦 合边 界条 件 的微 分 算子 的特 征值 ｒｃ ６ 导 给 和特征 函数 的更精 细 的渐近 估计 （ － 考文 献 Ｃ ３ 比） ９参 １Ｎ ．
１ 基 本 概 念及 结 论
Ｙ（ 兀）一 ０ ｙ （【 ７）一 ０
其 中 ａ ｂ ｆｄ， 为 实数 ， ａ －ｂ ＝ １ ，，， ０ 且 ｄ ｃ ． 引理 １ １ 问题 （ ． ） ．ｎ １ １ 具有 可 列个 实特 征值 ， 没有 有 限聚点 ， 多有 有 限 多个 负 特征 值． 充分 大 最 且
内蒙 古 工 业 大 学 学报
第２ ９卷
第 ２期
Ｊ ＯＵ ＲＮＡＬ ＯＦ ＮＮＥ Ｍ ＯＮＧＯＬＩ Ｉ Ｒ Ａ Ｕ ＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ ＯＦ ＴＥＣＨＮ０ＬｏＧＹ
文章 编 号 ：０ １ ５６ （０ ０ ０ —０ １０ １ ０ — １ ７ ２ １ ） ２０ ８— ５
一
类 微 分 算 子 的特 征值 和 特 征 函 数 的渐 近 估 计
的特征值是单重的， 特征值和相应特征函数分别有如下渐近式 ：
厂 １
＾九＝ （ 、 ／ 一１ ＋ｏ 寺） ） （
Ｊ＿＿＿一
（．） １２
（ ）√ ｃ（ １ ＋ （） 一 。 一） ０ ， ｓ ｚ
本 文主要 讨论 如下 问题 的特 征值 和相 应特征 函数 的渐 近估计 ．
（～） １ ． ８ …
（～） １ ． ９ …
（） ％ （） （） ｂ ［ ， ． ＋ ｏ 一一 Ｉ （ （） ． ｚ １ ｒ ｒｄ ｑ ） ｒ
嗍 题＋ 曲
＋
一
＋
关键词 ： 微分算子 ； 特征值； 特征函数 ； 渐近估计 中图分 类号 ： １５３ Ｏ ７． 文 献标识 码 ： Ａ
０ 引 言
微 分算子 理论是 量 子力 学 、 学物 理方 程 以及 其 它技术 领域 的有 力 的数学 工具 ． 数 微分 算子理 论 中的 基础 问题之 一就 是 微分 算子 的 谱理 论 ， 即微 分算 子谱 的定 性分析 ， 近 估计 ， 渐 按特 征 函 数展 开以及 反 问 题等． 对于经 典 （ 分离 边界 条件 下 ） Ｓ ｕ ｍ— ｉ ｖｌ 即 的 ｔｒ Ｌｏ ｉｅ问题 ， 在可数 个 实单重 的 特征值 ． ｕ ｌ 存