定积分及其应用(高数) PPT课件

定理2 设 u( x),v( x)在区间[a,b]上有连续的导数,
则
aabbuuddvvu[uvvba]ba
bb
vvdduu
aa
定积分的分部积分公式
由不定积分的分部积分法 及N--L公式.
类似于不定积分的分部积分法：“反、对、幂、指、三”
（3）重要公式
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 三角函数的定积分公式 周期函数的定积分公式
方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积取负号.
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
2.定积分的性质
性质1
b
a [
f
(
x)
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
性质2
b
a kf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
( k 为常数)
性质3 （区间可加性）
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
区间上的定积分都相等.
例1 设
f
(
x)
2 5
x
0
x
1
,
求
1 x2
2
0
f
( x)dx.
解
2
0
f
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
1
2xdx
2
5dx
6.
0
1
例2 求
2 x(x2 1) dx
0
解 2 x(x2 1) dx 1 x(x2 1)dx 2 x(x2 1)dx
例
2 sin7 xdx
2
cos7
xdx
6
4
2
1
0
0
753
2 cos10 xdx
2 sin10 xdx
9 75 3 1
0
0
10 8 6 4 2 2
周期函数的定积分公式
如果T是连续函数f ( x)的周期,则
aT
T
f ( x)dx f ( x)dx
a为任何常数.
a
0
这个公式就是说：周期函数在任何长为一周期的
积分区间[a,b] 上至少存在一个点, 使得
b
a f ( x)dx f ()(b a) (a b).
积分中值公式
例1 比较积分值 2 e xdx 与 2 xdx 的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于
确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
积分和
积分上限
b
f ( x)dx
a
I
n
lim 0 i1
f (i )xi
积分下限
被 积 函 数
被 积 [a,b] 积分区间
1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
lim
x0
1 et2 dt
cos x
x2
lim sin x ecos2 x
x0
2x
1. 2e
例5.求由参数方程
x
t
sin udu
0 t
所给定的函数 y对x的导数.
y 0 cosudu
例6.设x y3 yx cos2 tdt,求 dy .
1
e
(2)
4cos2
6
xdx
1 2
4(1 cos 2x)dx
6
1 2
4dx
6
1 4
4cos 2xd2x
6
1 2
4
6
1 4
sin2x
4
6
1 24 4
3. 8
例5 2 sin3 xdx 0
解
2 sin3 xdx
2 sin2 x sin xdx
0
0
2 (1 cos2 x)dcos x 0
解 根据定理 ，得
(x)
x
et
2
dt
ex2
.
0
思考：已知(x) 2 et2 dt, 求(x) 0
例 2
已知F(x)
0
cos(3t 1)dt, 求 F (x).
x
解 根据定理 ，得
F
(
x)
0
cos(3t
x
1)dt
x 0
cos
(
3t
1)dt
cos(3x 1).
例 3 设 (x) x sin(t 2 )dt, 求 (x). 0
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2, )，在各小区间上任取
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2, )
n
并作和S f (i )xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 , , xn }，如果不论对[a, b]
第五章 定积分及其应用
定积分的应用
存在定理的概念 定积分
广义积分
的定 性积 质分
牛顿-莱布尼茨公式
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
计 算 法
定 积 分 的
1.定积分的概念
(1)定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
(a b)
b
b
（2） a f ( x)dx a f ( x)dx
(a b)
性质6: 估值性质
设 M 及 m 分别是函数 f ( x) 在区间[a,b]上
的最大值及最小值,
则
m(b a)
b
f ( x)dx M (b a)
(a b).
a
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
性质7（定积分中值定理） 如果函数 f ( x) 在闭区间[a,b] 上连续, 则在
b.若f (x)在a,b上有界且只有有限个间断点， 则f (x)在a,b上可积。
(2)定积分的几何意义
f ( x) 0,
b
a
f
( x)dx
A
曲边梯形的面积
f ( x) 0,
b
a f ( x)dx A
曲边梯形的面积的负值
它是介于 x 轴、函数 f (x) 的图形及两条直线
x a, x b 之间的各部分面积的代数和.在 x 轴上
0
0
1
1
(
x
x3
)dx
2 (x3 x)dx 5
0
1
2
例3
计算
sin3 x sin5 xdx.
0
3
解 f ( x) sin3 x sin5 x cos x sin x2
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
0
3
2 cos xsin x2 dx
0
cos
xsin
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
2
2
sin
x
5
2
4.
5
05
5
2
例 4 计算下列定积分.
(1)
1 1
1
ex e
x
dx;
(2) 4cos2 xdx. 6
解
(1)
1 1
1
e
x
e
x
dx
1 1
1
1 e
x
d(1
e
x
)
ln(1 e x ) 1 ln(1 e) ln1 1 1;
dx a
补充 如果 f (t )连续，a( x)、b( x) 可导，
则F ( x) b( x) f (t )dt 的导数F ( x) 为 a( x)
F( x) d
b( x)
f (t )dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
例 1 已知 (x) x et2dt, 求 (x). 0
数( x)
x
a
f
(t)dt 在[a, b]上具有导数，且它的导
数是(
x)
d dx
x
a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
说明：变上限的定积分函数对积分上限x的一阶
导数等于将被积函数表达式中的变量记号t改写为
积分上限x所得到的函数，而与积分下限a无关。
一般地, d
g(x)
f (t)dt f [g(x)] g(x)
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 当f ( x)在[a, a]上连续, 且有
(1) f (x)为偶函数, 则
a
a
f ( x)dx 2 f ( x)dx
a
0
(2) f (x)为奇函数, 则
a
f ( x)dx 0
a
例 x4 sin xdx 0
5 5
x3 sin2 x4 2x2
x
解
(x) x sin(t 2 )dt
0
x
x sin(t 2 )dt (
0
x
x )x
1 sin x. 2x
例4
1 et2 dt
求 lim x0
cos x
x2
.
分析：这是 0 型不定式，应用洛必达法则. 0
解
d
dx
1 cos
x
et2 dt
d dx
cos x et2 dt ,
故F ( x)在(0,)内为单调增加函数.
例 8：设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明方程
2x
x
0
f
(t )dt
1在（0，1）内有且只有一个实数根.
证
令F(x)
2x
x
0
f
(t )dt
1,
因为F(x)在0，1上连续， F (0) 1 0,
F (1)
1
1
0
f
(t )dt
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
例 2
估计积分
1 0 3 sin3
dx 的值. x
解
f
(
x)
3
1 sin 3
x
,
x [0, ],
0 sin3 x 1,
1 4
3
1 sin 3
x
1 3
,
1dx
04
0
3
1 sin3
dx x
1dx, 03
dx 1
0
1 4 x2dx 2 1 4 x2dx
1
0
1 f (x) f (x)dx 0 1
三角函数的定积分公式
In
2 sinn xdx
0
2 cosn xdx
0
n
n
1
n 1
n n n
3 2 3
31
422 4 2,
,
n为正偶数 n为大于1的正奇数
n n2 5 3
补充 :不论 a, b, c 的位置如何, 上结论总成立.
性质4
b
a
1
dx
b
a
dx
ba
性质5 如果在区间[a, b]上 f ( x) 0，
则
b
a
f
(
x
)dx
0
(a b)
推论（比较定理或有序性）：
（1） 如果在区间[a,b]上 f ( x) g( x) ，
则
b
a
f
(
x)dx
b
a g( x)dx
积
分
表
变
达 式
量
注意：
(1). 定积分表示一个数，它只与被积函数及积
分区间有关，而与积分变量的记法无关，即
b
b
a f (x)dx a f (t)dt
（2）
a f (x)dx 0，
b
a
f (x)dx f (x)dx
a
a
b
(3)可积的必要条件：
a.若f (x)在a,b上连续，则f (x)在a,b上可积。
4
0
3
1 sin3
dx x
3
.
例3.证明：2e
1 4
2 ex2 xdx 2e2
0
证明：令 f (x) ex2x , x [0, 2]
则 f (x) ex2x 2x 1
令 f (x) 0,即ex2x 2x 1 0
得驻点为： x 1 2
因为
f
(1)
1
e4
,
f
(0)
1,
f
(2)
e2
2
所以
1
e4
ex2x
e2
从而
2 1
e 4dx
2 ex2 xdx
2 e2dx
0
0
0
即
1
2e 4
2 ex2 xdx 2e2
0
3.变上限的定积分函数及其导数
x
( x) a f (t)dt.
变上限的定积分函数
变上限的定积分函数的性质
定理１ 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
[cos x 1 cos3 x] 2 2
3
1
0 [1
f (t)]dt
0,
由零点存在定理知，在（0，1）之间至少存在一点
x0,使得f (x0 ) 0. 即F(x) 0在（0，1）内至少有一个根。
f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,
F( x)在[0,1]上为单调增加函数.
所以F ( x) 0即原方程在（0，1）内有且只有一个实数根.
（1）定积分的换元法
定理1 假设函数 f (x)在区间[a,b]上连续, 函数 x (t )
满足条件:
(1) () a, ( ) b;
(2) (t )在 [ , ](或[ , ])上具有连续导数,
且其值域 R [a,b],
则有
b
a
f
(
x)dx
f
(t
)
(t
)dt
定积分换元公式
（2）定积分的分部积分法
4.牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式） 如果F ( x)是连续函 数 f ( x)在区间[a, b]上的一个原函数，则
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
牛顿—莱布尼茨公式
5.定积分的计算
（1）直接积分法 （2）凑微分法（第一类换元法） （3）变量替换法（第二类换元法） （4）分部积分法