七年级数学上册第1章巧用数轴妙解题(人教版)

巧用数轴妙解题

数轴是初中数学重要概念之一,它不仅能象征性地表示数,而且能直观地解释和反映相反数和绝对值的意义,因此,巧妙地利用数轴,可以解决许多数学问题.下面举例说明.

一、利用判断式子的正负.

例1 若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，确定下列各式所代表的数是正数还是负数.

（1）a+b；（2）a-b；（3）ab+a

解由a、b两点所代表的数反应在数轴上给出的信息知，

（1）a+b＞0；（2）a-b＜0；（3）ab+a=a（b+1）＜0

所以a+b 是正数；a-b 是负数；ab+a是负数.

二、利用数轴比较数的大小

数轴上的点所表示的数，原点右边的都是正数，原点左边的都是负数；数轴上两个点所表示的数，右边的总比左边的大，由此可得到下面的结论：

1.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.

2.对于三个有理数a，b，c，若a＞b，b＞c，则a＞c；a＜b，b＜c，则a＜c.

3.没有最大的有理数，也没有最小的有理数.

4.最大的负整数是-1，最小的正整数是1.

5.没有绝对值最大的数，绝对值最小的数是0.

例2 若a＜b＜0＜1＜c，则b-c，a-c，b-a的大小顺序是（）

解

观察数轴知a-c＜0，即a＜c.

则a-b＜c-b.

由相反数的意义知b-a＞b-c. ①

又b-a＞0，即b＞a.则b-c＞a-c ②

综合①②知a-c＜b-c＜b-a.

三、利用数轴巧化简（计算活求值）

例4 a、b在数轴上对应的点如下图所示，化简|a-b|-|a|+|b|+|a+b|.

解观察数轴可知a＜0，b＞0，|a|＞b，

所以|b-a|=b-a，|a+b|=-（a+b）

故|a-b|-|a|+|b|+|a+b|=b-a+a+b-（a+b）=b-a

四、利用数轴巧求最大值

例4 （1）求|x+1008|+|x-1010|的最小值.

（2）已知0≤a≤4，求|a-2|+|3-a|的最值

分析可以分类讨论将绝对值化去，继而求得最小值，但计算比较繁琐.若运用数轴知识则简捷明快.

解（1）|x+1008|+|x-1010|表示数轴上x与-1008、1010的距离之和，显然当x在-1008与1010之间时原式有最小值，且最小值为2018.

（2）|a-2|+|3-a|表示数轴上a与-2、3两点的距离之和，在0≤a≤3范围内；

当a=3时，|3-2|+|3-3|=1，当a=0时，|0-2|+|3-0|=5，当a=2时，|2-2|+|3-2|=1，当a=4时，|4-2|+|3-4|=3.

故当a=0时，|a-2|+|3-a|有最大值5；当a=3时，|a-2|+|3-a|有最小值为1.