偏导数、全微分、多元复合函数及隐函数、多元函数微分学的几何应用答案

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y z=x+ 4 在点 (2, 4, 5) 处的 y=4 切线与 x 轴正向 所成的倾角为 π 4.
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（2）设 f (x, y ) = x + (y − 1) arcsin
2x+y
x y ，则
·
−1 y2
+e
fx (x, 1)=1 . 1 1 （3）设 z = e−( x + y ) ，则 ∂z ∂z x2 ∂x + y 2 ∂y = 2z . 3．设 f (x, y ) = (x, y ) = (0, 0) 0, (x, y ) = (0, 0)
y ∂z = xy+x −1 (y ln x + 1) , ∂x y ∂z = xy+x ln2 x ∂y y
∂3z ∂x∂y 2 .
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§3 全 微 分 1. 判断 （1）若函数 z = f (x, y ) 在点 P0 可微，则函 数在点 P0 偏导数存在.（ ） （2）偏导数存在是可微的充分条件.(×） （3）可微必连续.（ ） （4）连续必可微.（× ） （5）若函数在一点 偏导数存在且连续 ，则 函数在该点一 定可微.（ ） 2．求下列函数的全 微分： （1）z = e− x ; 解：dz =
zxy = ey f1 + ey (f11 · xey + f13 ) + f21 · xey + f23 3．已知 f (x, x2 ) = x4 + 2x3 + x，f1 (x, x2 ) = 2x2 − 2x + 1 求 f2 (x, x2 ).
解：将 f (x, x2 ) = x4 + 2x3 + x 两 边对 x 求 导, 得 f1 x, x2 + f2 x, x2 · 2x = 4x3 + 6x2 + 1 再将 f1 (x, x2 ) = 2x2 − 2x + 1 代入 上式， 2x2 − 2x + 1 + f2 x, x2 · 2x = 4x3 + 6x2 + 1 因此 f2 x, x2 = 2x2 + 2x + 1。
x2 y 2 , (x2 +y 2 )3/2
（4）z = (1 + xy )y ; 解： zx = y (1 + xy )
y −1
y
· y = y 2 (1 + xy )
y
y −1
zy = eln[(1+xy)
]
= ey ln(1+xy)
用定义证明：f (x, y ) 在 (0, 0) 处连续，且偏 导 数存在. 证明：对 ∀ε > 0, 要 使 x2 y 2 (x2 +
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§4 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 1. 求解下列各题： （1）z = u2 v − uv 2 , u = x cos y, v = x sin y ， ∂z 求 ∂x ； 解： ∂z = −v (v − 2u) cos y + u2 − 2uv sin y ∂x 3 = x2 (cos y ) (cos 2y + sin 2y − 1) 2 （2）z = ex−2y , , x = sin t, y = t3 ，求 解: dz = ex−2y cos t − 2ex−2y · 3t2 dt 3 3 = esin t−2t cos t − 6t2 esin t−2t （3）z = xx x，求 解：
（1）z = arctan x y； 解： y zx = 2 , x + y2 x zy = − 2 ; x + y2 y zxx = −2x 2, (x2 + y 2 ) x2 − y 2 zxy = 2, (x2 + y 2 ) y zyy = 2x 2 (x2 + y 2 ) （2）z = y ln x . 解： zx = zxx zxy zyy 1 ln x y ln y, zy = y ln x−1 ln x x 1 = 2 y ln x (ln y ) (ln y − 1) x 1 = y −1+ln x (ln x ln y + 1) x = y −2+ln x (ln x) (ln x − 1)
x uz = ( )z ln y
因此 f (x, y ) 在 (0, 0) 处连续。 易得 fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0.
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4． 求 下 列 函 数 的 二 阶 偏 导 数
∂2z ∂2z ∂2z ∂x2 , ∂y 2 和 ∂x∂y ：
5．验证 r =
x2 + y 2 + z 2 满 足：
令 δ = 4ε, 则对 ∀P (x, y ) ∈ U 0 (O, δ ) 有 1 1 = z y x x y2 x y
z
ux = z uy = z
x y x y
z −1
|f (P ) − 0| < ε ; x y
z
·
z −1
即 ;
· − x y
1 =− z y
(x,y )→(0,0)
lim
f (P ) = f (P0 )，
dx + xz (xy )
z −1
dy
解 ： 令 u (x, y ) = x3 + y 3 , (x0 , y0 ) (1, 2) , ∆x = 0.02, ∆y = −0.03 f (P ) − f (P0 ) ≈ du|(1,2) f (P ) = 2.95
3．利用微分的形式 不变性求函数 z = ln(4 + x + y 2 )的偏导数，并求 dz |x=1,y=2 的值.
y ∂z = xy+x −1 (y ln x + 1) , ∂x y ∂z = xy+x ln2 x ∂y y
（6）u = f (x, xy, xyz )，求 解： ∂u ∂u = f1 + f2 · y + f3 yz ∂x ∂z
∂u ∂u ∂x , ∂z .
= f3 · xy
2．求下列函数的二 阶偏导数： （1）z = f (x2 − y 2 )，求
∂z ∂z ∂x , ∂y ；
y （3）z = x3 f (xy, x )，求
解： zx = 3x2 f + x3 f1 · y − f2 · zxy = 3x2 f1 · x + f2 · 1 x 1 x y x2
（4）z = f (x2 − y 2 , exy )，求
∂z ∂y ；
+ x3 f1 − xf2 − xy xf21 + 1 f x 22
2
解: dz = = = zx = zy = dz |x=1,y=2 = 1 d(4 + x2 + y 2 ) 4 + x2 + y 2 1 (2xdx + 2ydy ) 4 + x2 + y 2 2x 2y dx + dy 4 + x2 + y 2 4 + x2 + y 2 2x , 4 + x2 + y 2 2y 4 + x2 + y 2 2 4 dx + dy 9 9
1 1 −x y dx x2 ye y
4．讨论函数 1 2 2 (x2 + y 2 ) sin x2 + y 2 x + y = 0, f (x, y ) = 2 2 0 x + y = 0, 在 (0,0) 点的可微性 解: 因为 fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0 ∆f − 0 · ∆x − 0 · ∆ y lim ρ→0 ρ 1 x2 + y 2 sin x2 + y2 = lim (x,y )→(0,0) x2 + y 2 1 = lim x2 + y 2 sin 2 x + y2 (x,y )→(0,0) =0 所以 f (x, y ) 在 (0, 0) 处可微。
;
z −1
(−1)
= −z uz =
(x − y )
2z
1 2
+1
1 + (x − y )
2z (x
− y )z ln (x − y )
z
= (ln (x − y )) 2．填空 （1）曲线
(x − y ) (x − y )
2
2z
+1
（3）z (x) = ln tan + e ； 解： 1 x 1 sec2 + 2e2x+y zx = tan x y y y 1 zy = tan x y x sec y
1 −xy + −x e dy
1
（2）z = √
2y ； x2 +y 2 y (x2 +y 2 ) 2
3
解：dz = −2x
dx + 2
x2
(x2 +y 2 ) 2
3
dy
5．计算
(1.02)3 + (1.97)3 的近 似值. =
（3）u = (xy )z . 解:dz = yz (xy )
z −1
∂2z ∂y 2 ；
dz dt ；
解：zy = f · (−2y ) , zyy = −2f + 4y 2 f （2）z = f (y, x y )，求 解： zy = f1 − zyx x f y2 2 1 1 x = f12 − 2 f2 − 3 f22 y y y
∂2z ∂x∂y ； ∂2z ∂y∂x ；
§2 偏 导 数 1. 求下列函数的偏导数： （1）z = x sin(x + y ) + cos2 (xy )； 解：zx = x cos (x + y ) + sin (x + y ) − y sin 2xy zy = x cos (x + y ) − 2x cos xy sin xy = x (cos (x + y ) − sin 2xy ) （2）z = 解： ln(xy )； zx = 1 y ln (xy ) xy 1 , = 2x ln (xy ) 1 zy = 2y ln (xy ) 1
3/2 y2 )
源自文库
y 2
1 ·x 1 + xy xy = (1 + xy )y [ln (1 + xy ) + ] 1 + xy = ey ln(1+xy) ln (1 + xy ) + y ·
z （5）u = ( x y) ； 解：
−0 ≤
1 4
x2 + y 2 +
(x2
3/2 y2 )
=
1 4
x2 + y 2 < ε
∂z 解： ∂y = f1 · (−2y ) + f2 · (xexy ) y （5）u = f ( x y , z )，求 ∂u ∂y ； 1 z
+ x3 y f11 · x + f12 ·
= 4x3 f1 + 2xf2 + x4 yf11 − yf22
x 解： ∂u ∂y = f1 · − y 2 + f2 ·
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（4）z = f (u, x, y ), u = xey ，求 解： zx = f1 · ey + f2
∂2z ∂x∂y .
∂z ∂z 4．设函数 z = f (x, y ) 满足 方程 y ∂x − x ∂y = 0，令
ξ = x, η = x2 + y 2 (y = 0) 求证： ∂z ∂ξ = 0. 证明：zx = zξ + 2xzη , zy = 2yzη ，因此 ∂z ∂z 0=y −x ∂x ∂y = y (zξ + 2xzη ) − x (2yzη ) = zξ
∂2r ∂2r ∂2r 2 + 2+ 2 = . 2 ∂x ∂y ∂z r 解：rx = √
x , rxx x2 +y 2 +z 2
=
y 2 +z 2
3 (x2 +y 2 +z 2 ) 2
类似地， x2 + z 2 y 2 + x2 ryy = 3 , rzz = 3 (x2 + y 2 + z 2 ) 2 (x2 + y 2 + z 2 ) 2 将 rxx , ryy , rzz 代入方程左 端即得证。 6．设 z = x ln(xy )，求 解： zx = ln xy + 1, 1 zxy = , y 1 zxyy = − 2 y
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§4 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 1. 求解下列各题： （1）z = u2 v − uv 2 , u = x cos y, v = x sin y ， ∂z 求 ∂x ； 解： ∂z = −v (v − 2u) cos y + u2 − 2uv sin y ∂x 3 = x2 (cos y ) (cos 2y + sin 2y − 1) 2 （2）z = ex−2y , , x = sin t, y = t3 ，求 解: dz = ex−2y cos t − 2ex−2y · 3t2 dt 3 3 = esin t−2t cos t − 6t2 esin t−2t （3）z = xx x，求 解：
x y 2x+y
（6）u = arctan(x − y )z . 解： ux = uy = 1 1 + (x − y ) 1 1 + (x − y ) (x − y ) 1
2z z 2z z z −1
(x − y ) (x − y ) ;
z −1
=z
(x − y ) (x − y )
z −1
2z
+1