讲课等比数列第2课时
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∴log2a6－log2a4＝log2aa64＝log2q2＝log222＝2.
❖[点评] 本题得解的关键是利用性质am·an＝ ap·aq(m、n、p、q∈N*，m＋n＝p＋q)， 并用一变形公式an＝am·qn－m.
8在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，
则a8·a9·a10·a11＝( B )
A．10 B．25 C．50
D．75
解析：解法一：∵a7·a12＝a8·a11＝a9·a10＝5， ∴a8·a9·a10·a11＝52＝25.故选B. 解法二：由已知：a1q6·a1q11＝aq17＝5， ∴a8·a9·a10·a11＝a1q7·a1q8·a1q9·a1q10 ＝a·q34＝(aq17)2＝52.故选B.
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6. D
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7. C
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8. 0<q<1
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9.
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1120..
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11.
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等比数列的性质
❖ 1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质的由 来．
❖ 2.理解等比数列的性质并能应用．
❖ 3.掌握等比数列的性质并能综合运用.
回忆：等差数列的常用性质
性质1 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m、n∈N*)
性质2
若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m， n∈N*)，则ak＋al＝am＋an
解析： 根据 a1·a9＝a4·a6，
列方程组aa44＋ ·a6a＝6＝25460.，
解得aa46＝＝382，， 或aa46＝＝83，2. ∴q2＝aa46＝382＝14或 q2＝382＝4. ∴q＝±12或 q＝±2. 答案： ±12或±2
❖4．在等比数列{an}中，a2009＝a2011＝3，则
典例剖析
【例 1】
在等比数列an
中
，若
a2＝2，a6＝162，求
a10.
解：解法一：∵a6＝a2q4，其中，a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81，∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 解法二：∵2、6、10三数成等差数列，
∴a2、a6、a10成等比数列． ∴a62＝a2a10，∴a10＝aa622＝13 122.
性质3
若{an}是等差数列，则2an＝an－1＋an＋1，a1＋ an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
性质4
若{an}、{bn}分别是以d1、d2为公差的等差数列， 则{pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列
性质5
若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k、 m∈N*)组成公差为md的等差数列
❖ 解得q2＝4，
❖ ∴q＝2或q＝－2.
❖ ∴所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8， －32.
❖ 等比数列的性质如下： ❖ 设an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)． ❖ (是1递)当增q数>列1；，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an} ❖ 当递减q>数1列，；a1<0 或 0<q<1 ， a1>0 时 ， {an} 是 ❖ 当是摆q ＝动1数时列，．{an} 是 常 数 列 ； 当 q<0 时 ， {an} ❖ (2)an＝am·qn－m(m，n∈N*)． ❖ (3)当m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)时，有
答案：10n.
❖
7 (1)在等比数列{an}中，a5＝4，
a10＝27，则q＝_____2 ___.
(2)已知数列{an}为等比数列，a4＝25，a6＝
27，则log2a6－log2a4＝_____2_____.
解析：(1)aa150＝q5，∴q5＝2272＝25，
∴q＝2. (2)由于 log2a6－log2a4＝log2aa64，而aa64＝q2，∵q2＝2275＝22，
a＝10， 解得 b＝－2，
q＝－2.
a＝－8， 或 b＝－2，
q＝5. 2
所以这四个数为 1，－2,4,10 或－4，－2，－5，－8. 5
(2)设所求四个数为2a－aq，a，aq，aq3.
q
q
a · aq ＝16， ① q 则由已知 2a－aq · aq3 ＝－128. ② q
由①得 a2＝16， ∴a＝4 或 a＝－4. 由②得 2a2q2－a2q4＝－128. 将 a2＝16 代入整理，得 q4－2q2－8＝0.
❖ A．公比为q的等比数列
B．公比为q2的等比数列
❖ C．公比为q3的等比数列
D．不一定是等比数列
解析： 设新数列为{bn}，{bn}的通项公式为 bn＝anan＋1.
❖答所案以：aan＋na1anB＋n＋12＝aan＋n 2＝q2，数列{bn}是公比为 q2 的等比数列．
❖ 2 ． 已 知 {an} 是 等 比 数 列 ， 且 an>0 ， a2a4 ＋ 2a3a5 ＋a4a6＝36，那么a3＋a5的值等于( )
❖ A．6
B．10
❖ C．15
D．20
❖解析： 由题意知：a2a4＝a32，a4a6＝a52 ❖ ∴a32＋2a3a5＋a52＝36，即(a3＋a5)2＝36， ❖ ∴a3＋a5＝6，故选6. ❖答案： A
❖ 3．在等比数列{an}中，aBaidu Nhomakorabea·a9＝256，a4＋a6＝ 40，则公比q＝________.
[例4] 有四个数，其中前三个数成等差数列，后 三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的 和是16，第二个数与第三个数的和是12.求这四 个数．
[解]
方法
1：设这四个数依次为
a－d，a，a＋d，a＋d
2
，
a
a－d＋
a＋d
2
＝16，
由条件得
a
a＋ a＋d ＝12.
解得
a＝4， d＝4
或
a＝9， d＝－6.
am·an＝ap·aq.
(4)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为 q 的等比数 列；若{bn}是公比为 r 的等比数列，则{an·bn}是公比为 q·r 的等比数列；{a1n}是公比为1q的等比数列；{|an|}是公比为|q|
的等比数列． (5)在{an}中，每隔 k(k∈N*)项取其一项，按原来顺序排列， 所得新数列仍为等比数列且公比为 qk＋1. (6)在等比数列中，所有奇数项的符号相同，所有偶数项的 符号也相同．
解解法 法三四：设首项为 a1，公比为 q，
则aa11qq＝ 5＝2162
，解得a1＝23， q＝3，
或a1＝－23， q＝－3.
∴a10＝a1q9＝23×39＝13 122 或 a10＝a1q9 ＝－23·(－3)9＝13 122.
类型二
❖ 4．已知数列{an}为等比数列，若a1＋a2＋a3＝7， a1·a2·a3＝8，求数列{an}的通项公式．
a2010＝(
)
A．3
B．－3
C．±3
D．9
解析：a2010＝ 答案：C
＝±3.
❖ 5．{an}是公差不为零的等差数列，且a7，a10， a15是等比数列{bn}的连续三项，若b1＝3，则 bn＝________.
解析：{an}是公差不为零的等差数列，设首项为 a1，公差为 d，∵a7，a10，a15 是等比数列{bn}的连续三项， ∴(a1＋9d)2＝(a1＋6d)·(a1＋14d)， 整理可得 d＝－23a1.设数列{bn}的公比为 q，
类比：等比数列的常用性质 qn－m am·an
2.等比数列{an}满足 a1>0且q>1或a1<且0<q<1 时，{an}是递增数列； 满足 a1>0，且0<q<1或a1<0且q>1 时，{an} 是递减数列．
3．在任意两个非零实数a和b之间，也可以 插入n个数使之成为等比数列，但要注意，在 实数范围内，当ab>0，q>0时，a，b之间 可以插入 任意 个数，当ab>0，q<0 时，a，b之间可以插入 偶数 个数， 当ab<0时，在a和b之间可以插入 奇数个数．
D
】
A. 4
B. 2
C. 1
D. 1
2
4
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他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成
三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，
…这样的数为正方形数，下列既是三角形数又是正方形数
的是
（C ）
A . 289 B. 1024 C. 1225 D. 1378
则 q＝aa170＝aa11＋＋96dd＝53.
∴bn＝b1qn－1＝3×(53)n－1.
6 在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则
插入的n个数的积为________．
解析：利用性质“aman＝apaq“便可迅速获得，设 插入的n个数为a1，a2，…，an，G＝a1a2·…·an，则G2 ＝(a1an)·(a2an－1)(a3an－2)·…·(ana1)＝(1×100)n，∴G＝ 10n.
解析： ∵a22＝a1a3，代入已知， 得 a23＝8，∴a2＝2. 设前三项为2q，2,2q，则有2q＋2＋2q＝7.
整理，得 2q2－5q＋2＝0，
∴∴aq1＝q＝＝21，2，或或q＝aq1＝12＝.124.，
an＝2n－1 或 an＝4·12n－1.
类型三
例3.三个数成等比数列，它们的积等于27，它们的平方和等 于91，求原来的等比数列。
9 (1)有四个实数，前三个数依次成等比数列，它 们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们 的积为－80，求出四个数．
(2)已知四个数前三个成等差数列，后三个成等 比数列，中间两数之积为16，前后两数之积为－ 128，求这四个数．
解：(1)由题意，设此四数为b，b，bq，a，则有 q
b3＝－8， 2bq＝a＋b， ab2q＝－80，
∴当 a＝4，d＝4 时，所求四个数为 0,4,8,16； 当 a＝9，d＝－6 时，所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
方法 2：设这四个数依次为2a－a，a，a，aq(a≠0)， qq
2a－a＋aq＝16， q 由条件得 a＋a＝12. q
解得
q＝2， a＝8
q＝1， 或3
a＝3.
∴当 q＝2，a＝8 时，所求四个数为 0,4,8,16； 当 q＝1，a＝3 时，所求四个数为 15,9,3,1.
3 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
[点评] 等比数列的“对称设项”方法为当项数 n 为奇数 时，先设中间一个数为 a，再以公比为 q 向两边对称地依 次设项即可，如三个数成等比数列，可设为 a，a，aq；当
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1. B
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2. D
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3. B
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4.
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5. 3或27
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B
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C
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A
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4.若方程x2-5x+m=0与x2-10x+n=0的四个根适当排列后，恰好
组成一个首项为1的等比数列，则
m n
的值是 【
q 项数 n 为偶数且公比大于 0 时，先设中间两个数为a和 aq，
q 再以公比为 q2 向两边对称地依次地设项即可，如四个数成 等比数列，可设为qa3，aq，aq，aq3，六个数成等比数列可设 为qa5，qa3，aq，aq，aq3，aq5.
❖ 1．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新 的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是( )
❖[点评] 本题得解的关键是利用性质am·an＝ ap·aq(m、n、p、q∈N*，m＋n＝p＋q)， 并用一变形公式an＝am·qn－m.
8在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，
则a8·a9·a10·a11＝( B )
A．10 B．25 C．50
D．75
解析：解法一：∵a7·a12＝a8·a11＝a9·a10＝5， ∴a8·a9·a10·a11＝52＝25.故选B. 解法二：由已知：a1q6·a1q11＝aq17＝5， ∴a8·a9·a10·a11＝a1q7·a1q8·a1q9·a1q10 ＝a·q34＝(aq17)2＝52.故选B.
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6. D
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7. C
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8. 0<q<1
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等比数列的性质
❖ 1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质的由 来．
❖ 2.理解等比数列的性质并能应用．
❖ 3.掌握等比数列的性质并能综合运用.
回忆：等差数列的常用性质
性质1 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m、n∈N*)
性质2
若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m， n∈N*)，则ak＋al＝am＋an
解析： 根据 a1·a9＝a4·a6，
列方程组aa44＋ ·a6a＝6＝25460.，
解得aa46＝＝382，， 或aa46＝＝83，2. ∴q2＝aa46＝382＝14或 q2＝382＝4. ∴q＝±12或 q＝±2. 答案： ±12或±2
❖4．在等比数列{an}中，a2009＝a2011＝3，则
典例剖析
【例 1】
在等比数列an
中
，若
a2＝2，a6＝162，求
a10.
解：解法一：∵a6＝a2q4，其中，a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81，∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 解法二：∵2、6、10三数成等差数列，
∴a2、a6、a10成等比数列． ∴a62＝a2a10，∴a10＝aa622＝13 122.
性质3
若{an}是等差数列，则2an＝an－1＋an＋1，a1＋ an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
性质4
若{an}、{bn}分别是以d1、d2为公差的等差数列， 则{pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列
性质5
若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k、 m∈N*)组成公差为md的等差数列
❖ 解得q2＝4，
❖ ∴q＝2或q＝－2.
❖ ∴所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8， －32.
❖ 等比数列的性质如下： ❖ 设an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)． ❖ (是1递)当增q数>列1；，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an} ❖ 当递减q>数1列，；a1<0 或 0<q<1 ， a1>0 时 ， {an} 是 ❖ 当是摆q ＝动1数时列，．{an} 是 常 数 列 ； 当 q<0 时 ， {an} ❖ (2)an＝am·qn－m(m，n∈N*)． ❖ (3)当m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)时，有
答案：10n.
❖
7 (1)在等比数列{an}中，a5＝4，
a10＝27，则q＝_____2 ___.
(2)已知数列{an}为等比数列，a4＝25，a6＝
27，则log2a6－log2a4＝_____2_____.
解析：(1)aa150＝q5，∴q5＝2272＝25，
∴q＝2. (2)由于 log2a6－log2a4＝log2aa64，而aa64＝q2，∵q2＝2275＝22，
a＝10， 解得 b＝－2，
q＝－2.
a＝－8， 或 b＝－2，
q＝5. 2
所以这四个数为 1，－2,4,10 或－4，－2，－5，－8. 5
(2)设所求四个数为2a－aq，a，aq，aq3.
q
q
a · aq ＝16， ① q 则由已知 2a－aq · aq3 ＝－128. ② q
由①得 a2＝16， ∴a＝4 或 a＝－4. 由②得 2a2q2－a2q4＝－128. 将 a2＝16 代入整理，得 q4－2q2－8＝0.
❖ A．公比为q的等比数列
B．公比为q2的等比数列
❖ C．公比为q3的等比数列
D．不一定是等比数列
解析： 设新数列为{bn}，{bn}的通项公式为 bn＝anan＋1.
❖答所案以：aan＋na1anB＋n＋12＝aan＋n 2＝q2，数列{bn}是公比为 q2 的等比数列．
❖ 2 ． 已 知 {an} 是 等 比 数 列 ， 且 an>0 ， a2a4 ＋ 2a3a5 ＋a4a6＝36，那么a3＋a5的值等于( )
❖ A．6
B．10
❖ C．15
D．20
❖解析： 由题意知：a2a4＝a32，a4a6＝a52 ❖ ∴a32＋2a3a5＋a52＝36，即(a3＋a5)2＝36， ❖ ∴a3＋a5＝6，故选6. ❖答案： A
❖ 3．在等比数列{an}中，aBaidu Nhomakorabea·a9＝256，a4＋a6＝ 40，则公比q＝________.
[例4] 有四个数，其中前三个数成等差数列，后 三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的 和是16，第二个数与第三个数的和是12.求这四 个数．
[解]
方法
1：设这四个数依次为
a－d，a，a＋d，a＋d
2
，
a
a－d＋
a＋d
2
＝16，
由条件得
a
a＋ a＋d ＝12.
解得
a＝4， d＝4
或
a＝9， d＝－6.
am·an＝ap·aq.
(4)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为 q 的等比数 列；若{bn}是公比为 r 的等比数列，则{an·bn}是公比为 q·r 的等比数列；{a1n}是公比为1q的等比数列；{|an|}是公比为|q|
的等比数列． (5)在{an}中，每隔 k(k∈N*)项取其一项，按原来顺序排列， 所得新数列仍为等比数列且公比为 qk＋1. (6)在等比数列中，所有奇数项的符号相同，所有偶数项的 符号也相同．
解解法 法三四：设首项为 a1，公比为 q，
则aa11qq＝ 5＝2162
，解得a1＝23， q＝3，
或a1＝－23， q＝－3.
∴a10＝a1q9＝23×39＝13 122 或 a10＝a1q9 ＝－23·(－3)9＝13 122.
类型二
❖ 4．已知数列{an}为等比数列，若a1＋a2＋a3＝7， a1·a2·a3＝8，求数列{an}的通项公式．
a2010＝(
)
A．3
B．－3
C．±3
D．9
解析：a2010＝ 答案：C
＝±3.
❖ 5．{an}是公差不为零的等差数列，且a7，a10， a15是等比数列{bn}的连续三项，若b1＝3，则 bn＝________.
解析：{an}是公差不为零的等差数列，设首项为 a1，公差为 d，∵a7，a10，a15 是等比数列{bn}的连续三项， ∴(a1＋9d)2＝(a1＋6d)·(a1＋14d)， 整理可得 d＝－23a1.设数列{bn}的公比为 q，
类比：等比数列的常用性质 qn－m am·an
2.等比数列{an}满足 a1>0且q>1或a1<且0<q<1 时，{an}是递增数列； 满足 a1>0，且0<q<1或a1<0且q>1 时，{an} 是递减数列．
3．在任意两个非零实数a和b之间，也可以 插入n个数使之成为等比数列，但要注意，在 实数范围内，当ab>0，q>0时，a，b之间 可以插入 任意 个数，当ab>0，q<0 时，a，b之间可以插入 偶数 个数， 当ab<0时，在a和b之间可以插入 奇数个数．
D
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D. 1
2
4
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他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成
三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，
…这样的数为正方形数，下列既是三角形数又是正方形数
的是
（C ）
A . 289 B. 1024 C. 1225 D. 1378
则 q＝aa170＝aa11＋＋96dd＝53.
∴bn＝b1qn－1＝3×(53)n－1.
6 在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则
插入的n个数的积为________．
解析：利用性质“aman＝apaq“便可迅速获得，设 插入的n个数为a1，a2，…，an，G＝a1a2·…·an，则G2 ＝(a1an)·(a2an－1)(a3an－2)·…·(ana1)＝(1×100)n，∴G＝ 10n.
解析： ∵a22＝a1a3，代入已知， 得 a23＝8，∴a2＝2. 设前三项为2q，2,2q，则有2q＋2＋2q＝7.
整理，得 2q2－5q＋2＝0，
∴∴aq1＝q＝＝21，2，或或q＝aq1＝12＝.124.，
an＝2n－1 或 an＝4·12n－1.
类型三
例3.三个数成等比数列，它们的积等于27，它们的平方和等 于91，求原来的等比数列。
9 (1)有四个实数，前三个数依次成等比数列，它 们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们 的积为－80，求出四个数．
(2)已知四个数前三个成等差数列，后三个成等 比数列，中间两数之积为16，前后两数之积为－ 128，求这四个数．
解：(1)由题意，设此四数为b，b，bq，a，则有 q
b3＝－8， 2bq＝a＋b， ab2q＝－80，
∴当 a＝4，d＝4 时，所求四个数为 0,4,8,16； 当 a＝9，d＝－6 时，所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
方法 2：设这四个数依次为2a－a，a，a，aq(a≠0)， qq
2a－a＋aq＝16， q 由条件得 a＋a＝12. q
解得
q＝2， a＝8
q＝1， 或3
a＝3.
∴当 q＝2，a＝8 时，所求四个数为 0,4,8,16； 当 q＝1，a＝3 时，所求四个数为 15,9,3,1.
3 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
[点评] 等比数列的“对称设项”方法为当项数 n 为奇数 时，先设中间一个数为 a，再以公比为 q 向两边对称地依 次设项即可，如三个数成等比数列，可设为 a，a，aq；当
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2. D
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3. B
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4.
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5. 3或27
知能 提 升
B
知能 提 升
C
知能 提 升
A
知能 提 升
4.若方程x2-5x+m=0与x2-10x+n=0的四个根适当排列后，恰好
组成一个首项为1的等比数列，则
m n
的值是 【
q 项数 n 为偶数且公比大于 0 时，先设中间两个数为a和 aq，
q 再以公比为 q2 向两边对称地依次地设项即可，如四个数成 等比数列，可设为qa3，aq，aq，aq3，六个数成等比数列可设 为qa5，qa3，aq，aq，aq3，aq5.
❖ 1．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新 的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是( )