《电路》第八章_向量法

§8-2 正弦量
一. 正弦量 1、振幅Im
i(t)=Imcos(w t+y i)
正弦量在整个振荡过程中达到的最大值。 2、角频率ω i T 相位变化的速度，反映正弦量 Im 变化的快慢，单位 rad/s。
w 2 f 2
O
T
2
wt
频率f ：赫兹（Hz） yi 周期T：秒（s） 如：f =50Hz, T = 0.02s，ω =314 rad/s
二. 正弦量的相量表示
问题的提出： 两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。
i1 2 I 1 cos(w t y 1 )
i2
2 I 2 cos(w t y 2 )
？
角频率： w
有效值：
u, i i1 I1
i1 0
w
i2
i2 I2
i1+i2 i3 i3 w
I3 wt
初相位： 1
称
为正弦量 i(t) 对应的相量。
I I Ψ
I m I m Ψ

2 I cos( w t Ψ )

相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u( t ) 2U cos(w t θ ) U Uθ

相量图：
在复平面上用向量表示相量的图
3

3
当 10 t1 3 有最大值
3
3
10
3
＝1.047 ms
二. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 则 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i 规定： |j | (180°)。 等于初相位之差 j >0， u超前i j 角，或i 落后u j 角(u 比 i 先到达最大值)； u, i u i
0
i2 ( t ) 3 cos(100 t 30 )
0
j 30 ( 150 ) 120
0 0
0
(4) u1 ( t ) 10 cos(100 t 30 )
0
w1 w 2
不能比较相位差
u2 ( t ) 10 cos(200 t 45 )
0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函 数、同符号，且在主值范围比较。
I m I m Ψ I m e


jwt
)]
２.
正弦波与旋转相量:

jy
旋转相量

Im e
+1
jw t
i Re[I m e
jt
]
ω
Im
O
t1 t2 t1 t2
+j
O
T
t
正弦电流 i 的瞬时值等于其对应的旋转相量在实轴上的投影。
三. 相量的运算
1. 同频率正弦量的加减
u1 ( t ) u2 ( t ) 2 U 1 cos(w t Ψ 1 ) Re( 2 U 1 e
三. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均 效果工程上采用有效值来表示。 正弦电流有效值(effective value)定义 物 理 意 义 电流有效 值定义为 直流I
R
交流i
R
W RI T
2
W

T
Ri ( t )dt
2
0
def
I
1 T

T 0
§8-3 相量法的基础
一.正弦稳态电路 激励和响应均为正弦量的电路称为正弦稳态 电路（正弦电流电路或交流电路） 。 优点: 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数。 2）正弦信号容易产生、传送和使用。 3）正弦信号是一种基本信号，任何周期变化规律 复杂的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。
三、旋转因子
e
j
1
是一个模等于1，辐角为θ的复数。
任意复数A乘以e jθ 等于把复数A逆时针旋转一个角度θ， 而A的模值不变。
j

2
e
j
j

2
e
j
e
j
1
因此，“±j ”和“-1”都可以看成旋转因子。
例如： 一个复数乘以j，等于把该复数逆时针旋转π/2， 一个复数除以j，等于把该复数乘以-j，等于把它顺 时针旋转π/2 。
O
j

wt
j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角, i 比 u 先到达最大值。
特殊相位关系：
j = (180o ) ，反相：
u, i u u i 0 j= /2，正交： u, i u i 0 iw t
j ＝ 0， 同相：
u, i
0
wt
同样可比较两个电压或 两个电流的相位差。
F1
O
F2
+1
F1 F2
3、乘法
用指数形式比较方便，设
F1 | F1 | 1
F2 | F2 | 2
F1 F2 F1 1 F2 2 F1 F2 1 2
4、除法
F1 F2
| F1 | 1
| F2 | 2

F1 F2
1 2
2
3
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此， 正弦量 复数
实际是变 换的思想
1. 正弦量的相量：
复函数： A( t )

无物理意义
j
2 Ie

2 Ie
j( wt )
是一个正弦量 有物理意义
2 Icos(wt ) j 2 Isin(wt Ψ )
j
4、极坐标形式
F =|F| /θ
3+j4= 5 /53.1° 10 /30 °=10(cos30 °+ jsin30 °) =8.66+j5
二、复数的运算 1、加法: 用代数形式进行，设
F1 a1 jb1 F2 a2 jb2
几何意义:
F2
+j F1 F2
F1
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 )
i
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s， （1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1 。
wt 解
t1
i ( t ) 100 cos(10 t y )
3
0
t 0 50 100 cosy
由于最大值发生在计时起点右侧
y 3 y
3
) t1＝
i ( t ) 100 cos(10 t
o

o U 1 6 30 V o U 2 460 V
O
+1
(a1 a2 ) j(b1 b2 )
2、减法 用代数形式进行，设 F a jb 1 1 1
F2 a2 jb2
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
几何意义
+j
F1 F2
F2
3、初相位（角）y i 反映正弦量的计时起点
主值范围内取值
i Im 2π O π 2π ωt
y i 180
i(t)=Imcos(w t+y i)
yi
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 i
i(t)=Imcos(w t+y i)
wt
0
y i=－/2
y i =0
yi =
例
100 50
i ( t )d t
2
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
同样，可定义电压有效值：
正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(w t+ )
def
U
1 T

T 0
u ( t )d t
2
I

T
1
T
I cos ( w t Ψ ) dt
2 m 2
0

T
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱs ( w t Ψ ) dt

O
a
+1
2、三角形式 +j
F F (cos j sin )
b

F
+1
模 辐角
e
j
F
a b
2
2
arctan
e 2
e 2j
j
b a
O
3、指数形式
a
cos
sin
根据欧拉公式
e
j
j
F F (cos j sin )
F Fe
( 2)
i2 ( t ) 10 cos(100t 105 )
0
i2 ( t ) 10 sin(100 t 15 )
0
j 30 ( 105 ) 135
0 0
0
( 3)
i1 ( t ) 5 cos(100 t 30 )
0
i2 ( t ) 3 cos(100t 150 )
+j
I

0
+1
例1
已知 i 141.4 cos(314t 30o )A,
u 311.1cos(314t 60 )V
o
试用相量表示i, u 。
解：
I 100 30 A,
o

U 220 60 V
o

i(t)
2 Icos(w t Ψ ) Re[A( t )] Re[ 2 Ie
wt
例
(1)
计算下列两正弦量的相位差。
i1 ( t ) 10 cos(100 t 3 4) i2 ( t ) 10 cos(100 t 2)
i1 ( t ) 10 cos(100 t 30 )
0
解
j 3 4 ( 2) 5 4
j 5 4 2 3 4
第八章 相量法
重点 1. 正弦量 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式
§8-1 复数
一、复数的几种形式
1、代数形式
j 1
F = a + jb
为虚单位 +j F
复数F 的实部 复数F 的虚部
Re[F ] = a Im[F ] = b
b
复数 F 在复平面上可以用一条 从原点O 指向F 对应坐标点的有向 线段表示。
e
jwt
i(t)
e jwt )] 2 Icos(w t Ψ ) Re[A( t )] Re[ 2 I
i(t)
2 Icos(w t Ψ ) Re[A( t )] Re[ 2 Ie
jw t
jy
e
jwt
)]
Re[ 2 Ie
)]
I IΨ

定义：
i(t )
虚轴等于把实轴+1乘以j而得到的。
例：设F1=3-j4，F2=10 /135°，求 : F1+ F2 和 F1/ F2 。 解：求复数的代数和用代数形式： F2 = 10 /135°=10（cos135°+j sin135°) = -7.07 + j7.07 F1 + F2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 ) = - 4.07 + j3.07 = 5.1 /143° 5 /-53.1 ° 3-j4 F1 = = = 0.5 /-188.1 ° 0.5 /171.9 ° = F2 10 /135° 10 /135° 辐角应在主值范围内(-180o~180o)

)
可得其相量关系为： U U U 1 2 故同频正弦量相加减运算变 成对应相量的相加减运算。
U
i1 i2 = i 3
I1 I 2 I 3
例
u1 ( t ) 6 2cos(314t 30 ) V u2 ( t ) 4 2cos(314t 60 ) V
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V； U=380V， Um537V。
i , Im , I
Um
或
Um
2U
注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备
铭牌额定值等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值，因此， 在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。
（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。 （3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
2
0

T
1 cos 2(w t Ψ ) 2
dt
1 2
t
T 0

1 2
T
0

I
1 T
I
2 m
T 2

Im 2
0.707 I m
Im
2I
i ( t ) I m cos(w t Ψ )
2 I cos(w t Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U 1 2

jw t
) )
jwt
2 U 2 cos(w t Ψ 2 ) Re( 2 U 2 e

jw t

u( t ) u1 ( t ) u2 ( t ) Re( 2 U 1 e Re( 2 U 1 e

jwt
) Re( 2 U 2 e

)
jwt
jwt


2U2 e
jwt
) Re( 2 (U 1 U 2 )e
对A(t)取实部： Re[A( t )]
2 Icos(w t Ψ ) i(t)
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复指数函数
i
2 Icos(w t Ψ ) A(t )
A( t )
jy
j( w t Ψ )
2 Ie
e jwt 2I
A(t)还可以写成
2 Ie
复常数