函数的最大值与导数

x＝5 时，函数 f(x)取得最小值 f(5)＝－22e5.
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探究点二 含参数的函数的最值问题 例 2 已知 a 是实数，函数 f(x)＝x2(x－a). (1)若 f′(1)＝3，求 a 的值及曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处 的切线方程. (2)求 f(x)在区间[0,2]上的最大值.
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1 令 g(x)＝ln x－x，则 g′(x)＝ －1. x 当 0＜x＜1 时，g′(x)＞0；当 x≥1 时，g′(x)≤0，x＝1 是
g(x)的最大值点，∴g(x)≤g(1)＝－1.
综上可知，a 的取值范围是－1，＋∞.
x－x≤a.
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解析
f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当 x∈(－1,1)时，
f′(x)<0，所以 f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值 和最小值，故选 D.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
π y＝x－sin x，x∈ ，π的最大值是 2
3.函数
( C )
A.π－1
8－4a 综上所述，f(x)max＝ 0
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a≤2 . a>2
小结
由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单
调性的变化， 从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要 分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.
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跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最 大值为 3，最小值为－29，求 a，b 的值.
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax.
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因为 f′(1)＝3－2a＝3，
所以 a＝0.又当 a＝0 时，f(1)＝1，f′(1)＝3， 所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 3x－y－2＝0. 2a (2)令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝ . 3 2a 当 ≤0，即 a≤0 时，f(x)在[0,2]上单调递增， 3
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探究点三 问题
函数最值的应用
函数最值和“恒成立”问题有什么联系？
答案 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问 题.如 f(x)>0 恒成立， 只要 f(x)的最小值大于 0 即可.对含参不 等式恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数.
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4 π，2π 3
2π
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＋ ↗
－ ↘
＋ ↗ π
∴当 x＝0 时，f(x)有最小值 f(0)＝0；
当 x＝2π 时，f(x)有最大值 f(2π)＝π.
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小结
(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环.但仅仅
是求最值，可用下面简化的方法求得.
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研一研·问题探究、课堂更高效 例 1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]； 1 (2)f(x)＝ x＋sin x，x∈[0,2π]. 2 解 (1)f(x)＝2x3－12x，
∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)，
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探究点一
求函数的最值
问题 1 如图，观察区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，你能 找出它的极大值、极小值吗？
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答案
f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数 y＝f(x)的极小值； f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数 y＝f(x)的极大值.
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问题 4
怎样求一个函数在闭区间上的最值？
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答案
只要求出函数的各个极值和端点处的函数值，进行比
较即可.
填一填·知识要点、记下疑难点
1.函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值 函数 f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线， 则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数 的最值必在 端点 处或 极值点 处取得. 2.求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的 极值 ； (2)将函数 y＝f(x)的各极值与 端点处 的函数值 f(a)，f(b) 比较， 其中最大的一个是 最大值 ， 最小的一个是 最小值 .
π B. －1 2
C.π
D.π＋1
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解析 因为 y′＝1－cos x，当 y
π x∈ ，π 时，y′>0，则函数 2
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
【学习要求】 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 2.会用导数求某定义域上函数的最值. 【学法指导】 弄清极值与最值的区别是学好本节的关键. 函数的最值是一个整体性的概念 .函数极值是在局部上对 函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数 在整个定义域上的情况， 是对整个区间上的函数值的比较.
解 (1)∵f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
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∴f′(x)＝3x2＋4x－4.
95 ∴函数 f(x)在[－3,1]上的最大值为 13，最小值为 . 27 (2)∵f(x)＝3ex－exx2，
2 令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝ . 3 2 95 ∵f(－2)＝13，f 3＝27，f(－3)＝8，f(1)＝4，
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
f(－ 2)＝8 2；
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2； 当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18. 1 (2)f′(x)＝ ＋cos x，令 f′(x)＝0，又 x∈[0,2π]， 2 2 4 解得 x＝ π 或 x＝ π. 3 3
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①求出导数为零的点.
②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的 最大值和最小值.
(2)若函数在闭区间[a，b]上连续单调，则最大、最小值在端 点处取得.
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跟踪训练 1 求下列函数的最值： (1)f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，x∈[－3,1]； (2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5].
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例 3 已知函数 f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1. 若 xf′(x)≤x2＋ax＋1 恒成立，求 a 的取值范围. x＋1 1 解 f′(x)＝ ＋ln x－1＝ln x＋ ， x x xf′(x)＝xln x＋1，而 xf′(x)≤x2＋ax＋1(x＞0)等价于 ln
解
∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2).
∴当 x∈(0,1)时，f′(x)>0；当 x∈(1,2)时，f′(x)<0； 当 x∈(2,3)时，f′(x)>0.
∴当 x＝1 时，f(x)取极大值 f(1)＝5＋8c.
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又 f(3)＝9＋8c>f(1)， ∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为 f(3)＝9＋8c.
小结 “恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对 于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.
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一般地，可采用分离参数法 .λ≥f(x)恒成立 ⇔ λ≥[f(x)]max； λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.
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跟踪训练 3 设函数 f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的 x∈[0,3]，都有 f(x)<c2 成立，求 c 的取值范围.
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当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) 0 0
2 0， π 3
2 π 3 0 极大值 π 3 ＋ 3 2
2 4 π， π 3 3
4 π 3 0 极小值 2 3 π－ 3 2
也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝3，即 b＝3.
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又 f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)， ∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2. (2)当 a<0 时，同理可得，当 x＝0 时，f(x)取极小值，也就是 函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝－29，即 b＝－29. 又 f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)， ∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2. 综上可得，a＝2，b＝3 或 a＝－2，b＝－29.
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从而 f(x)max＝f(2)＝8－4a. 2a 当 ≥2，即 a≥3 时，f(x)在[0,2]上单调递减， 3 从而 f(x)max＝f(0)＝0. 2a 当 0< <2，即 0<a<3 时， 3 2a 2a f(x)在0， 上单调递减，在 ，2 上单调递增， 3 3 0<a≤2 8－4a 从而 f(x)max＝ ， 2<a<3 0
解 f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 令 f′(x)＝0， 得 x1＝0， x2＝4(舍去).
(1)当 a>0 时，列表如下： x f′(x) f(x) －7a ＋b －1 (－1,0) ＋ ↗ 0 (0,2) 0 b － ↘ －16a ＋b 2
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由表可知，当 x＝0 时，f(x)取极大值，
由函数的最值与极值的概念可知， y＝f(x)在[a，b]上
的最大值一定大于极小值.
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2.函数 f(x)＝x3－3x(|x|<1) A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值 ( D )
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问题 2 观察问题 1 的函数 y＝f(x)，你能找出函数 f(x)在区 间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)， f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？
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答案
结论
函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是 f(a)，最小值
令 f′(x)＝0，解得 x＝－ 2或 x＝ 2.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞， － 2) ＋ ↗ － 2 (－ 2， 2) 0 极大 值 － ↘ 2 0 极小 值 ( 2，＋∞) ＋ ↗
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所以函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞).
∵对任意的 x∈[0,3]，有 f(x)<c2 恒成立，
∴9＋8c<c2，即 c<－1 或 c>9.
∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
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1.函数 y＝f(x)在[a，b]上 A.极大值一定比极小值大 C.最大值一定是极大值
解析
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( D ) B.极大值一定是最大值 D.最大值一定大于极小值
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∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1)，
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∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0， 即函数 f(x)在区间[2,5]上单调递减， ∴x＝2 时，函数 f(x)取得最大值 f(2)＝－e2；
一般地，如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一
是 f(x3).若区间改为(a，b)，则 f(x)有最小值 f(x3)，无最大值.
条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必 在端点处或极值点处取得.
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问题 3 函数的极值和最值有什么区别和联系？
答案 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值 得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函 数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间 内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值， 有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在 端点处取得必定是极值.