0 场论与张量基本知识

如果已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出
边界 l 上的场，反之亦然。
1.2.6 基本运算公式列表
a、微分公式
(1) 1
(2) 1 (3) (4)
1 2 2 1 f f A B A B
2
2
1 2
(5) ( A) A A
(6) A B B A A B
(7) A B A B (8) ( A) A A (9) A B B A A B A B B A
激光等离子体流体力学基础
场论与张量基本知识
1.1 场的定义及分类
一般情况下流体的各种物理量 ( 如温度、压
力和速度等 ) 是沿空间变化的，用场论的符
号和方法描述这些变化有很大的优点：

形式简洁；
与坐标系无关；
每一符号都有明确的物理内涵。
1.1.1 标量、向量与张量
标量：是一维的量，它只须一个数量及单
位来表示，它独立于坐标系的选择。流体 的温度、密度、浓度等均是标量。
1.1.1 标量、向量与张量
向量：是三维的量，它不仅有数量的大小， 而且有指定的方向，它必须由某一空间坐标 系的3个坐标轴方向的分量来表示，与坐标系 的选择密切相关。
流体质点的空间位置向量 x＝x1 i＋x2 j＋x3 k 流体质点的流速向量 u＝u1 i＋u2 j＋u3 k (i、j、k是三个坐标方向的单位向量)
L
称该线积分为向量A沿曲线L的环量。若是L封闭曲 线，则称为向量A沿封闭曲线L的环量。

L
A d l
1.2.3 向量场的旋度
(2) 向量A的旋度
ΔS
M
在向量场 A中任取一点M，过 M点取任一方 向 n ，以 n 为法向作一微小面积 ΔS ，其边界为 Δl。 若 以下极限存在
S 0
lim
l
例如：温度场T(x, y, z)、密度场ρ(x, y, z) 等都是标量场。
1.1.2 场
向量场：空间区域D的每一点M(x,y,z)都对应于一个 向量值A(x,y,z)，就称它们在此空间区域 D上构成一 个向量场。 例如：速度场u(x,y,z)、加速度场a(x,y,z)等都是向量 场。
张量场：空间区域D的每一点M(x,y,z)都对应于一个 张量值B(x,y,z)，就称它们在此空间区域 D上构成一 个张量场。 例如：应力场 T(x,y,z) 、变形速率场 D(x,y,z) 等都是 张量场。
在几何上 z f ( x , y ) 表示一个曲面
曲面被平面 z
c
所截得
所得曲线在xoy面上投影如图
z f ( x, y) , z c
y f ( x, y) c2
P
f ( x, y) c1
gradf ( x , y ) 梯度为等高线上的法向量
f ( x, y ) c 等高线
i
j
rot A
x Ax

y Ay
k A z Az
旋度是哈密顿算子与向量A的向量积(即叉乘)。两个向量 u和v的叉乘为一个向量w，其大小为w＝uv sin (为u与v的 夹角)，方向垂直于u与v两个向量形成的平面，按右手定则 确定其指向，w＝u×v 。按照这一规则，有：u×v＝-v×u， i× j＝ k 。
1.1.1 标量、向量与张量
张量：三维空间中的二阶张量是一个九维的量，
必须用9个分量才能完整地表示一个二阶张量。 流体力学中常用的二阶张量：应力张量、变形 速率张量等。 在三维空间中，n阶张量由3n个分量组成。
扩展：标量为零阶张量，向量为一阶张量。
1.1.2 场
在空间中的某个区域内的每一点都对应 着某物理量的一个确定的值，则称在这个空 间区域上确定了该物理量的一个场。 标量场：空间区域 D的每一点M(x, y, z) 都对应于一个数量值 (x, y, z)，就称它们在 此空间区域D上构成一个标量场。
A d l
S
则称之为向量场 A 在点 M 处沿 n 方向上的环量面 密度。
在过 M 点的所有方向中存在一个环量面密度最 大的方向。
1.2.3 向量场的旋度
(2) 向量A的旋度
旋度 (curl) 是一个向量，它的方向即为环量面密度最 大的方向，其大小就是这个最大的环量面密度的数值，记 为rot A或curl A。 在直角坐标系中
1.2.1 梯度：标量场不均匀性的量度 梯度基本运算法则：
(C ) C
(C为常数)
2
( 1 2 ) 1
1
2
1 2 2 1
f ( ) f ( )
1.2.2 向量场的散度
(1) 向量A通过S面的通量
问题 : 函数在点 P 沿哪一方向增加的速度 最快?
定义 设函数z f ( x, y)在平面区域 D内具有
一阶连续偏导数， 则对于每一点 P( x, y) D f f 都可定义出一个向量 i j , 这向量 x y
记为 称为函数z f ( x, y)在点( x, y)的梯度， f f gradf ( x , y ) i j x y
V
dV n dS
S
1.2.5 斯托克斯定理
或者写为


S
(rot A) dS A dl
l
S
( A) dS A dl
l
同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理 建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯 托克斯定理建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的场之间的关系。
在向量场 A(r,t) 内取一曲 面 S( 可以是封闭的，也可以 是不封闭的 ) ，在 S 面上取一 面积元 dS ，在 dS 上任取一点 M ，作 S 面在 M点的法线。若 曲面是封闭的，则通常取外 法线为正方向，若曲面不封 闭，则可约定取某一方向为 法线正方向。
n A S ds
M
n
A
1.2.2 向量场的散度
在向量场 A 中任取一点 M ，包围 M 作一微小体积 ΔV ， 其界面的表面积为ΔS。考虑向量A通过ΔS面的通量，除以 体积ΔV，令体积ΔV向M点无限收缩，得极限
V 0
lim
S
A n dS V
若 此 极 限 存 在，则 称 之 为 向 量 场 A 在 点 M 处 的散 度 (divergence) ，记为 divA 。向量 A的散度是对单位体积而言 向量A通过微小体积ΔV的界面ΔS的通量，它是一个不依赖 于坐标系选取的数量，因此是一个标量。散度 divA组成一 个标量场。
o
x
1.2.1 梯度：标量场不均匀性的量度
物理量 沿任一方向(其单位向量为n0)的变化率为 n0 grad (数量积、点乘)
两个向量的点乘是标量
u v v u u x i u y j u z k v x i v y j v z k u xv x u yv y u zv z uiv i (i=x,y,z) 此处用到了爱因斯坦求和约定：同一项中下标 i重 复出现两次，表示须将所有这个下标的取值各项 相加，这种下标称为重复指标或哑标。
1.2.2 向量场的散度
(2) 向量A的散度 在直角坐标系中，A＝Ax i＋Ay j＋Az k
Ax Ay Az div A A x y z
散度等于零 (divA ＝ 0) 的向量场称为无源场或管式 场。div u＝0是不可压缩流体流动的连续性方程。 散度基本运算法则：
数学中的高斯定理 (Gauss’s theorem) 将体积 积分与面积积分联系起来，在流体力学中，可以 利用这一定理将通量与散度联系在一起。 令 V 为一封闭曲面所包围的体积，在曲面上 考虑一微小面积 dS，其外法线方向为n， dS＝ ndS 是一向量 ( 其大小为 dS ，方向为 n) ，令 A 表示一个 标量场、向量场或张量场，则高斯公式为
1.2.3 向量场的旋度 (2) 向量A的旋度 旋度等于零 (rot A ＝ 0) 的向量场称为无 旋场。rot u＝0代表一无旋流场。
旋度基本运算法则：
( A1 A2 ) A1 A2
( A) A A
1.2.4 高斯(Gauss)公式及其推广
l 上的单位向量， 设e cos i sin j 是方向
由方向导数公式知
f f f f f cos sin { , } {cos , sin } x y l x y gradf ( x , y ) e | gradf ( x , y ) | cos , 其中 ( gradf ( x, y ), e ) f 当 cos( gradf ( x , y ), e ) 1时， 有最大值. l
(1) 向量A通过S面的通量
S
ds
M
图中n是S面上法线方向的单位向量，A表示M点的向 量，则 An A n Ax cos(n, i ) Ay cos(n, j ) Az cos(n, k )
是A在S面法线方向n的投影。 定义 AndS 为向量 A 通过面积元 dS 的通量，该通量沿 曲面S的积分 An dS 称为向量A通过曲面S的通量。

V
A dV A n dS
S
1.2.4 高斯(Gauss)公式及其推广 高斯公式的推广形式有：

V
dV n dS
S
S

V
A dV n A dS
S
( B ) A dV ( B n) A dS
V
( )
( A1 A2 ) A1 A2
( A) A A
1.2.3 向量场的旋度
(1) 向量A的环量 在向量场A(r, t)内取一曲线L(可以是封闭的，也可 以是不封闭的)，向量A沿该曲线作线积分

L
A d l ( Ax dx Ay dy Az dz )
grad i j k i j k x y z y z x 是哈密顿算子(Hamilton operator)，读作nabla。它 具有向量与微分的双重性质。
i j k x y z
1.1.2 场
在数学上研究的场对应在流体力学中称为 流场：描述流体流动的各种标量场、向量场及张量
场的总和。 流场可以分为
均匀场：同一时刻场内各点物理量的 值都相等。 不均匀场： 还可以分为
定常场：场内物理量不依赖于时间， 即不随时间改变的场。
非定常场：
1.2 梯度来自百度文库散度和旋度及其基本运算
1.2.1 梯度：标量场不均匀性的量度
S
定义面积向量 d S dS n ，则上述通量也可表示为
A dS A n dS A d S
S n S S
如果S是封闭曲面，则向量A通过曲面S的通量可写成
A dS A d S A n dS
S n S S
1.2.2 向量场的散度
(2) 向量A的散度
在标量场 (r,t)中任取一点M，过M 点作曲线s，n是曲线s在M点处的切 线方向，邻近点为M'，若以下极限 存在
MM 0
n s M M'
lim
( M ) ( M )
MM
则称其为标量场 (r,t)在M点处沿n 方向的变化率。
1.2.1 梯度：标量场不均匀性的量度
由于曲线s是任意的，n方向随曲线s变化。过M点所有 可能的方向中存在一个 的变化率最大的方向。 梯度(gradient)是一个向量，它的方向即为 变化率最 大的方向，其大小就是这个最大变化率的数值。梯度是标 量场不均匀性的量度，记为grad 。在直角坐标系中