(完整版)正弦型函数图像及性质

y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
定义域 xR
5 6 x
(1) 值域 [ －1, 1 ]
x π 2kπ(k Z ) 时，取最大值1； 2
x π 2kπ(k Z ) 时，取最小值－1； 2
周期的概念
一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零 常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都 有 f ( x＋T )＝ f (x)，那么函数 f (x) 就叫做周期 函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期．
21-
o
π 2
π
3π
2π
2
x
1- y sin x，x [0，2 π]
x
xx
π 2
2kπ,k Z时，ymax 2 (sin x)max 2 1 3,
x
xxπ 2
2kπ,k Z时，ymin
2 (sin x)min
2 1 1.
T 2π.
例 3 不通过求值，比较下列各对函数值的大小：
可以画出图像？
画 正
y
y=sinx ( x [02, ] )
弦 函 数
1
●● ●
●
●
●
7 4 3 5 11
6 3 2 3 6 2
●
0
2 5 ●
●
x
的
6 32 3 6
●
●
图
-1
● ●●
●
像
比例一致 光滑曲线
请同学们指出图像中的关键的五个点。
y
1-
-
o
π 6
π 3
π 2
2π 3
5π 6
π
7 6
4π 3
在 [ π ，π]上是减函数，
2
所以 sin 2 π ＞ sin 3 π ．
3
4
1 . 正弦函数的图象． 2 .“五点法”作图． 3 . 正弦函数的性质．
正弦函数是一个周期函数，2 ，4 ，… ， －2 ，－4 ，… ， 2k (kZ 且 k≠0)都是正弦 函数的周期．
2 是其最小正周期 .
(3) 正弦函数的奇偶性
由公式 sin(－x)＝－sin x
正弦函数是奇函数．
图象关于原点成中心对称 .
y
1
o -3 5π -2 3π - π
2
2
2
-1
由终边相同的角三角函数值相同，所以 y＝sin x
的图象在 … ，[-4 ，-2 ] ， [-2 ，0] ， [0，2 ] ，
[2 ，4 ] ， … 与 y＝sin x，x[0，2 ] 的图象相同 ，
6π
4π
于是平移得正弦曲线 .
y
1
-
2
o -1
- 2π
4
6
x
-
-
二、正弦函数的性质
观察正弦曲线，得出正弦函数的性质：
对于一个周期函数，如果在它的所有周期中 存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 它的最小正周期．
(2) 正弦函数的周期性
设f(xБайду номын сангаас=sinx 则f(x+ k ·2 )=__s_in__(_x_＋__k_·_2_ ) 由公式 sin (x＋k ·2 )＝sin x (kZ) 可知 f(x+ k ·2 )=_f_(_x)___
3π 2
5π 3
11π 6
2π
x
-1 -
图象的最高点: ( π ，1)； 2
与 x 轴的交点: (0，0)，(π，0)，(2 π，0)；
图象的最低点:
(3π ，1) ． 2
五点 作图法
五点作图法
列表：列出对图象形状起关键作用的五点坐标． 描点：定出五个关键点． 连线：用光滑的曲线顺次连结五个点．
正 弦 曲线
正弦函数的图象与性质
尝试探究、学习新知
提回问忆：：描如点何法画画正图弦像函的数基的本步图骤像？
y
11
4
3
2
2
3
4
7 2
5 2
3 2
0 2
2
3 2
5
7
x2
2
x
-1 -1
[0,2π]
尝试探究、学习新知
描 点 法
x
0
63
2 5
236
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
y0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
画 正
y
y=sinx ( x [02, ] )
弦 函 数
1
●
●
●
●
●
7 4 3 5 11
6 3 2 3 6 2
●
0
2 5 ●
●
x
的
6 32 3 6
●
●
图
-1
●
●
●
像
比例一致 光滑曲线
尝试探究、学习新知
五
问题：观察画好的正弦函数图像，
点
仔细思考，最少画几个点，
法
π
2
3π 2
2
5π 2
x
3 7π 4 2
问题 ?
构建问题、探索解决
单调性
y
1
4
3
2
2
3
4
7 2
5 2
3 2
0
2
2
3 2
5
7
2
2
x
-1
例 2 求使函数 y＝2＋sin x 取最大值、最小值
的 x 的集合，并求出这个函数的最大值，
最小值和周期 T .
解
y
y 2 sin x，x [0，2 π]
(1)
sin(
π
)
和sin(
π
)；
18
10
(2)
sin 2 π
3
和
sin
3π ． 4
解
(1)
因为
π 2
＜
π ＜ 10
π ＜π 18 2
，
且
y
＝sin
x
在[
π 2
，π 2
]
上是增函数．
所以 sin( π )＜sin( π ) ．
10
18
(2) 因为
π ＜ 2 π ＜ 3 π ＜π ，
23
4
且
y ＝sin x