高等代数在几何中的应用

摘要

本文主要研究矩阵、行列式与Cramer法则在判别直线、平面与线面位置关系时的应用以及如何用行列式表示直线或平面方程，并将对称变换法应用于求二次曲线的切线以及二次曲面的切平面．还应用线性方程组的理论得到了解析几何中的几个简单命题，从而疏通了高等代数与解析几何的内在联系，并体现出代数学与几何学相互渗透，相互影响的本质关系,能够使学习者在具体的几何背景下直观地接受代数方法．

关键词：矩阵；行列式；Cramer法则；线性方程组；对称变换

ABSTRACT

This paper mainly studies how to use matrix, determinant and Cramer law to discriminate the relation between lines and planes, and how to use the determinant to express the equation of lines and planes．And symmetric transformation method is used to solve the problem of tangent line of quadratic curve and tangent plane of quadratic surface．Using the theory of linear equations, some easy propositions of analytic geometry are gotten．So it shows the intrinsic relation between linear algebra and analytic geometry which penetrated and affected each other, enabling learners accept algebra method intuitively under the background of specific geometric．

Key words: Matrix; Determinant; Cramer law; System of linear equations; Symmetric transformation

第1章引言

高等代数这门课程内容充实，逻辑严密，是现代数学、物理、工程、经济等学科的基础[1]．而高等代数作为其它学科的基础，其内容与基本理论和方法必然有着广泛的应用．如一般性思想方法、抽象性思想方法、公理化思想方法、初等变换的思想方法、辩证思维的思想方法和关系映射反演思想方法等．

“高等代数”与“解析几何”作为高等院校数学专业的两门重要基础课程，它们既各具特点不能相互取代，又存在着天然的内在联系，主要表现在它们的内容上有许多重叠和相互依赖，相互支撑的部分．它们之间存在着密切的联系，这种关系可以归结为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景[2]”．目前,将这两门课程进行合并教学的探索纷纷在多所高等院校展开，并且这个思路也一直是许多高等院校教学改革的一个热门课题．

在当今日趋激烈的课程改革进程中，有的高校主张，将高等代数与解析几何两门课程进行整合，二课合一，课程内容以代数为主线，把行列式、线性空间，欧式空间放在前几章，以使充分利用线性代数工具解决集合问题．学生刚开始接触到行列式、线性空间这些抽象内容时，感到深奥、难理解，引入解析几何的内容与相关问题时，把代数与几何充分结合起来，学生就会感到具体多了，很容易明白，便于对代数知识的理解，而对解析几何来说，由于有了充分的高等代数知识作准备，面对具体几何问题便会得心应手，迎刃而解了[3]．

在学习解析几何的过程中，我们经常会碰到这样的问题，如求通过定点的曲线方程、判断平面上三点是否共线、求平面上不共线的三点所围成的三角形面积以及判断空间中平面与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，平面与直线的位置关系．这些问题均是解析几何中最常见的问题，像这些问题大多数学生都只会考虑运用解析几何课程中的本体性知识来解答，思维方式比较单一，不具有灵活性，殊不知，借助高等代数中行列式、矩阵和线性方程组解的理论等基础性知识，这些问题可以轻而易举并且以直观的方法被解决，高等代数知识的运用促使广大学者对几何问题的认识从原来的思维单一模式向思维多元化模式过渡，从而更好地理解“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”这一句话，加深对代数与几何之间的融入和理解．应用高等代数方法解决几何问题的应用实例还有很多，如弯管的设计[4]、环叉式万向节的附加力矩[5]、矿脉迹线的绘制[6]、天体定位精度分析[7]等．

总的来说，如果单单运用解析几何知识来解决几何问题，舍弃高等代数知识而作为唯一的解决方案来源，不仅运算过程中计算量比较大，且化简过程繁琐，不利于学者发挥主体性和创造性[8]．但是，有了高等代数作为解决几何问题的又一知识来源,不仅可以简化解决问题的过程，而且可以帮助学者更好地发挥创造性与能动性．

第2章 高等代数在解析几何中的应用

2.1 判别平面、直线位置关系[9]

直线和平面是解析几何中最基础的内容，那么，毫无疑问，它们之间位置关系的判别也是解析几何研究中的基础．但是，大多数解析几何教材给出的判别方法针对的都是直线与平面的对称式方程与点法式方程，且运用到的高等代数中的工具是行列式．本节将运用矩阵及其秩来对平面和直线的位置关系作出判断． 2.1.1 平面位置关系判别

两个平面有三种位置关系，即相交，平行，重合．以下用高等代数方法可轻松判别两平面位置关系．

定理1 设两个平面方程为 11111222220

A x

B y

C z

D A x B y C z D ∏+++=∏+++=：：

则

1 平面1∏与2∏平行 1111

2222

==()2,()1A B C D r A r A A B C D ⇔

≠⇔==； 2 平面1∏与2∏重合 1111

2222

==()1,()1A B C D r A r A A B C D ⇔

=⇔==； 3 平面1∏与2∏相交

111222::::()2,()2A B C A B C r A r A ⇔≠⇔==．

其中,1

112

2

2A

B C A A B C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1

11

12

22

2A B C D A A B C D -⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

． 证明 应用代数知识，考虑由平面1∏与2∏的方程构成的线性方程组

111122220

A x

B y

C z

D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ (1)