《机器人动力学》PPT课件

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▲牛顿—欧拉运动方程 ▲拉格朗日动力学 ▲关节空间与操作空间动力学
前面我们所研究的机器人运动学都是在稳态下进行 的，没有考虑机器人运动的动态过程。实际上，机器人 的动态性能不仅与运动学相对位置有关，还与机器人的 结构形式、质量分布、执行机构的位置、传动装置等因 案有关。机器人动态性能由动力学方程描述，动力学是 考虑上述因素，研究机器人运动与关节力(力矩)间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为机器人动力 学方程。机器人动力学要解决两类问题：
为求解方便，此处取关节变量为θ1和d2，关节驱动力矩τl 和力f2。
(2)系统动能 由式(1)，分别得
Eki

1 2
mi
T
ci
ci

1 2
i Ti i
Iiii
…1
Ek1

1 2
m1l1212

1 2
I
2
yy1 1
Ek 2

1 2
m2 (d2212

d22 )

1 2
I
yy
2
21
总动能为：
n
Epi Epi i 1
它是q的标量函数。
4．拉格朗日方程 系统的拉格朗日方程为：
d L L
dt q q
上式又称为拉格朗日—欧拉方程，简称L—E方程。式
中， 是n个关节的驱动力或力矩矢量，上式可写成：
d Ek Ek Ep
dt q q q
根据力、力矩平衡原 理有:
5-1
5-2
称5-1为牛顿方程，5-2为欧拉方程。
其中Ii为杆i绕其质心的惯性张量
2、 拉格朗日方程
牛顿一欧拉运动学方程是基于牛顿第二定律和欧拉 方程，利用达朗伯原理，将动力学问题变成静力学问题求 解。该方法计算快。拉格朗日动力学则是基于系统能量的 概念，以简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，并 具有显式结构，物理意义比较明确。
作用在杆i的 力和力矩
根据力、力矩平衡原理有
5.2 机器人动力学正问题 机器人动力学正问题研究机器人手臂在关节力
矩作用下的动态响应。其主要内容是如何建立机器 人手臂的动力学方程。建立机器人动力学方程的方 法有牛顿—欧拉法和拉格朗日法等。
1、牛顿—欧拉法方程
在考虑速度与加速度 影响的情况下，作用在机 器人手臂杆i上的力和力 矩如右图所示。其中vci 和ωi分别为杆i质心的平 移速度向量和此杆的角速 度向量。
Ek

1 2
(m1l12
I yy1 I yy2

m2d
2 2
)12

1 2
m2d22
(3)系统势能 因为：
g [0 g 0]T
pc1 [l1c1 l1s1 0]T
则：
E p1 m1gT pc1 m1gl1s1
E p2 m2gT pc2 m2gd2s1
(1) 拉格朗日函数 对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的 动能Ek与总的势能Ep之差，即:
L(q, q) Ek (q, q) Ep (q)
q [q1 q2 q [q1 q2
qn ] 表示动能与势能的广义坐标 qn ] 相应的广义速度
(2) 机器人系统动能
在机器人中，连杆是运动部件，连杆i的动能Eki为 连杆质心线速度引起的动能和连杆角速度产生的动能
5.1 机器人静力学
机器人静力学研究机器人静止或者缓慢运动时作用在手臂 上的力和力矩问题，特别是当手端与外界环境有接触力时，各 关节力矩与接触力的关系。
下图表示作用在机器人手臂杆件i上的力和力矩。其i-1fi 为杆件i-1对杆i的作用力，-ifi+1为杆i+1对杆i的作用力，i1Ni为杆件i-1对杆i的作用力矩，-iNi+1为杆i+1对杆i的作用力 矩，ci为杆i质心。
研究机器人动力学的目的
研究机器人动力学的目的是多方面的。 动力学正问题与机器人的仿真有关； 逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实现 最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。在设计中 需根据连杆质量、运动学和动力学参数、传动机构特征和负 载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方 案，验算设计方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。 在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷 和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型仿真。这些都 需要以机器人动力学模型为基础。
之和，即:
Eki

1 2
mi
T
ci
ci

1 2
i Ti i
Iiii
系统的动能为n个连杆的动能之和，即：
n
Ek Eki i 1
Ek
(q,
q)

1 2
qT
D(q)q
q 由于 ci 和 ii 是关节变量
和关节速
度 q 的函数，因此，从上式可知，机器人
的动能是关节变量和关节速度的标量函数，记
为 Ek (q, q) ，可表示成：
Ek
(q,
q)

1 2
qT
D(q)q
式中， D(q) 是nxn阶的机器人惯性矩阵
3．机器人系统势能
设连杆i的势能为 Epi ，连杆i的质心在O坐标系中的位 置矢量为 pci ，重力加速度矢量在坐标系中为g，则：
Epi mi gT pci
机器人系统的势能为各连杆的势能之和，即：
[例]平面RP机器人如图所示，连杆l和连杆2的质量
分别为m1和m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯量 矩阵为：
Ixx1 0 0
1 I1


0
I yy1
iBiblioteka Baidu

0 0 Izz1
Ixx2 0 0
2 I2


0
I yy2
i

0 0 Izz2
(1) 取坐标，确定关节变量和驱动力或力矩 建立连杆D-H坐标系如上图所示，关节变量为θ1+π/2
动力学正问题和逆问题。
动力学正问题是——根据关节驱动力矩或力，计算机器人 的运动(关节位移、速度和加速度)；
动力学逆问题是——已知轨迹对应的关节位移、速度和加 速度，求出所需要的关节力矩或力。
不考虑机电控制装置的惯性、摩擦、间隙、饱和等因素时 ，n 自由度机器人动力方程为n个二阶耦合非线性微分方程。 方程中包括惯性力/力矩、哥氏力/力矩、离心力/力矩及重力/ 力矩，是一个耦合的非线性多输入多输出系统。对机器人动力 学的研究，所采用的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法、 牛顿一欧拉(Newton—Euler)、高斯(Gauss)、凯恩(Kane)、旋 量对偶数、罗伯逊一魏登堡(Roberson—Wittenburg)等方法。