空间曲面及其方程

例 2 求与原点O 及M0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2 的
点的全体所组成的曲面方程.
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
所求方程为
x
22
y
12
z
42
（1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程F ( x, y, z) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
z
(x, y, z)
F((xxx,,yy,,z)) 00
.M . M´
(x, y, z)
o
y
x 1—1
{( x, y, z) F (x, y, z) 0}
例6 yoz坐标面上的直线 z ay(,绕a z轴0)旋转，试求所
得旋转曲面方程。
例6题解：
因为是yoz坐标面上的直线 z ay(a绕z0轴) 旋转，故
将z保持不变，y 换成
,则有x:2 y2
z a( x2 y2 )
即所求旋转曲面方程:
z2 a2(x2 y2)
上式表示的曲面称为圆锥面，点o称为圆锥的顶点。
直角坐标系中表示母线平行于 y 轴的柱面，其准线
为 xoz 面上曲线 C .
只含 z, y 而缺 x 的方程 F (z, y) 0 ，在空间
直角坐标系中表示母线平行于 x 轴的柱面，其准线
为 yoz 面上曲线 C .
实 例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面 // x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面 // z轴
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
柱面： 平行于定直线,并沿曲线C移动的直线L形成的轨迹称 为柱面，定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的 母线。
本课程只研究母线平行于坐标轴，准线在坐标 面上的柱面。
绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, x2 z2 0.
同理： xoz 坐标面上的已知曲线 f ( x, z) 0 绕
z 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f x2 y2 , z 0.
同理： xoz 坐标面上的已知曲线 f ( x, z) 0 绕
x 轴旋转一周的旋转曲面方程为 f x, y2 z2 0.
(2) x2 y2 4;
(3) y x 1.
思考题解答
方程
平面解析几何中 空间解析几何中
x2
平行于y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
圆心在(0,0) ，
x2 y2 4
半径为2 的圆
以z 轴为中心轴的圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于z 轴的平面
116 .
3
3 9
例4 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1的图形是怎样的？
解 根据题意有 z 1
z
用平面z c 去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2,c)，半径为 1 c x
上、下半球面的方程分别是： 球心在原点的上、下
z z0
R2 (x x0 )2 ( y y0 )2
半球面的方程分别是：
z R2 x2 y2
z z0 R2 (x x0 )2 ( y y0 )2
z R2 x2 y2
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 即
x2 2 pz 抛物柱面 // y 轴
椭圆柱面：
方程
x2 a2
y b
2
2称为1母线平行于z轴的椭圆柱面。
双曲柱面：
方程
y2 b2
x a
2
称2 为1母线平行于z轴的双曲柱面;
抛物柱面： 方程 x2=2py 称为母线平行于z轴的抛物柱面。
例4 方程x+y-1=0在空间直角坐标系中表示怎样的曲面？ 解：方程x+y-1=0在空间直角坐标系中代表一个平面，这
z2 c2
面
1
o
y
x
z
o
y
x
y2 （2）椭圆 a 2
z2 c2
1绕
y
轴和
z
轴；
x 0
2
y2
绕 y 轴旋转 a2
x2 z2 c2
1,
y2 a2
x2 z2 c2
1旋 转
椭
绕z 轴旋转
2
x2 y2 a2
z2 c2
1,
x2 a2
y2
z2 c2
球
1面
（3）抛物线 y2 2 pz 绕 z 轴； x 0
x2 y2 z2 2x0 x 2 y0 y 2z0z x02 y02 z02 R2 0
由上述方程可得球面的一般式方程为：
x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （*）
反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到
x A 2 y B 2 z C 2 1 A2 B2 C 2 4D
2
x2 y2 2 pz,
x2 y2 2 pz
旋转抛物面
旋转椭球面:
由方程 x2 y2 z2 1 a2 a2 c2
表示由xoz平面上的椭圆
x2 a2
z2 c2
1
绕z轴旋转而
成的，叫做旋转椭球面。
旋转抛物面: p=q时,椭圆抛物面方程：
x2 y2 z 2 p 2q
变为： x2 y2 z (p 0)
平面
o
y
o
y
x
x
抛物柱面
y x
例3 方程 x2 y2 表 R示2怎样的曲面？
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y 而缺 z 的方程 F ( x, y) 0，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其 准线为 xoy 面上曲线 C .
只含 x, z 而缺 y 的方程 F ( x, z) 0 ，在空间
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
得方程 f x2 y2 , z 0,
方程
f x2 y2 , z 0,
表示 yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 z 轴
旋转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0
面内的曲线绕该平面内的坐标轴旋转产生
的曲面。
问题： 设f ( y, z) 0是yoz平面内的一条曲线，绕
z轴旋转一周，求此旋转曲面的方程。
旋转过程中的特征： 如图 设 M ( x, y, z),
(1) z z1
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
（2）点M 到z 轴的距离
设柱面其准线为xoy面上 C : F ( x, y) 0,母线平行z轴,
求柱面方程. 如图 x x0 , y y0
又F ( x0 , y0 ) 0
故柱面方程： F( x, y) 0 x
z
柱面举例
z
F(x, y) 0
•
o
y
•
C M 0( x0 , y0 ,0)
M(x, y, z)
z
y2 2x
第七章 第五节
空间曲面及其方程
本节主要内容
一、空间曲面方程的概念 二、几种常见曲面的方程
1、球面
2、柱面 3、旋转曲面
曲面的实例：
z
水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被
•P(x, y, z)
看成是点的几何轨迹．
o
y
曲面方程的定义：
x
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
平面实际上也是一个柱面，是以xoy平面上的直线 x+y-1=0为准线，而母线平行于oz轴的柱面。
例：x y 1表示什么曲面？
x2 z2 1表示什么曲面？ 解：x y 1表示与z轴平行的平面。
x2 z2 1表 示 母 线 与y轴 平 行 的
圆 柱 面.
z
z
x y1
o
y
x
x2 z2 R2
2p 2p
它可以看作xoy面上的抛 物线x2=2pz绕z轴旋转而 成的旋转曲面，这曲面 叫做旋转抛物面。
小结
曲面方程的概念 F ( x, y, z) 0. 旋转曲面的概念及方程的求法.
柱面的概念(母线、准线).
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 2;
y
o
x
例5 方程 x2= 4z 表示怎样的柱面？
解：方程中仅含x、z，故此柱面的母线平行于y轴，它们
的准线为xoz平面上的抛物线x2=4z,这类柱面为抛物
柱面。
旋转曲面： 一平面曲线C绕同一平面上的定直线L旋转一周所成 的曲面称为旋转曲面。曲线C称为旋转曲面的母线，直 线L称为旋转曲面的轴。
在这里只研究坐标平
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求
生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕
x
轴和
z 轴；
绕x轴旋转 x2 a2
2
y2 z2
c2
1,
x2 a2
y2 z2 c2
旋 1转
双
曲
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
2
z2 c2
1,
x2 y2 a2
例 5 直线 L绕另一条与L相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面
的顶点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z
轴，半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
{M M }
解析几何的两类基本问题: (1)已知几何图形,求其方程; (2)已知方程分析图形的形状及其位置.
下面再考察两例曲面方程
例1 xOy坐标面的方程 : z=0
与 xOy坐标面平行的平面的 方程 : z=c
x
z
zc
z0
o
y
下面再考察两例曲面方程
例 3 已知A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段AB 的
解 设M( x, y, z)是球面上任一点， o
M(x, y, z)
M0 ( x0 , y0 , z0 )
y
根据题意有 | MM0 | R x
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
垂直平分面的方程.
解
设M( x, y, z)是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |, A
x 12 y 22 z 32
M(x, y, z)
B
x 22 y 12 z 42 ,
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
球面的方程
z
例1 建立球心在点 M0 百度文库 x0 , y0 , z0 )、 半径为R 的球面方程.
2 2 2 4
当 A2 B2 C 2 4D 0 时,是球面方程.
例：方程
4x2 4 y2 4z2 8x 16 y 24z 16 0表示什么曲面？
解 ： 方 程化 为
x2 y2 z2 2x 4y 6z 4 0
配方化为
方程表示以点(1,2,3）为
（x 1）2 （y 2）2 (z 3)2 18. 球心，半径为3 2的球面.