基于模极大值小波域去噪算法之改进

基于去噪算法之改进
高丹丹201142221 赵颖超201142222
杨竺鹏201142265 李宾201142236
河北北方学院宣化教学部摘要: 信号在采集、转换和传输过程中,由于受到设备、环境及人为因素的影响,使信号不可避免地受到噪声干扰。

因此,如何去除信号中的噪声,得到感兴趣的信息是信号处理过程中的一项关键技术。

对基于小波变换模极大值的信号去噪问题进行了研究,根据信号和噪声的小波变换模极大值在不同尺度上表现出的不同的传播特性给出了基于小波变换模极大值的去噪算法。

数值实验结果表明了该算法的有效性和可行性。

：利用小波变换消除噪声有很多方法，模极大值小波域消噪算法是比较好的一种算法，但是该算法只能采用二进制尺度分解，这限制了一些信号的分析结果。

作者针对该不足进行了改进，采用自适应选择分解尺度代替二进制尺度分解尺度。

仿真实验证明：改进的模极大值小波域消噪算法比原算法在提高信噪比上更加有效。

关键词:小波变换; 信号重构; 模极大值; 阈值; 去噪；自适应尺度；模极大值小波域Abstract :In the process of collection , t ransformation and t ransmission , signals are often corrupted by noise ineluctably as a result of ineffective equipment s , environment s and even human errors. Denoising with the purpose of ext racting
1
desired information has been a crucial technique in signal processing. This paper discusses the signal de2noising problem based on wavelet t ransform modulus maxima. According to the different characters of wavelet t ransform modulus maxima of signal and noise , a de2noising algorithm based on wavelet t ransform modulus maxima is proposed. The experimental result s show that this method is efficient and practical.
Key words : wavelet s t ransform; signal reconst ruction ; modulus maxima ; threshold ; denoising；adapitive scale;modulus maximum wavelet field
引言：
在实际信号处理过程中采集到的信号包含大量噪声，为了提取含噪信号中的有用信号，必须采用某种方法将噪声从信号中滤除。

小波分析是近十几年发展起来的信号处理技术[1]，是傅立叶分析的新发展，是一种能同时在时间域和频率域内进行局部分析的信号分析技术，具有检测信号奇异性和突变结构的优势，因此能更准确地得到信号上特定点的奇异信息[2-4]。

因为信号和噪声在小波变换下表现出截然不同的性质，所以小波分析能用在信噪分离上。

目前基于小波分析的降噪法主要有：阈值降噪法、平移不变量降噪法、基于各尺度下小波系数相关性降噪法、模极大值降噪法等。

其中阈值降噪法[5]是对含噪信号经小波分析后，选择合适的阈值，保留信号的小波系数，而让大部分噪声的小波系数置为零。

当噪声比较高时，可以选用阈值降噪法；平移不变量法为了克服伪吉布斯现象，采用“平移-降噪-平均”的思想进行降噪。

当信号中含有若干个不连续点时，可以采用平移不变量法；基于各尺度下小波系数相关性降噪法根据信号与噪声的小波变换在不同尺度层上的特点，将相邻两个较细尺度层上的小波系数直接相乘来增强信号，抑制噪声；当需要分析信号的边缘特征时，可以采用小波系数相关性降噪法。

2
本文主要讨论的模极大值降噪法是Mallat及其合作者提出的。

Mallat根据Lipschitz 指数可以刻画信号奇异性的特点，深入研究了小波变换在信号奇异性检测中的应用。

即对小波系数的模极大值处理之后，去除由噪声对应的模极大值点，保留由真实信号所对应的模极大值点，然后进行信号的重构。

目前，关于降噪法的研究也很广泛，提出了很多新的算法。

例如利用阈值降噪和Witkin 的尺度模极大值跟踪理论相结合的降噪法、基于模极大值曲线长度阈值的降噪算法、模极大值小波域的包络降噪算法等等。

这里主要讨论小波变换模极大值降噪法及其改进和仿真。

1、小波变换基础
对于任意的函数f ( t ) ∈L 2 ( R) 的连续小波变换[6]:
Wf ( a , b) =〈f ,φa , b〉=| a | - 1/ 2
其重构公式(逆变换) 为
f(t)
= , 其中
A,B;a≠0称为一个小波序列,是由同一母函数φ( t) 经伸缩和平移后得到的一组函数序列, a 为伸缩因子, b 为平移因子。

当
满足
时称其为基小波,
其中是的φ( t) 傅里叶变换。

对于离散的情况,定义离散小波函数[7](其实为二进小波) 为
3
4 ,则信号f ( t ) 的离散小波变
换定义为D[Wf(j,k)]=
2 、小波变换模极大值去噪算法原理
由于信号和噪声的小波变换系数在不同尺度上具有不同的传播特性,即随着尺度的增大,噪声所对应的模极大值迅速衰减[8] ,而信号的模极大值分为3 种情况:对缓变信号,则模极大值逐渐增大;对阶跃信号,则模极大值保持不变;对脉冲信号,所对应的正、负极值组成的脉冲对的幅值将同时变小。

因此,连续做若干次小波分解之后,综合各个尺度上模极大值的位置和幅值信息,可以判断哪些模极大值是由噪声引起,哪些是由信号产生的。

剔除那些由噪声所引起的模极大值,再由剩余的模极大值重构信号,从而实现去噪的目的。

3 、小波变换模极大值去噪流程
对含噪信号进行二进小波变换,一般尺度取为J = 4 ,然后寻找每一尺度上所有小波变换系数的模极大值点,对最大尺度2J 上的模极大值进行阈值处理[9],若极大值点对应的幅值的绝对值小于阈值T ,则去掉该极值点; 否则予以保留。

选取阈值T为: T= A , 其中A=Max[],即最大模极大值点的幅值, N 为预设的噪声功率, J 为所取的最大尺度, Z 为一常数, 经验表明,一般取为2 较好。

设t0 是尺度2J 上的模极大值点, t1 、t2 是t0 前后相邻的2 个模极大值点, t1′是t1 传播到下一尺度2 j (1 ≤j ≤J - 1) 上的相应模极大值点,则t0 对应的传播点将在区间[ t1′, t2 ]之间搜索。

具体如下:
1) 若存在模极大值点t0′∈[ t1′, t2 ]且t0′= t0 ,且满足W和W f()符号相同,则t0′是t0的传播点;
2) 若不存在这样的点,则在区间[ t1′, t2 ]内,寻找与最接近的那个模极大值
点作为t0′,即满足
:|| W |- |W f() ||≦
|| W
f(
)- W f(
) | | ()
3) 若在区间[ t1′, t2 ]内找到t0 的传播点t0′满足|W f() |或没有找到对应
的传播点,根据Mallat 理论,若在一个尺度下的某一区域内无极大值时,则在其它尺度这个区域不存在能被所用小波基检测出来的奇异性,因此,可将t0 和t0′作为噪声的模极大值点而剔除;
4) 重复以上过程,直至所需的尺度。

信号处理进程将搜索到的各尺度上的极值点t0 , t0′, t0″，⋯,顺序存储,利用基于单调分段三次Hermite插值的重构算法重构小波系数[10],再进行小波逆变换,则得到去噪信号。

理论上讲,可选取的最大尺度J = õlog2」N ,但实际中一般只取3～5 ,虽然J 越大,信号和噪声表现的不同特性越明显,越有利于信噪分离;但另一方面,分解的尺度过大,也会引起有用信号的模极大值的衰减,从而使重构误差变大。

所以二者要兼顾。

另外,最大分解尺度J 应该与原始信号的信噪比SNR 有关,若SNR 较大,则J 可取得稍微小一些即可分离噪声;而SNR 较小时,J 应取大一些才能更好的抑制噪声。

而且小波函数的选取直接关系到运算结果,因此寻找一种既有较好去噪又能精确定位奇异点的小波函数很重要。

再者由小波变换模极大值重构小波系数是一个困难的问题,选取不同的算法对去噪方法的计算量影响很大。

4 、结果分析
本试验从Matlab 工具箱中选择染噪的Bumps信号进行去噪实验,信号长度为1 024 ,信噪比为12.2952 dB。

采用sym6 小波,进行5 尺度分解,并采用基于单调分段三次Hermite 插值的重构算法进行重构。

使用Matlab 编写部分测试代码如下[11]
5
load noisbump;
x=noisbump;
wname='sym6';lev=5;
[c,l]=wavedec(x,lev,wname);
sigma=wnoisest(c,l,1);
alpha=2;
thr=wbmpen(c,l,sigma,alpha)
keepapp=1;
xd=wdencmp('gbl',c,l,wname,lev,thr,'s',keepapp);
figure(1);
subplot(211),plot(x),title('Originalsignal');subplot(212),plot(xd),title('De-noisedsignal'); 运行结果如图所示：
6
7
020*******
80010001200
-50
5
10
15
20
Originalsignal
020040060080010001200-50
5
10
15
De-noisedsignal
图1 原算法图像
thr =
2.7681
5、改进算法
改进的模极大值小波域的具体算法如下。

8
（1）根据最佳分解尺度，对信号进行最佳小波分解尺度的离散小波变换。

把各个尺度上的小波系数赋给模极大值数组J j x x x j
,...,2,1),,...,,(
21 ,其J 为最大尺度，以最大尺度上信号的模极大值点占优。

（2）根据定义" 求出各尺度的模极大值点。

从最大尺度开始计算出模极大值点，然后依次取下一分解尺度的模极大值，每次以高一级已找到的极值点位置作为先验知识，寻找其在本级的对应极值点。

若相邻两尺度上的模极大值有相同的符号，位置比较靠近，则后一点为前一点的“ 传播点”，并估计出信号的模极大值点。

（3）模极大值点给予保留，非模极大值点置零，即求出信号的小波系数，去除了噪声的小波系数。

（4）把保留的小波系数进行小波逆变换，则得到去除噪声的小波信号。

020040060080010001200
-50
5
10
15
改进后图像
图2 改进算法图像
6、改进后算法的优越性
对一信号进行去噪，选择恰当的小波是研究取得良好效果的关键，同时小波分解尺度的选取非常重要，小尺度下小波系数受噪声影响非常大，产生许多伪极大值点，大的尺度会使信号丢失某些重要的局部奇异性。

而在小波变换中不同的信号存在着不同的最佳尺度分解。

在原算法中，对信号一律用二进尺度分解，这不利于所有信号的削噪处理。

而改进算法运用了自适应尺度极大模值小波域算法，并进行仿真。

仿真实验表明：改进的模极大值小波域削噪算法比原算法在提高信噪比上更加有效，因此尺度自适应选择对于具体信号削噪是非常重要和必要的。

参考文献
［1]陈善学，王恒哲.基于小波变换的矢量量化快速编码算法［J］.重庆邮电学院学报（自然科学版），2002,14(2):29-32.
［2］TUTEUR T W. Wavelet transforms in singal detection[A].Proc of the Inter Conf on Wavelet [C].Marseille.France.1987.132-138.
［3]MALLAT S,ZHONG S.Characterization of singals from multiscale edges [J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1992 ,14(7):1019-1033.
［4］MALLA T S.A theory for multisolution signal decomposition:the wavelet representation[J].IEEE Trans on Pattern Analysis and Machine Intelligence.1989,11(7):674-693
[5]ZHANG L，BAO P.Threshold analyasis in wavelet-based de-noising [J].Electronies Letters,2001,37(24):1485-1486.
9
[6] 胡昌华,李国华,刘涛,等. 基于MA TLAB 6. X 的系统分析与设计- 小波分析[M] . 2 版. 西安:西安电子科技大学出版社,2004 :15 - 16.
[7]张旭东,詹毅,马永琴. 不同信号的小波变换去噪方法[J ] . 石油地球物理勘探,2007 ,42 (增刊) :118 - 123.
[8]Mallat S ,Hwang W L. Singularity Detection and Processing With Wavelets [J ] . IEEE Trans Information Theory ,1992 ,38 (2) :617 - 643.
[9]Donoho DL. De - noising by Soft - thresholding[J ] . IEEETransactions on Information Theory ,1995 ,41 (3) :613 -627.
[10] 韩民,田岚,翟广涛,等. 基于Hermite 插值的小波变换模极大值重构信号快速算法[J ] . 系统仿真学报,2005(11) :2616 - 2619.
[11]飞思科技产品研发中心. MA TLAB 6. 5 辅助小波分析与应用[M] . 北京:电子工业出版社,2003 :151 - 191.
10。