解析函数

第二章 解析函数
2.1 基本要求和内容提要 2.1.1基本要求
1. 正确理解复变函数可导与解析的概念，弄清可导与解析两概念之间的关系，弄清复变
函数可导与其实部、虚部作为二元实函数可微之间的联系与差别. 2. 能运用C-R 条件判别给定函数的解析性.
3. 熟练掌握解析函数的和、差、积、商、复合函数及反函数的求导公式.
4. 要知道解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u 或v ，求解析函数u iv +.
5. 要记住自变量取复数值时初等函数的定义和它们的一些主要性质. 2.1.2 内容提要
解析函数是复变函数研究的主要对象，它在理论和实际问题中有着广泛的应用. 1. 解析函数的概念
（1） 复变函数的导数
定义2.1 设函数0()w f z z =在点的某领域内有定义，0z z +∆是领域内任一点，
00()()w f z z f z ∆=+∆-，如果
0000()()lim
lim
z z f z z f z w
z z ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 存在有限的极限值A ，则称0()f z z 在处可导，A 记作0()f z '或
z z dw
dz =，即
0000
()()
()lim
z f z z f z f z z
∆→+∆-'=∆ 或 0()()(0)w f z z o z z '∆=∆+∆∆→.
也称0000()()()()df z f z z f z dz f z z ''=∆或为在处的微分，故也称0()f z z 在处可微. （2） 解析函数的概念与求导法则
定义2.2 如果00()f z z z 在及的邻域内处处可导，则称0()f z z 在处解析；如果()f z 在区域D 内每一点解析，
则称()f z 在D 内解析，或说()f z 是D 内的解析函数；如果0()f z z 在处不解析，则称0z 为()f z 的奇点. [1]导数的四则运算
设()f z 和()g z 都是区域D 上的解析函数， 则()
()(),()(),(()0)()
f z f z
g z f z g z g z g z ±≠及
在D 上解析，且有
[]()()()(),f z g z f z g z '''±=
±
[]()()()()()()f z g z f z g z f z g z '''=
+，
[]
2
()()()()()
()()f z f z g z f z g z g z g z '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦. [2] 复合函数的求导法则
设函数()f z ξ=在区域D 上解析，函数()w g ξ=在区域G 内解析，又
()f D G ⊂(()f D 的表示函数()f z ξ=值域，也就是区域D 的像）
，则复合函数(())()w g f z h z ==在D 内解析，且有
[]()(())(())()h z g f z g f z f z ''''==.
[3] 反函数的求导法则
设函数()w f z =在区域D 内解析且()0f z '≠，又反函数1
()()z f w w ϕ-==存
在且连续，则
()11
()()(())
z w w f z f w ϕϕϕ='=
=
''. (3) 函数解析的一个充分必要条件
定理 2.1 函数()(,)(,)f z u x y i v x y z x iy =+=+在处可导的充要条件是，
(,),(,)(,)u x y v x y x y 在点处可微，而且满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann ）方程
（简称C-R 方程）：
u v x y ∂∂=∂∂，u v
y x
∂∂=∂∂. 当定理2.1的条件满足时，可按下列公式之一计算()f z '： ()u v v v u u v u f z i i i i x x y x x y y y
∂∂∂∂∂∂∂∂'=
+=+=-=-∂∂∂∂∂∂∂∂. 注意，C-R 条件只是函数()f z 可导的必要条件而并非充分条件. 如果考虑区域上的解析函数，由定理2.1就可以得到下面的结论.
定理2.2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析（即在D 内可导）的充要
条件是，(,)(,)u x y v x y 和在D 内处处可微，而且满足C-R 方程.
推论 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内有定义，如果在D 内
(,)(,)u x y v x y 和的四个偏导数,,,x y x y u u v v ''''存在且连续，并且满足C-R 方程，则
()f z 在D 内解析.
2. 解析函数和调和函数的关系
（1） 调和函数的概念
定义2.3 如果二元实函数(,)x y ϕ在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯（Laplace ）方程
22220x y
ϕϕ
∂∂+=∂∂， 则称(,)x y ϕ为区域D 内的调和函数，或说函数(,)x y ϕ在区域D 内调和.
定理 2.3 设函数()(,)(,)f z u x y i x y =+在区域D 内解析，则()f z 的实部
(,)(,)u x y v x y 和虚部都是区域D 内的调和函数.
（2） 共轭调和函数
定义2.4 设函数(,)x y ϕ及(,)x y ψ均为区域D 内的调和函数，且满足C-R 方程
,x y x y
ϕψψϕ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 则称ψ是ϕ的共轭调和函数.
显然，解析函数的虚部是实部的共轭调和函数. 反过来，由具有共轭性质的两个调和函
数构造一个复变函数是不是解析的？下面的定理回答了这个问题.
定理2.4 复变函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充分必要条件是：
在区域D 内，()f z 的虚部(,)v x y 是实部(,)u x y 的共轭调和函数.
根据这个定理，便可利用一个调和函数和它的共轭调和函数作出一个解析函数.
（3） 解析函数和调和函数的关系
由于共轭调和函数的这种关系，如果知道了其中一个，则可根据C-R 方程求出另一个，通常有两种方法：偏积分法和线积分法. 3. 初等函数
指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数、幂函数、反三角函数以及反双曲函数. 当初等实变函数推广到初等复变函数时，揭示出了许多重要性质. 如指数函数的周期性，对数函数的无穷多值性，正弦函数、余弦函数的无界性.
2.2 典型例题与解题方法
例1 试讨论函数()Im f z z =的可导性. 解一 用导数定义来讨论.
()()Im()Im w f z z f z z z z
z z z
∆+∆-+∆-==
∆∆∆ Im Im Im Im z z z z
z z
+∆-∆==
∆∆ Im ()x i y y
x i y x i y
∆+∆∆=
=∆+∆∆+∆.
当点沿平行于实轴的方向()0=∆y 而使0→∆z 时， 00lim lim lim
00
00=∆=∆+∆∆=∆∆→∆=∆→∆→∆x
y i x y z w x y x z ，
当点沿平行于虚轴的方向()0=∆x 而使0→∆z 时， i y i y y i x y z w y y x z 1
lim lim lim
00
00=∆∆=∆+∆∆=∆∆→∆→∆=∆→∆.
因此，当点沿不同方向而使0→∆z 时，
z
w ∆∆的极限不同. 所以z w
z ∆∆→∆0lim 不存
在. 而z 是复平面上任意点，所以z z f Im )(=在复平面上处处不可导，自然也处处不解析.显然z z f Im )(=在复平面处处连续. 解二 用C-R 条件来研究.
设iy x z +=，则y z z f ==Im )(，所以
0,==v y u .
.0,0,1,0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂y
v
x v y u
x u 因
x
v
y u ∂∂-≠∂∂，故函数z z f Im )(=在复平面上处处不可导. 例2 讨论函数iy x z f 2)(+=的可导性. 解 因为
0()()
lim
z f z z f z z
∆→+∆-∆
02()2lim z x x i y y x iy z ∆→+∆++∆--=∆ y
i x yi
x z ∆+∆∆+∆=→∆2lim
0.
先令z z ∆+沿着平行于x 轴的方向趋近于z （图 2.1），此时0=∆y ，因而
1lim 2lim
00=∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆x x
y i x yi x x z .
再令z z ∆+沿着平行于y 轴的方向趋近于z ，此时0=∆x ，故极限
22lim 2lim
00=∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆yi yi
y i x yi x y z ，
所以函数()2f z x yi =+在复平面上处处可导. 例3 证明2
(1);(2);(3)sin z
z e z 在复平面上不解析.
分析 一般证明函数在复平面处处不可导或不解析多用函数不满足C-R 条件来证明. 证 （1）因2
2
2
2z x y i xy =--，所以 xy y x v y x y x u 2),(,),(2
2
-=-=.
.2,2,2,2x y
v
y x v
y y u
x x
u
-=∂∂-=∂∂-=∂∂=∂∂ 由此可知，2
w z =仅在点（0，0）处C-R 条件成立，所以2
w z =仅在点（0，0）处
可导，而在整个复平面上不解析. （2）因()cos sin z
x
e e
y i y =-，所以
,sin ,cos y e v y e u x
x
-==
,cos ,cos y e y
v y e x u x x -=∂∂=∂∂ 所以只有当)2,1,0(2
Λ±±=±
=k k y π
π时，才有
y
v
x u ∂∂=∂∂. 由此可见：z
e 在复平面上不解析. （3）因sin sin cos z x ch y i x sh y =-，所以 sin ,cos u x ch y v x sh y ==-，
cos ,cos u v x ch y x ch y x y
∂∂==-∂∂，
因此，只有当)2,1,0(2
Λ±±=±
=k k x π
π时，才有
y
v x u ∂∂=∂∂， 可见sin z 在复平面上不解析. 例4 证明2
222y
x y
i y x x w +-+=
在0≠z 处解析，并求导函数. 分析 这种类型的题目在证明了解析性之后，求导数只要求出沿x 方向的导数
x
v
i x u ∂∂+∂∂ 或沿y 方向的导数
y
u
i y v ∂∂-∂∂即可，这是因为，w 可导意味着沿任何方向的导数都相等. 证 因为2222
,x y
u v x y x y
=
=-++.所以 ()()
()
()
2
22222
2
22
2
222222,2,2,y x x y y v y x xy x v y x xy y u y x x y x u +-=∂∂+=
∂∂+-=
∂∂+-=∂∂. 以上是四个偏导数在除去原点外的平面上连续，所以u v 、除0=z 外可微，且满足C-R 条件，因此w u iv =+除0z =外解析.
()()
222222222y x xy
i y x x y x v i x u w +++-=∂∂+∂∂='. 例5 下列函数在复平面上何处可导？何处解析？
（1）
1z
； （2）()()2
222y xy i x y x -+--. 解 （1） 222211y
x y i y x x iy x z +++=-=. 所以
,,2
222y x y
v y x x u +=+=
()()
,2,2
2
222222y x xy y u y x x y x u +-==∂∂+-=∂∂
()()22
22
22222,v xy v x y x y x y x y ∂-∂-==∂∂++. 对于0≠z ，处处不满足C-R 条件（z=0时函数无定义），所以函数1
z
处处不可导，从而处处不解析.
（2） (
)(
)2
2
22y
xy i x y x w -+--=.
，，2
222y xy v x y x u -=--=
,2,12y y
u
x x u -=∂∂-=∂∂
.22,2y x y
v y x v -=∂∂=∂∂ 这四个偏导数处处连续，所以),(,),(y x v y x u 处处可微.要C-R 条件成立, 必须满足y x x 2212-=-，从而2
1
=
y . 所以(
)(
)2
2
22y xy i x y x w -+--=仅在直线2
1=y 上可导，而在复平面上
处处不解析. 例6
求证函数()f z =0z =满足C-R 条件，但它在0=z 处没有导数.
证 0),(,),(==
y x v xy y x u .
(0,0)
0x u x →∂==∂，
(0,0)
0y u y
→∂==∂，
且
0=∂∂=∂∂y
v x v ，所以在（0，0）满足C-R 条件. 但是 ()
()
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧→<+-→>+=+-=--→=→.
00,11,
00,11
)1(0lim 00lim
00x x i x x i i x x z y x x y
x z 且且
所以，0)(==z xy z f 在处不可导.
注：此题说明C-R 条件是可导的必要条件，而非充分条件. 例7 函数i y x y x z f 2
2
3
3
2)(+-=是不是解析函数？并求其导数. 解 2233
2),(,),(y x y x v y x y x u =-=.
y x y
v
xy x v y y u x x u 22224,4,3,3=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂ 均连续.要满足C-R 条件，必须要2
2
2
2
34,43y xy y x x ==成立.即仅当0==y x 和
4
3
=
=y x 时才成立，所以)(z f 不是解析函数. 0)0()
0,0()
0,0(=∂∂+∂∂=
'x v
i
x
u f ，
)1(16
27
)4343()4
3,43()43
,43(i x
v i x
u i f +=
∂∂+∂∂=+'. 例9 设)(z f 在区域D 内解析，试证明在D 内下列条件是彼此等价的（即互为充要条件）： （1）常数≡)(z f ； （2）0)(≡'z f ； （3）常数≡)(Re z f ； （4）常数≡)(Im z f ； （5）解析)(z f ； （6）常数≡)(z f . 证 按)1()6()5()4()3()2()1(⇒⇒⇒⇒⇒⇒的顺序证明. )2()1(⇒ 显然，0)()(='⇒=z f C z f .
)3()2(⇒ 设D z z f ∈=',0)(.因为)(z f 在D 内解析，对任意D z ∈， 0)(=∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=
'y
u
i y v x v i x u z f . 于是对任意D z ∈，有
0=∂∂=∂∂y
u x u . 所以C y x u =),(（常数），即=)(Re z f 常数.
)4()3(⇒ 设C z f iv u z f =+=)(Re ,)(（常数）. 即C u =，因为)(z f 在D 内解析，
所以
0=∂∂=∂∂x u y v ，0=∂∂-=∂∂y
u
x v ， 因此C y x v =),(，即C z f =)(Im （常数）.
)5()4(⇒ 若iC u z f iC u z f C z f -=+==)(,)(,)(Im 11，因为)(z f 在D 内解析，
所以
0=∂∂=∂∂=∂∂y C y v x u ，0=∂∂-=∂∂-=∂∂x
C x v y u . 即
x
v y u y v x u ∂-∂-=∂∂∂-∂=∂∂)(,)(. 因此，)(z f 在D 内解析.
)6()5(⇒ 设)()(z f z g =在D 内解析，iv u z f -=)(，由C-R 条件，
x
v
y u y v x u ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂,. （1） 又因为)(z f 在D 内解析，所以
x
v
y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,. （2） 由（1）、（2）得x v x v y v y v ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂-
,，所以0=∂∂=∂∂y
v
x v ，因此2C v =. 由（1）
0=∂∂=∂∂y
u x u ，因此1C u =. 所以 i C C z f 21)(+==常数.
)1()6(⇒ 设D z C z f ∈=,)(，所以在D 内，C v u =+2
2
. 若0=C ，则0)(,0===z f v u ，结论成立.
若0≠C ，将C v u =+2
2
的两边分别对,x y 求偏导数，得
022=∂∂+∂∂x
v
v x u u
，
（3） 022=∂∂+∂∂y v v y u u
. （4） 由于)(z f 在D 内解析，故有
x
v
y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,. 代入（4）式，得 022=∂∂-∂∂x
v u x u v
. （5） 联立（3）、（5）解方程组，因为
04)(4222222≠-=+-=-C v u u
v v
u ，
所以方程组有唯一解
0,0=∂∂=∂∂x
v x u ， 由此立即可得
0=∂∂=∂∂y
v
y u ， 所以12,u C v C ==(12,C C 都是常数). 即 21)(iC C z f +=.
例10 证明)(z f 在上半平面解析的充要条件是)(z f 在下半平面解析.
分析 由上例知，当)(z f 和)(z f 都解析时，)(z f 必为常数. 故当)(z f 不是常数时，
)(z f 和)(z f 不可能同时解析. 但本例却指出：当)(z f 解析时，不论)(z f 是否为常数，
)(z f 必解析；反过来也成立.
证 设),(),()(y x v i y x u z f +=，则),(),()(y x v i y x u z f ---=.
先证必要性.因为)(z f 解析，故有
x
v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,， 因此
y y x v y y x v x y x u ∂--∂=-∂-∂=∂-∂)],([)(),(),(，
x
y x v x y x v y y x u ∂--∂=∂-∂-=-∂-∂)]
,([),()(),(.
两式表明)(z f 的实部与虚部满足C-R 条件，又显然),(),(y x v y x u ---与可微，所以)(z f 在下半平面可微.
再证充分性.若已知)(z f 在下半平面解析，则由必要性中推出之等式，
)(z f 必于上半平面解析，亦即)(z f 于上半平面解析.
例11 设D 是关于实轴对称的区域，证明函数)(z f 与)(z f 在D 内是同时解析的.
分析 由于区域D 关于实轴对称，则D z D z ∈⇔∈.我们可分别利用函数解析的充要条件与定义给出两种证明.
证一 设),(),()(y x v i y x u z f +=，则),(),()(y x v i y x u z f ---=， )(z f 在D 内解析),(,),(y x v y x u ⇔在D 内可微，且 ),(),(,
),(),(y x v y x u y x v y x u x y y x -==.
记(,)(,),(,)(,)x y u x y x y v x y ϕψ=-=--，则
),,(),,(y x u y y x u x y x --=∂∂-=∂∂ϕϕ
(,),(,).x y v x y v x y x y
ψψ∂∂=--=-∂∂ 不难推知，当)(z f 在D 内解析时，(,),(,)x y x y ϕψ在D 内可微且
,,x y y x
ϕψϕψ
∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 即)(z f 在D 内解析.反之亦然. 证二 令)()(z f z g =，则 0
000)
()(lim
)()(lim
00
z z z f z f z z z g z g z z z z --=--→→ ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=→0
0)()(lim 0z z z f z f z z .
若)(z f 在点0z 可导，则由上式可知)()(z f z g =在点0z 可导并且
00()()g z f z ''=. 反之，若)(z g 在点0z 可导，则)()(z g z f =在点0z 可导.再利用解析函数的定义可知)(z f 与)(z f 在D 内是同时解析的. 例12 试求下列函数值：（1）3
2i e π-；（2）)5cos(i +π.
解一 （1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==--3sin 3cos 3
23
323
2ππππi e e
e
i
i
2
3
cos sin 33e i ππ⎡
⎤=-⎢⎥⎣
⎦
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=i e 23213
2()
i e 3123
2-=. （2）2
)5cos()
5()5(i i i i e e i +-++=+πππ
2
55i
i e e ππ-+-+=
2
55i
i e e e e ππ--+=
()()[]
ππππsin cos sin cos 2155
i e i e -++=
- []
)1()1(21
55-+-=-e e
52
5
5ch e e -=+-
=-. 解二 ()i i i 5sin sin 5cos cos 5cos πππ-=+ 55cos ch i -=-=.
例13试求下列函数值及其主值：（1）()
i 33ln - ；（2）)3(-Ln . 解（1）()()()
πk i i i i 233arg 33ln 33ln +-+-=- i k i π23
3
arctan
32ln +-+= .2,1,0,6232ln Λ±±=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+=k k i ππ
（2）()()).2,1,0(123ln 2)3arg(3ln )3(Λ±±=++=+-+=-k k i k i Ln ππ
令0=k ，得主值
()
i i i ππ
+-
=-3ln 6
32ln 33ln 和.
注意：在微积分中所见到的初等函数都有相应的复形式，并且在复形式下这些函数之间的关系更为清楚统一，但是实的初等函数的某些性质在复形式下时不再成立.例如上例中，负数也有对数，还有z e 可以取负值，正弦、余弦函数不再是有界的，等等.这些地方我们应加以注意. 例14 求()i
i -+11的值及其主值.
解 ()
()()⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+--==+ππk i i i Ln i i
e
e i 242ln
1)1(111
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2ln 24242ln ππππk i k e
).2,1,0(2ln 4sin 2ln 4cos 224
Λ±±=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=+k i e
k πππ
π
当0=k 时，主值为()
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-2ln 4sin 2ln 4
cos 2141πππ
i e i i
.
例15 解下列方程：（1）2cos sin =-z z ；（2）i z sh =；（3）1=z th .
解（1）由于⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=-4sin cos 4cos sin 2cos sin ππz z z z
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=4sin 2πz ，
所以方程2cos sin =-z z 等价于24sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛
-πz 或2sin 4Arc z =-π.
再由()
21sin z iz Ln i z Arc -+-=可知 (
)
i i i Arc z ±-=
+=
2ln
4
2sin 4
π
π
()
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++±-=πππ
k i i 2212ln 4 ()
)2,1,0(12ln 24
3Λ±±=±-+=
k i k ππ
. 故方程2cos sin =-z z 的解为
()
Λ2,1,012ln 24
3±±=±-+=k i k z ππ.
（2）方程i z sh =等价于
()
0122
2
=--=--z z z
z ie e i e e 或，它的根为
)2,1,0(22Λ±±=⎪⎭
⎫
⎝⎛+===k i k i Ln z i e z ππ或.故方程i z sh =的解为
Λ2,1,022±±=⎪⎭
⎫
⎝⎛+=k i k z ππ
（3）由双曲正切函数的定义
1
1
22+-=+-==--z z z z z z e e e e e e z ch z sh z th ， 于是方程1=z th 等价于1122+=-z
z e e .两边平方并令iv u e z +=2，可知
()()22
22
11v u v u ++=+-， 则推出 0=u
因()[]z e e u z z Im 2cos Re Re 22==，所以 []2
4
Im 0Im 2cos 0π
π
k z z u +
=⇔=⇔=，其中Λ2,1,0±±=k . 故方程1=z th 的解为满足2
4
Im π
π
k z +
=
()Λ2,1,0±±=k 的所有复数z. 例16 已知),(,y x y x φϕ）与（都是区域D 内的调和函数，试证明
),(),(y x b y x a φϕ+也是区域D 内的调和函数，其中,a b 为常数.
证 如果令φϕb a u +=，那么 y y y x x x b a u b a u φϕφϕ+=+=,， yx yx yx xy xy xy b a u b a u φϕφϕ+=+=,， yy yy yy xx xx xx b a u b a u φϕφϕ+=+=,
，
由于ϕ与φ是D 内的调和函数，则ϕ与φ的二阶偏导数在D 内均连续，
且有00=+=+yy xx yy xx φφϕϕ，.从而,,,,yy yx xy xx u u u u 在D 内也连续，且有()()
0=+++=+yy xx yy xx yy xx b a u u φφϕϕ， 因此，u 即φϕb a +是区域D 内的调和函数.
例26 试证：
2
2y
x y
u +=是在不包含原点的复平面所成的区域D 内的调和函数； 并求一个以u 为实部的解析函数iv u z f +=)(. 证 先证明u 是调和函数. ()
()
()
,62,2623
22
2
33
22
3
22
22
y
x
xy x u y
x
y y x u y
x
xy
u xy xx x ++-=
+-=
+-=
，
()
()
()
.62,263
22
2
33
22
3
22
22
2
2y
x
xy x u y
x
y y x u y
x
y x u yx yy y ++-=
++-=
+-=
，
显然，当()()0,0,≠y x 时，u 的二阶偏导数均连续，且满足Laplace 方程，
所以在不包含原点的复平面所成的区域D 内u 是调和函数. 下面来求一个解析函数iv u z f +=)(. 解一（用偏积分法） 因为x y u v =，所以()
2
22
2y
x
xy
v y +-=
，
从而 ()
)(22
22
2
2
x g y
x x
dy y x
xy
v ++=+-=
⎰. 由此得 ()
()
2
22
2
22
22
2
2)(y
x
y x u x g y
x
x y v y x +--
=-='++-=
，
故 C x g x g ==')(,0)(. 因此 22
x
v C x y
=++，而
2222
()y x
f z u i v i iC x y x y =+=
++++
()2
2i x iy i iC iC x y z
-=+=++. 解二（用线积分法）取()00,x y 为()1,0，积分路线如图2.4，就有 (
)
()
00,,x y y x x y v u dx u dy C =
-++⎰
()
()
()
()
22
,2
2
1,02
2
2
22x y x y xy
dx dy C x
y
x
y
--=-
++++⎰
()
221
02212x
y y
dx x dy C x x y =-
--++⎰⎰ 22
x
C x y
=
++.
以下做法与解一同.
注：上面求v 的方法，理论上只适于0x >的情形（否则在积分过程中x 要取得零值，而这时被积函数无意义）.但可以直接验证所求得的22
x
v C x y =++（在
除去原点所得区域内）符合题中要求.
最后再指出一点：既然任给一个调和函数(,)x y ϕ，我们一定能够找到一个以(,)x y ϕ为实部或虚部的解析函数，
而解析函数实部与虚部的任意阶偏导数是调和函数.因此，(,)x y ϕ的任意阶偏导数也是调和函数.换句话说，调和函数的任意阶偏导数仍然是调和函数.
例27 已知22(,),(,),()(,)(,)u x y x y v x y f z u x y i v x y =-=+求使函数在复平面上
解析.
解 因 22222,2;2,2;u u u u
x y x x y y ∂∂∂∂===-=-∂∂∂∂ 因此 2222220u u
x y
∂∂+=-=∂∂.
从而u 是全平面上的调和函数. 方法一 取()()00,0,0x y =，则
()0
,022x
y
v x y dx xdy C xy C =++=+⎰⎰.
方法二 由C-R 条件22(2)u u
dv dx dy ydx xdy d xy y x
∂∂=-
+=+=∂∂， 所以 2v xy C =+. 方法三 因为
2v u
y x y
∂∂=-=∂∂， 两边对x 积分，得2()v xy y ϕ=+， 两边对y 求导，得
v
2()y
x y ϕ∂'=+∂. 但
2,()0,(),v u x y y C y x
ϕϕ∂∂'====∂∂所以故2v xy C =+.
于是 2222
()(2)()f z x y i xy C x iy iC z iC =-++=++=+.
它在复平面上解析.
例28 已知23(,)3v x y xy x =-+，求以v 为虚部的解析函数()f z u i v =+. 解 显然，v 是调和函数.由C-R 条件，
2233,6v u v u y x xy x y y x
∂∂∂∂=-+=-=-=∂∂∂∂. 由第一式得：323()u y x y x ϕ=-+，代入第二式，则有6()6.xy x xy ϕ'-+=- 于是()0,()x x C ϕϕ'==.因此
32
(,)3u x y y x y C =-+，
(
)32
23
()33f z u i v y x y C i xy x =+=-++-+
3
i z C =+.
例29 已知调和函数22(,)u x y x y xy =-+，求其共轭调和函数(,)v x y 及解析函数()(,)(,)f z u x y i v x y =+. 解一（偏积分法） 利用C-R 方程，
(2)2v u
y x y x x y
∂∂=-=--+=-∂∂ 所以 2
(2)2()2
x v y x dx xy g y =-=-+⎰.
有
2()v
x g y y
∂'=+∂. 又
2v u x y y x
∂∂==+∂∂ 比较两式可得：2()2,()x g y x y g y y ''+=+=故，有2
()2y g y ydy C ==+⎰. 因此 22
2()22
x y v xy C C =-+
+为任意常数. 因而得到解析函数
()(,)(,)f z u x y i v x y =+
()222
2
222x y x y xy i xy iC ⎛⎫
=-++-++ ⎪⎝
⎭
()()222
2242
i x i xy y x i xy y iC =+--
+-+ ()2
2
z z i iC =•-+.
解二（线积分法）
因为 (
)
()
,0,0(,)(,)x y v x y dv x y C =
+⎰
()
(),0,0x y v
v
dx dy C x
y
∂∂=+
+∂∂⎰
()
()
,0,0x y u u
dx dy C y x
∂∂=-
++∂∂⎰
, 所以
()()()
()
,0,0(,)22x y v x y y x dx x y dy C =-+++⎰
，
于是由图2.5，
()()
()
()()()
,,0,00,0(,)22x y x y v x y y x dx x y dy C =-+++⎰
⎰
()()()
()()()
,0,0,0,0
22x x y x y x dx x y dy C =-+++⎰⎰
()()()()
22x
y
y x x
y x dx
x y dy C ===-+
++⎰
⎰
()()0
02x y
x dx x y dy C =
-+++⎰⎰
22
222
x y xy C =-+++ （C 为任意常数），
从而可得解析函数
()(,)(,)f z u x y i v x y =+
()
22
z z i iC -=
+. 例30 已知()()()2242u v x y x xy y x y +=-++-+，试确定解析函数()f z u i v =+ 解 因为()()()224242x x u v x xy y x y x y +=+++-+- ()()()224422y y u v x xy y x y x y +=-+++-+-
且,x y y x u v u v ==-，所以上面两式分别相加减，可得 2
2
332y v x y =--， （1） 6x v xy =. （2） 由（1）式得()222333232()v x y dy x y y y g x =--=--+⎰. 代入（2）式，得6()6xy g x xy '+= ，可推出()g x C =（实常数）. 因此 23(,)32v x y x y y y C =--+，
()()()22(,)42(,)u x y x y x xy y x y v x y =-++-+-， 所确定的解析函数()f z u i v =+为
()()3223()3232f z x xy x C i x y y y C =---+--+ 32,
(1),z z k k i C C =-+=-+为任意常数.。