分形与多重分形及其

定量描述多重分形的参数－－
多重分形频谱(Multifractal Spectrum)
计算方法： 在各个科学领域，已经有了多种计算维数谱函数的方法，如矩方法（ Moment method）、直方图法（Histogram method）、小波方法（Wavelet method）、乘数法（Multiplier method），以及二次维矩方法（Double trace moment (DTM) method）。这些方法的具体计算又被扩展了多种形式：格子 方法(box-counting method)和活动格子方法(gliding box-counting method)以及 反格子方法（inverse box-counting method）、格子弯曲法（box-flex method ）、格子旋转法（box-rotate method）等。 矩方法是最常用的方法之一。
3 results & discussion
Procedures of the moment method to deduce multifractal spectral function for a De Wijs model of d=0.4 (Agterberg, 2001)
多重分形的研究方法
0.5905 0.9541 1.3775 1.7480 1.2585 1.5353 1.9028 2.0731 2.2705 3.2501
0.5704 0.5594 0.5512 0.5442 1.2303 1.2126 1.2062 2.0091 1.9883 3.1750
0.2
d2 d1
0.4
0.6 0.8
0.6 0.8
Fig.7 Multifractal spectrum curves a-f(a) of local superimposition of De Wijs model of d1 by another De Wijs model of d2
实例：金属矿产
Tab.4-1 General Information of Geochemical Data used for Case Study I District No.of Indexes 25 14 14 ore-forming elements As, Bi, Mo, Shaoguan South Anhui North Anhui Sn, Sb, W,etc Cu, Fe, Pb, Zn, etc. 5489 4524 Stream sediment 22000 18100 1448 Rock 4292 Sample amount Sample category Sample area (km2)
分形的定义：
♣部分与整体以某种形式相似的形，称为分 形。 Fractals are shapes that look almost the same on various scales of magnification (Mandelbrot, 1975;Cheng,1994), in the sense that each piece (however small) is identical to the whole after some rescaling and translation. They are neither entirely regular, nor entirely random and it may be said that objects are self-similar or of self-similarity.
Basic Fig.3 Plot of multifractal spectral function f(a) versus a as enrichment modelingfactor d changes after 7 iterations
Part Ⅰ
Global division
Fig.5 If 10, a constant, divided into all concentrations of De Wijs model with any enrichment factor d, the multifractal spectrum obtained by means of the method of moments shows nothing different in comparison with Fig.3 (Spatial Structure)
盒子维数:
L (ε ) = N (ε )ε
ε
A(ε ) = N (ε )ε
对海岸线应满足下 列关系：
2
N (ε ) ∝ ε
−D
N（ε） 曲线或曲面相交的盒子数
Fractal & multifractal Coastline: how long is the coastline? Island:how fluctuant is the island?
正演：De Wijs模型，蒙特卡罗模 拟，自组织临界模型，分形生长模 型 反演：实际地质系统的分析
模拟1：De Wijs模型模拟
(1+d)2 1 (1+d)(1-d) (1-d)2 (1+d)(1-d) ……
1+d
1-d
Fig.1 Constructing processes of a 2-dimensional De Wijs model with enrichment factor d after 1 iteration
实例1：粤北韶关金属成矿区
Relationship between multifractal spectrum value f(α) and singularity exponent α In Nanling district
Element Mo W Be As Zn Sb Ag Cu Co Pb Bi Mn Ce
Log-log plot
尺度 甲 乙 丙 10m 1m 5mm
次数 7 85 2200
斜率＝-1.0853（3次） S= - 1.2618 （反 复） = - log4/log3
分形维数——定量刻画分形特征的参数
♣ 相似维数 （Similarity dimension） ♣ 信息维数（Information dimension） ♣ 关联维数（Correlation dimension） ♣ 集团维数（Cluster fractal dimension） ♣ 盒子维数（Box dimension） ♣ 罗盘维数（Compass dimension） ♣ 容量维数 （Capability dimension）
Multifractal:
Evertsz和Mandelbrot于1992年指出，当我们所研究 的度量（measure）在不同的尺度上均相同，或者至 少在统计意义上是一样的，就可以说我们所研究的 度量是自相似的，这一度量就是多重分形。 When the irregularity is the same at all scales, or at lease statistically the same, one says that the measure is self-similar, or that it is a multifractal. A sierpiński gasket is a self-similar set, in the sense that each piece (however small) is identical to the whole after some rescaling and translation; something similar holds for multifractal measure.
地大IAMG学生分会活动 2005.11.10
分形与多重分形及其 在地学中的简单应用
谢淑云s
Mandelbrot and Fractal: 1973年，Mandelbrot 在法兰西学院讲学期间首次提出分形学的 思想。1975年他在写专著的过程中，碰到法文动词frangere(破 坏、破碎)的形容词fractus，联想到英文中的同根词fracture(断裂) 和名词fractaion(分数),在此基础上创造了fractal一词。 Fractal 本意是不规则的、破碎的、分数的。 Mandelbrot是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不 能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、 起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的 河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点 是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。
Δα
d1
d2 1.1609 0.4 0.6 0.8 1.5136 1.9286 2.2922 2.4888 2.7478 3.1089 4.0822 0.8 4.2588 6.4251
α0
ΔαL
ΔαR
2.046 2.0645 2.0728 2.0797 2.243 2.2608 2.2673 2.592 2.6556 3.597
a0 Fig.4 a0, Da of f(a) of De Wijs models their enrichment factors d
Δa
局部削减
Fig.6 Spectrum figure of a-f(a) with different types: RM--Right-deviated multifractal,LM--Left-deviated multifractal
0.8-1.0 0.6-0.8 0.4-0.6 0.2-0.4 0.0-0.2 0.6-0.8 0.4-0.6 0.2-0.4 0.0-0.2
0.8-1.0
0.6-0.8
0.6-0.8 0.4-0.6 0.2-0.4
非对称指数
0.2-0.4
0
1
2
局部叠加
Tab.1 Parameters of the resulting of multifractal spectra of superimposition of De Wijs model of d1 by another De Wijs mo d
Koch curve
A fractal Koch curve ([Koch, 1904]), reproduced from [Welander, 1955] to illustrate the mixing of a two dimensional fluid.
power-law and fractal dimension
Multifractal:
多重分形是许多个单一分形在空间上的相互缠结 (intertwined)、镶嵌，是单一分形的推广，单一分形 可以看作是多重分形的一种特例。 多重分形与单一分形一样，也是自相似的，与尺 度无关. 多重分形通常所描述的是定义在某一面积 （二维）或体积（三维）中的一种度量（u).通过这 种度量值或数值的奇异性可将所定义的区域分解成 一系列空间上镶嵌的子区域，每一个子区域均构成 单个分形.这样形成的分形除具有分形维数外，还具 有各自度量的奇异性(singularity).一系列的分形维数 和 奇 异 性 将 构 成 所 谓 的 维 数 谱 函 数 f(α)---multifractal spectrum.
1100 1070 1050 1000
Geochemical Landscape
950 900 850 800 750 700 650
Water
S1
S2
……
S
水的分布（water distribution）
>>>金的分布（gold distribution）
Many quantities exhibit such kind of behaviour; that is, the quantity u=the amount of ground water below S is an example of a measure which is irregular at all scales.