高等数学(浙江大学)全套课件

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1
*
*


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0


(1) 进而化为以下形式：
1 0 0 0 c1r1 c1n
0 1 0 0 c2r2 c2n

0
0
0
1 c3r3
crn

第二章 线性方程组
一、教学目标：
1．理解线性方程组的消元法与系数增广矩阵的初等 变换的关系；
2．熟练运用矩阵的初等变换解线性方程组； 3．理解并掌握矩阵秩的概念，学会用矩阵的初等变
换求矩阵秩的方法；
4．掌握线性方程组有解的判定定理及应用； 5．掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；
在形如（1）的矩阵中，由第一，第二…第r-1，第r-2 行分别减去第r 行的适当倍数。
再由第一，第二…第r-2行分别减去第r-1行的适当倍 数。这样下去，就可以得到（2）的
形式。
2
A



1 3 2
5 9 1 8
1 13 5 7
3 7 150
b1
(1)
am1 x1 amn xn bn
A=

a11 a1n

am1 amn
称为方程组（1）的系数矩阵，而由（1）的系数和常
数项组成的矩阵：
a11 a1nb1
A = am1 amnbm
称为方程组（1）的增广矩阵。
1

2
D12

3 2
9 5 1 8
13 1 5 7
7

3 150
T12(2)T13(3) T14 (2)
1
0

0 0
4 13 26 26
13 25 34 33
7
17
0 0
9 13
0 0
13 25 2 0
7 17


1 0
175

0 0
0 1 0 0
0 0 1，现在回过头来研究一般线性方程组。
定义4 已知一般线性方程组：
则由（1）的系数组成的矩阵：

a11 x1
a1n xn
② 一个 s n 矩阵，可表示为A或 (aij。)
定义2. 矩阵的行（列）初等变换是指下列三种变换： 1）交换矩阵的两行（列）。

2）用一个不等于零的数去乘矩阵的某一行（列）。 3）把矩阵的某一行乘上C倍加到另一行上去。 说明: ① 分别叫第一、第二、第三种初等变换。
② 一般地一个矩阵经过初等变换后，变成了另一个矩阵。
说明：给了方程组就给了一个矩阵，而给了一个矩阵，可以对应一个线性 方程组。
定义5 方程组（1）的一个解是指：由n个数 k1 k n
组成的有序数组 （k1 kn）当 x1 xn 分别用 k1 kn
代入（1）后， （1）中每一个等式都变成恒等式。
（1）的解的全体称为解集合。解方程组就是找出它的全解，
2．1消元法
定义1. 由s×n个数排列s行（横向）、n列（纵向）
的表： a11 a1n 称为一个S×N。aij叫这个矩阵的第i行
a21 a2n
j列素。as1 ann

说明：①矩阵与行列式在形式上很类似，但有完全不同的定义，一个 是表，一个是数的代数和。
过交换矩阵的行和列可以把这个元素换到
1
左上方去，又用 aij 去乘第一行，使得左
上方的元素为１。然后由其余各行分别减去 第一行适当的倍数。矩阵Ａ就化为：
1 * *
0 * *
B


0
*
*



0
*
*

在B中，若除第一行外，其余各行的元素全为零，则B 也是（1）的形式。若B中右下行的一块
0 o






0 o
（2）这里r ≥ 0，r ≤m, r ≤ n, *表示矩阵的元素，但不同位 置上的*表示的元素未必相同。
证明 ：若矩阵A的所有元素都是零。则A也是 （1）的形式
若A的某一个元素不为零，则通

2246
T24 (2)
1
T23 ( 2)
0

0 0
9 13
0 0
13 25 16 17
7 17 180
1
0

0 0
9 13
0 0
13 25 2 17
7
17
1 10

1
17
T34 (
)
2

0

定义3. 一个矩阵的任一行的第一个非零元素所在的 列以下元素全为零的矩阵称为阶梯形矩阵。
定理 1
设A是一个m×n矩阵，
a11 A

a1n
am1 amn
通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下
形式：
r行 1 * * * * * 0 1 * * * *
6．掌握基础解系概念，会求齐次线性方程组的基础解系；
7．掌握齐次方程组、非齐次方程组解的结构，会用特解及齐次线性 方程组的基础解系表示非齐次线性方程组的解。
二、重点：
线性方程组的初等变换，矩阵的初等变换，矩 阵的秩，齐次线性方程组，有解判定定理，基 础解系。
三、教学难点：
矩阵的初等变换，矩阵的秩。
* * * *
中有一个元素不为零，则把它换到第二行第二列
交点上。然后用与上面同样的方法可把B化为：
1 * * * 0 1 * *
B1


0
0
*
*



0
0
*
*

如此继续下去，得到一个形如（1）的矩阵。
即求出解集合。如果两个方程组有相同的解集合，就称它们同解。
例1 解方程组
2x1 x2 3x3 1 4x1 2x2 5x3 4 2x1 2x3 6
解：第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程 得：