定积分不等式的证明方法

定积分不等式的证明方法

作者：郭海明

来源：《商情》2013年第16期

【摘要】不等式是数学分析中在进行计算和证明时经常用到的非常重要的工具，同时也大学高等数学分析中主要研究的问题之一。

【关键词】定积分不等式证明方法

积分不等式的证明是大学高等数学学习中的一个难点，也是理工科研究生入学考试中常出现的一类试题。用来证明定积分不等式的方法也比较杂，因此同学们大多数感到无从下手，现根据笔者平时的学习经验积累，结合若干范例总结定积分不等式证明的几种方法。

一、利用定积分的性质

主要利用定积分的比较定理，估值定理和绝对值不等式等定积分性质进行分析处理。

例1 已知f（x）在[0，1]上连续，对任意x，y，都有│f（x）-f（y）│

三、构造辅助函数法

该方法一般适用于被积函数f连续情形。

证明思路：

（1）将积分上限（或下限）换成x，式中相应字母亦换为x，移项使一端为0，另一端作为辅助函数F（x）。

（2）由F（x）的单调性得证。

四、泰勒公式法

该方法一般适用于被积函数f二阶可导或二阶以上可导且知最高阶导数符号情形。

证明思路：

（1）写出f的泰勒展开式。

（2）由定积分性质作不等式的适当放缩。

又f"（x）≥0，x∈[a，b]，

故f（y）≥f（x）+f"（x）（y-x），x，y∈[a，b]

参考文献：

[1]陈传璋，陈传临，朱学炎等.数学分析[M]北京：高等教育出版社， 2003.