泛函分析之H空间上的有界线性算子

Hirbert空间上的有界线性算子

LISE定理：

H空间U上的每个有界线性泛函f 1∃ u∈U,ST,f(x)=(x,u)，||f||=||u|| 伴随算子：

(Tx,y)=(x,T*y) ||T||=||T*||

定理：

T1,T2是H空间上的自伴算子，则T1T2是自伴算子的的充要条件是

T1与T2可交换

定理：

T是H空间U上的自伴算子，M为T的值域，N为T的零空间，则N=M⊥

定理：

T是H空间U上的自伴算子，则T的任一特征值必为实数，且对应与不同特征值的特征向量相互正交

定理：

T是H空间U上的自伴算子，令m=inf{(Tx,x):x∈U,||x||=1}M=sup{(Tx,x):x∈U,||x||=1}则||T||=max{|m|,|M|}

推论：

T是H空间U上的自伴算子，则||T||=sup{|(Tx,x)|:x∈U,||x||=1}

定义：

U是实H空间，T∈B(U)为自伴算子，IF任意x∈U,(Tx,x)≥0,则T为正算子，记T≥0

定义：

{Tn}为自伴算子列，if任意n有Tn≤Tn+1,则{Tn}是单调上升列，单调上升及单调下降的自伴算子列统称为单调算子列。

定理：

{Tn}为一致有界的单调自伴算子列，则1∃自伴算子T，ST,{Tn}按强算子拓扑收敛于T

定理：

T为正算子，则1∃正算子S,S2=T,S是T的某一多项式按强算子拓扑收敛的极限。

推论：

T为正算子，x0∈U,if (Tx0,x0)=0,则Tx0=0

推论：

自伴算子T1≥T2正算子T与T1,T2均可换，则TT1≥TT2.特别的，T2=0时TT1≥0

定义：

U是内积空间，A()是定义在U的二元泛函，IF 任意x,y,z∈U,αβ∈C有A(αx+βy,z)=αA(x,z)+βA(y,z)

A(x,αy+βz)=α~A(x,y)+β~A(x,z)

则A()是U上的一个双线性泛函，IF任意x,y∈U,A(x,y)=A(x,y)~

则A()是U上的一个双线性埃尔米特泛函

定义：

A()是内积空间U上的双线性泛函，IF 存在C>0,ST,|A(x,y)|≤C||x||||y|| 则A()是有界的，令||A||=sup|A(x,y)|称为其范数

定理：

T是H空间U上的有界线性算子，则由等式A(x,y)=(Tx,y)定义了U上的一个有界线性泛函且||A||=||T||

推论：

A是有界埃尔米特泛函的充要条件是任意x∈U,A()为实数且A()有界。

A是有界埃尔米特泛函，令m=infA,M=supA,则||A||=max{|m|,|M|}

投影算子

定义：

Px=x1,则P为定义在U上的算子。P为L上的正交投影算子，简称投影算子。L为P的投影子空间。

定理：

U上的有界线性算子P为投影算子的充要条件是P自伴&&P2=P

推论：

P为投影算子，则P为正算子

复H空间U上的有界线性算子P为投影算子的充要条件是任意x∈U,有||Px||2=(Px,x)

定义：

U中两两互相正交的子空间L,M直接和称为正交和

定理：

投影算子P1,P2的和P1+P2为投影算子充要条件是P1P2=0或L1与L2正交定理：

投影算子P1,P2的积P1P2为投影算子充要条件是P1P2=P2P1

定理：

投影算子P1,P2的差P1-P2为投影算子充要条件是P1P2=P2或L2⊂L1或P2≤P1