第七章 互换的定价与风险分析
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(二)运用远期利率协议给利率互换定价
根据式（5.14），对于收取固定利息的交易方， FRA的定价公式为：
Ae
rK (T *T )
Ae
rF (T *T )
e
r * T * t
更确切地理解，t时刻FRA的价值等于约定利率rK与 T至T*时刻远期利率rF差异导致的息差现值。因此，要 运用FRA给利率互换定价，只要知道利率期限结构，从 中估计出FRA对应的远期利率与息差现值，即可得到每 笔FRA的价值，加总就可以得到利率互换的价值。
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三、运用远期外汇协议的组合为货币互换 定价
与利率互换类似，货币互换还可以分解成一系列远 期合约的组合。货币互换中的每次支付都可以用一笔远期 外汇协议的现金流来代替。因此只要能够计算并加总货币 互换中分解出来的每笔远期外汇协议的价值，就可得到相 应货币互换的价值。
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案例7.5 货币互换的定价：运用远期外汇协议组合
12
这里，固定利率债券的定价公式为： (7.3)
其中，A为利率互换中的名义本金额，k为现金流交换日交换 的固定利息额，n为交换次数，ti为距第i次现金流交换的时间长度 （1≤ i ≤ n ），ri则为到期日为ti的LIBOR连续复利即期利率。显然， 固定利率债券的价值就是未来现金流的贴现和。 浮动利率债券的定价公式 则为：
定义V互换为货币互换的价值，那么对于收入本币、付出外 币的那一方，互换的价值为： V互换=BD-S0BF （7.5） 其中，BF是用外币表示的从互换中分解出来的外币债券的 价值，BD是从互换中分解出来的本币债券的价值，S0是即 期汇率。 对于付出本币、收入外币的那一方，互换的价值为： V互换=S0BF-BD （7.6）
2
第一节 利率互换的定价
3
一、利率互换定价的基本原理
考虑一个2005年9月1日生效的两年期利率互 换，名义本金为1亿美元。甲银行同意支付给乙公 司年利率为2.8％的利息，同时乙公司同意支付给 甲银行3个月期LIBOR的利息，利息每3个月交换 一次。如图7.1所示：
固定利率2.8%
甲银行
LIBOR 图7.1 甲银行与乙公司的利率互换
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案例7.4 货币互换的定价：运用债券组合
假设美元和日元的LIBOR利率的期限结构是平的，在 日本是2％而在美国是6％（均为连续复利）。某一金融机 构在一笔货币互换中每年收入日元，利率为3％（每年计 一次复利），同时付出美元，利率为6.5％（每年计一次复 利）。两种货币的本金分别为1000万美元和120000万日元。 这笔互换还有3年的期限，每年交换一次利息，即期汇率 为1美元＝110日元。如何确定该笔货币互换的价值？ 如果以美元为本币，那么： BD=65e-0.06*1+65e-0.06*2+1065e-0.06*3=1008.427万美元 BF=3600e-0.02*1+3600e-0.02*2+123600e-0.02*3=123389.7万日元 货币互换的价值为： (123389.7/110)-1008.427≈113.30万美元
8
（3）如果对列（4）的现金流按行进行拆分，该利率互换 可以看作由从行（I）至行（VIII）共8次的现金流序列组 成。 观察各行，除了行（I）的现金流在互换签订时就已 经确定，其他各行的现金流都类似远期利率协议（FRA） 的现金流。FRA是这样一笔合约，交易双方事先约定将来 某一时间一笔借款的利率，但在FRA执行的时候，支付的 只是市场利率与合约协定利率的利差，如果市场利率高于 协定利率，贷款人支付给借款人利差，反之，由借款人支 付给贷款人利差。 很明显，利率互换可以看成是一系列用固定利率交换 浮动利率的FRA的组合。只要我们知道组成利率互换的每 笔FRA的价值，就计算出利率互换的价值。
19
第二节 货币互换的定价
20
一、货币互换定价的基本原理
与利率互换类似，货币互换也可以分解为债券的组合或远 期协议的组合，只是这里的债券组合不再是浮动利率债券 和固定利率债券的组合，而是一份外币债券和一份本币债 券的组合，远期协议也不再是FRA，而是远期外汇协议。 假设甲银行和乙公司之间签订的一份5年期货币互换协议， 在2007年10月1日生效。协议规定本金分别是2000万美元 和1000万英镑，其后甲银行每年向乙公司支付6%的英镑利 息并向乙公司收取4.5%的美元利息，期末本金再次交换。 如图7.2所示：
第七章 互换的定价与风险分析
1
几点说明：
互换既可以分解为债券的组合，也可以分解为一系列远期 协议的组合。按这一思路就可以对互换进行定价。 由于利率基准不同，现实市场中的互换在天数计算上存在 一些变化，为了集中讨论互换的定价原理，在本章中我们 忽略天数计算，3个月以1/4年计，半年以1/2年计，一年 以1年计。 同时根据国际市场惯例，在给互换和其它柜台交易市场上 的金融工具定价时，现金流通常用LIBOR贴现。
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案例7.2 利率互换的定价：运用FRA组合
假设在一笔利率互换协议中，某一金融机构支付3个 月期的LIBOR，同时收取4.8％的年利率（3个月年计一次 复利），名义本金为1亿美元。互换还有9个月的期限。目 前3个月、6个月和9个月的LIBOR（连续复利）分别为4.8 ％、5％和5.1％。试计算此笔利率互换对该金融机构的价 值。 首先可得3个月计一次复利的4.8%对应的连续复利利率 为： 4*ln(1+4.8%/4)=4.7714%
（2）在协议签订时，一个公平的利率互换协议应使得双方 的互换价值相等。也就是说，协议签订时的互换定价，就 是选择一个使得互换的初始价值为零的固定利率。
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二、协议签订后的利率互换定价（互换价 值）
（一）运用债券组合给利率互换定价 定义： Bfix为互换合约中分解出的固定利率债券的价值； Bfl为互换合约中分解出的浮动利率债券的价值。 对于互换多头，也就是固定利率的支付者（如上例中 的甲银行）来说，利率互换的价值就是： V互换=Bfl-Bfix （7.1） 反之，对于互换空头，也就是浮动利率的支付者（即 上例中的乙公司）来说，利率互换的价值就是： V互换=Bfix-Bfl （7.2）
假设美元和日元LIBOR利率的期限结构是平的，在日本是 2％而在美国是6％（均为连续复利）。某一金融机构在一 笔货币互换中每年收入日元，利率为3％（每年计一次复 利），同时付出美元，利率为6.5％（每年计一次复利）。 两种货币的本金分别为1000万美元和120000万日元。这笔 互换还有3年的期限，每年交换一次利息，即期汇率为1美 元＝110日元。如何确定该笔货币互换的价值？ 即期汇率为1美元=110日元，或1日元=0.009091美元。 根据F=Se(r-rf)(T-t)，1年期、2年期和3年期的远期汇率分别为： 0.009091e0.04*1=0.009462 0.009091e0.04*2=0.009848 0.009091e0.04*3=0.01025
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总结：
利率互换既可以分解为债券组合、也可 以分解为FRA的组合进行定价。由于都是列 （4）现金流的不同分解，这两种定价结果必 然是等价的。
10
与远期合约相似，利率互换的定价有两种 情形：
（1）在协议签订后的互换定价，是根据协议内容与市场利 率水平确定利率互换合约的价值。对于利率互换协议的持 有者来说，该价值可能是正的，也可能是负的。
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三、协议签订时的利率互换定价（互换价 格）
协议签订时的利率互换定价遵循的基本原则是，使得 利率互换价值为零的固定利率，即：
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案例7.3 确定利率互换协议中的固定利率：运用债券组合
假设在一笔2年期的利率互换协议中，某一金融机构支付3个月期 的LIBOR，同时每3个月收取固定利率（3个月计一次复利），名义本 金为1亿美元。目前3个月、6个月、9个月、12个月、15个月、18个月、 21个月与2年的贴现率（连续复利）分别为4.8％、5％、5.1％、5.2％、 5.15％、5.3％、5.3％与5.4％。第一次支付的浮动利率即为当前3个月 期利率4.8％（连续复利）。试确定此笔利率互换中合理的固定利率。 利率互换中合理固定利率的选择应使得利率互换的价值为零，即 Bfl=Bfix。在这个例子中，Bfl=10000万美元。 令Bfix=(k/4)e-0.048*0.25+(k/4)e-0.05*0.5+(k/4)e-0.051*0.75+ (k/4)e-0.052*1+(k/4)e-0.0515*1.25+(k/4)e-0.053*1.5+ (k/4)e-0.053*1.75+[10000+(k/4)]e-0.054*2=10000万美元。 可以求得k=543美元，即固定利率水平应确定为5.43%。
（7.4）
其中，k*为下一个交换日交换的浮动利率额（这是已知 的），距下一次利息支付日则还有t1的时间。
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案例7.1 利率互换的定价：运用债券组合
假设在一笔利率互换协议中，某一金融机构支付3个月 期的LIBOR，同时收取4.8％的年利率（3个月计一次复 利），名义本金为1亿美元。互换还有9个月的期限。目前 3个月、6个月和9个月的LIBOR（连续复利）分别为4.8％、 5％和5.1％。试计算此笔利率互换对该金融机构的价值。 在这个例子中，k=120美元，k*=120美元，因此： Bfix=120e-wenku.baidu.com.048*0.25+120e-0.05*0.5+10120e-0.051*0.75=9975.825 万美元 Bfl=(10000+120)e-0.048*0.25=9999.29≈10000万美元 因此，对于金融机构而言，此利率互换的价值为： 9975.825-10000=-24.175万美元 显然，对于该金融机构的交易对手来说，此笔利率互换 的价值为24.175美元。
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对甲银行而言，该利率互换事实上可以看作一个浮动 利率债券多头与固定利率空头头寸的组合，这个利率互换 的价值就是浮动利率债券与固定利率债券价值的差。 由于互换为零和游戏，对于乙公司来说，该利率互换 的价值就是固定利率债券价值与浮动利率债券价值的差。 也就是说，利率互换可以通过分解成一个债券的多头与另 一个债券的空头来定价。
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表7.3 货币互换中甲银行的现金流量表
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显然，与利率互换类似，如果按列进行 分解，对于甲银行而言，这笔货币互换 可以看作一个美元固定利率债券多头与 一个英镑固定利率债券空头的组合。如 果按行进行分解，该笔货币互换则可以 看作一系列远期外汇协议的组合。
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二、运用债券组合为货币互换定价
乙公司
4
表7.1 利率互换中甲银行的现金流量表（百万美元）
（a）不考虑名义本金
5
表7.1 利率互换中甲银行的现金流量表（百万美元）
（b）考虑名义本金
☆本金符号
6
表7.1利率互换的理解（基本原理）：
（1）该利率互换由列（4）的净现金流序列组成，这是互 换的本质，即未来系列现金流的组合。
（2）如果对列（4）的现金流按列进行拆分，该利率互换 可以看作由列（2）和列（3）的现金流序列组成。假设在 互换生效日与到期日增加1亿美元的本金现金流，列（2） 和列（3）转化为表7-1（b）的列（6）与列（7）。 从列（8）可见，由于相互抵消，增加的本金现金流并 未改变互换最终的现金流和互换的价值，但列（6）却可以 看做甲银行向乙公司购买了一份本金1亿美元的以3个月期 LIBOR为浮动利率的债券，列（7）则可以被看作甲银行向 乙公司发行了一份本金1亿美元的固定利率为2.8%的债券， 3个月支付一次利息。
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与利息互换等价的三份远期合约的价值分别为： (3600*0.009462-65)e-0.06*1=-29.1355万美元 (3600*0.009848-65)e-0.06*2=-26.2058万美元 (3600*0.01025-65)e-0.06*3=-23.4712万美元 与最终的本金交换的远期合约的价值为： (120000*0.01025-1000)e-0.06*3=192.1093万美元 所以，这笔互换的价值为： 192.1093-29.1355-26.2058-23.4712=113.30万美 元
(二)运用远期利率协议给利率互换定价
根据式（5.14），对于收取固定利息的交易方， FRA的定价公式为：
Ae
rK (T *T )
Ae
rF (T *T )
e
r * T * t
更确切地理解，t时刻FRA的价值等于约定利率rK与 T至T*时刻远期利率rF差异导致的息差现值。因此，要 运用FRA给利率互换定价，只要知道利率期限结构，从 中估计出FRA对应的远期利率与息差现值，即可得到每 笔FRA的价值，加总就可以得到利率互换的价值。
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三、运用远期外汇协议的组合为货币互换 定价
与利率互换类似，货币互换还可以分解成一系列远 期合约的组合。货币互换中的每次支付都可以用一笔远期 外汇协议的现金流来代替。因此只要能够计算并加总货币 互换中分解出来的每笔远期外汇协议的价值，就可得到相 应货币互换的价值。
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案例7.5 货币互换的定价：运用远期外汇协议组合
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这里，固定利率债券的定价公式为： (7.3)
其中，A为利率互换中的名义本金额，k为现金流交换日交换 的固定利息额，n为交换次数，ti为距第i次现金流交换的时间长度 （1≤ i ≤ n ），ri则为到期日为ti的LIBOR连续复利即期利率。显然， 固定利率债券的价值就是未来现金流的贴现和。 浮动利率债券的定价公式 则为：
定义V互换为货币互换的价值，那么对于收入本币、付出外 币的那一方，互换的价值为： V互换=BD-S0BF （7.5） 其中，BF是用外币表示的从互换中分解出来的外币债券的 价值，BD是从互换中分解出来的本币债券的价值，S0是即 期汇率。 对于付出本币、收入外币的那一方，互换的价值为： V互换=S0BF-BD （7.6）
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第一节 利率互换的定价
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一、利率互换定价的基本原理
考虑一个2005年9月1日生效的两年期利率互 换，名义本金为1亿美元。甲银行同意支付给乙公 司年利率为2.8％的利息，同时乙公司同意支付给 甲银行3个月期LIBOR的利息，利息每3个月交换 一次。如图7.1所示：
固定利率2.8%
甲银行
LIBOR 图7.1 甲银行与乙公司的利率互换
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案例7.4 货币互换的定价：运用债券组合
假设美元和日元的LIBOR利率的期限结构是平的，在 日本是2％而在美国是6％（均为连续复利）。某一金融机 构在一笔货币互换中每年收入日元，利率为3％（每年计 一次复利），同时付出美元，利率为6.5％（每年计一次复 利）。两种货币的本金分别为1000万美元和120000万日元。 这笔互换还有3年的期限，每年交换一次利息，即期汇率 为1美元＝110日元。如何确定该笔货币互换的价值？ 如果以美元为本币，那么： BD=65e-0.06*1+65e-0.06*2+1065e-0.06*3=1008.427万美元 BF=3600e-0.02*1+3600e-0.02*2+123600e-0.02*3=123389.7万日元 货币互换的价值为： (123389.7/110)-1008.427≈113.30万美元
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（3）如果对列（4）的现金流按行进行拆分，该利率互换 可以看作由从行（I）至行（VIII）共8次的现金流序列组 成。 观察各行，除了行（I）的现金流在互换签订时就已 经确定，其他各行的现金流都类似远期利率协议（FRA） 的现金流。FRA是这样一笔合约，交易双方事先约定将来 某一时间一笔借款的利率，但在FRA执行的时候，支付的 只是市场利率与合约协定利率的利差，如果市场利率高于 协定利率，贷款人支付给借款人利差，反之，由借款人支 付给贷款人利差。 很明显，利率互换可以看成是一系列用固定利率交换 浮动利率的FRA的组合。只要我们知道组成利率互换的每 笔FRA的价值，就计算出利率互换的价值。
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第二节 货币互换的定价
20
一、货币互换定价的基本原理
与利率互换类似，货币互换也可以分解为债券的组合或远 期协议的组合，只是这里的债券组合不再是浮动利率债券 和固定利率债券的组合，而是一份外币债券和一份本币债 券的组合，远期协议也不再是FRA，而是远期外汇协议。 假设甲银行和乙公司之间签订的一份5年期货币互换协议， 在2007年10月1日生效。协议规定本金分别是2000万美元 和1000万英镑，其后甲银行每年向乙公司支付6%的英镑利 息并向乙公司收取4.5%的美元利息，期末本金再次交换。 如图7.2所示：
第七章 互换的定价与风险分析
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几点说明：
互换既可以分解为债券的组合，也可以分解为一系列远期 协议的组合。按这一思路就可以对互换进行定价。 由于利率基准不同，现实市场中的互换在天数计算上存在 一些变化，为了集中讨论互换的定价原理，在本章中我们 忽略天数计算，3个月以1/4年计，半年以1/2年计，一年 以1年计。 同时根据国际市场惯例，在给互换和其它柜台交易市场上 的金融工具定价时，现金流通常用LIBOR贴现。
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案例7.2 利率互换的定价：运用FRA组合
假设在一笔利率互换协议中，某一金融机构支付3个 月期的LIBOR，同时收取4.8％的年利率（3个月年计一次 复利），名义本金为1亿美元。互换还有9个月的期限。目 前3个月、6个月和9个月的LIBOR（连续复利）分别为4.8 ％、5％和5.1％。试计算此笔利率互换对该金融机构的价 值。 首先可得3个月计一次复利的4.8%对应的连续复利利率 为： 4*ln(1+4.8%/4)=4.7714%
（2）在协议签订时，一个公平的利率互换协议应使得双方 的互换价值相等。也就是说，协议签订时的互换定价，就 是选择一个使得互换的初始价值为零的固定利率。
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二、协议签订后的利率互换定价（互换价 值）
（一）运用债券组合给利率互换定价 定义： Bfix为互换合约中分解出的固定利率债券的价值； Bfl为互换合约中分解出的浮动利率债券的价值。 对于互换多头，也就是固定利率的支付者（如上例中 的甲银行）来说，利率互换的价值就是： V互换=Bfl-Bfix （7.1） 反之，对于互换空头，也就是浮动利率的支付者（即 上例中的乙公司）来说，利率互换的价值就是： V互换=Bfix-Bfl （7.2）
假设美元和日元LIBOR利率的期限结构是平的，在日本是 2％而在美国是6％（均为连续复利）。某一金融机构在一 笔货币互换中每年收入日元，利率为3％（每年计一次复 利），同时付出美元，利率为6.5％（每年计一次复利）。 两种货币的本金分别为1000万美元和120000万日元。这笔 互换还有3年的期限，每年交换一次利息，即期汇率为1美 元＝110日元。如何确定该笔货币互换的价值？ 即期汇率为1美元=110日元，或1日元=0.009091美元。 根据F=Se(r-rf)(T-t)，1年期、2年期和3年期的远期汇率分别为： 0.009091e0.04*1=0.009462 0.009091e0.04*2=0.009848 0.009091e0.04*3=0.01025
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总结：
利率互换既可以分解为债券组合、也可 以分解为FRA的组合进行定价。由于都是列 （4）现金流的不同分解，这两种定价结果必 然是等价的。
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与远期合约相似，利率互换的定价有两种 情形：
（1）在协议签订后的互换定价，是根据协议内容与市场利 率水平确定利率互换合约的价值。对于利率互换协议的持 有者来说，该价值可能是正的，也可能是负的。
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三、协议签订时的利率互换定价（互换价 格）
协议签订时的利率互换定价遵循的基本原则是，使得 利率互换价值为零的固定利率，即：
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案例7.3 确定利率互换协议中的固定利率：运用债券组合
假设在一笔2年期的利率互换协议中，某一金融机构支付3个月期 的LIBOR，同时每3个月收取固定利率（3个月计一次复利），名义本 金为1亿美元。目前3个月、6个月、9个月、12个月、15个月、18个月、 21个月与2年的贴现率（连续复利）分别为4.8％、5％、5.1％、5.2％、 5.15％、5.3％、5.3％与5.4％。第一次支付的浮动利率即为当前3个月 期利率4.8％（连续复利）。试确定此笔利率互换中合理的固定利率。 利率互换中合理固定利率的选择应使得利率互换的价值为零，即 Bfl=Bfix。在这个例子中，Bfl=10000万美元。 令Bfix=(k/4)e-0.048*0.25+(k/4)e-0.05*0.5+(k/4)e-0.051*0.75+ (k/4)e-0.052*1+(k/4)e-0.0515*1.25+(k/4)e-0.053*1.5+ (k/4)e-0.053*1.75+[10000+(k/4)]e-0.054*2=10000万美元。 可以求得k=543美元，即固定利率水平应确定为5.43%。
（7.4）
其中，k*为下一个交换日交换的浮动利率额（这是已知 的），距下一次利息支付日则还有t1的时间。
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案例7.1 利率互换的定价：运用债券组合
假设在一笔利率互换协议中，某一金融机构支付3个月 期的LIBOR，同时收取4.8％的年利率（3个月计一次复 利），名义本金为1亿美元。互换还有9个月的期限。目前 3个月、6个月和9个月的LIBOR（连续复利）分别为4.8％、 5％和5.1％。试计算此笔利率互换对该金融机构的价值。 在这个例子中，k=120美元，k*=120美元，因此： Bfix=120e-wenku.baidu.com.048*0.25+120e-0.05*0.5+10120e-0.051*0.75=9975.825 万美元 Bfl=(10000+120)e-0.048*0.25=9999.29≈10000万美元 因此，对于金融机构而言，此利率互换的价值为： 9975.825-10000=-24.175万美元 显然，对于该金融机构的交易对手来说，此笔利率互换 的价值为24.175美元。
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对甲银行而言，该利率互换事实上可以看作一个浮动 利率债券多头与固定利率空头头寸的组合，这个利率互换 的价值就是浮动利率债券与固定利率债券价值的差。 由于互换为零和游戏，对于乙公司来说，该利率互换 的价值就是固定利率债券价值与浮动利率债券价值的差。 也就是说，利率互换可以通过分解成一个债券的多头与另 一个债券的空头来定价。
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表7.3 货币互换中甲银行的现金流量表
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显然，与利率互换类似，如果按列进行 分解，对于甲银行而言，这笔货币互换 可以看作一个美元固定利率债券多头与 一个英镑固定利率债券空头的组合。如 果按行进行分解，该笔货币互换则可以 看作一系列远期外汇协议的组合。
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二、运用债券组合为货币互换定价
乙公司
4
表7.1 利率互换中甲银行的现金流量表（百万美元）
（a）不考虑名义本金
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表7.1 利率互换中甲银行的现金流量表（百万美元）
（b）考虑名义本金
☆本金符号
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表7.1利率互换的理解（基本原理）：
（1）该利率互换由列（4）的净现金流序列组成，这是互 换的本质，即未来系列现金流的组合。
（2）如果对列（4）的现金流按列进行拆分，该利率互换 可以看作由列（2）和列（3）的现金流序列组成。假设在 互换生效日与到期日增加1亿美元的本金现金流，列（2） 和列（3）转化为表7-1（b）的列（6）与列（7）。 从列（8）可见，由于相互抵消，增加的本金现金流并 未改变互换最终的现金流和互换的价值，但列（6）却可以 看做甲银行向乙公司购买了一份本金1亿美元的以3个月期 LIBOR为浮动利率的债券，列（7）则可以被看作甲银行向 乙公司发行了一份本金1亿美元的固定利率为2.8%的债券， 3个月支付一次利息。
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与利息互换等价的三份远期合约的价值分别为： (3600*0.009462-65)e-0.06*1=-29.1355万美元 (3600*0.009848-65)e-0.06*2=-26.2058万美元 (3600*0.01025-65)e-0.06*3=-23.4712万美元 与最终的本金交换的远期合约的价值为： (120000*0.01025-1000)e-0.06*3=192.1093万美元 所以，这笔互换的价值为： 192.1093-29.1355-26.2058-23.4712=113.30万美 元