解析函数

第二章 解析函数

2.1 基本要求和内容提要 2.1.1基本要求

1. 正确理解复变函数可导与解析的概念，弄清可导与解析两概念之间的关系，弄清复变

函数可导与其实部、虚部作为二元实函数可微之间的联系与差别. 2. 能运用C-R 条件判别给定函数的解析性.

3. 熟练掌握解析函数的和、差、积、商、复合函数及反函数的求导公式.

4. 要知道解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u 或v ，求解析函数u iv +.

5. 要记住自变量取复数值时初等函数的定义和它们的一些主要性质. 2.1.2 内容提要

解析函数是复变函数研究的主要对象，它在理论和实际问题中有着广泛的应用. 1. 解析函数的概念

（1） 复变函数的导数

定义2.1 设函数0()w f z z =在点的某领域内有定义，0z z +∆是领域内任一点，

00()()w f z z f z ∆=+∆-，如果

0000()()lim

lim

z z f z z f z w

z z ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 存在有限的极限值A ，则称0()f z z 在处可导，A 记作0()f z '或

z z dw

dz =，即

0000

()()

()lim

z f z z f z f z z

∆→+∆-'=∆ 或 0()()(0)w f z z o z z '∆=∆+∆∆→.

也称0000()()()()df z f z z f z dz f z z ''=∆或为在处的微分，故也称0()f z z 在处可微. （2） 解析函数的概念与求导法则

定义2.2 如果00()f z z z 在及的邻域内处处可导，则称0()f z z 在处解析；如果()f z 在区域D 内每一点解析，

则称()f z 在D 内解析，或说()f z 是D 内的解析函数；如果0()f z z 在处不解析，则称0z 为()f z 的奇点. [1]导数的四则运算

设()f z 和()g z 都是区域D 上的解析函数， 则()

()(),()(),(()0)()

f z f z

g z f z g z g z g z ±≠及

在D 上解析，且有

[]()()()(),f z g z f z g z '''±=

±

[]()()()()()()f z g z f z g z f z g z '''=

+，

[]

2

()()()()()

()()f z f z g z f z g z g z g z '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦. [2] 复合函数的求导法则

设函数()f z ξ=在区域D 上解析，函数()w g ξ=在区域G 内解析，又

()f D G ⊂(()f D 的表示函数()f z ξ=值域，也就是区域D 的像）

，则复合函数(())()w g f z h z ==在D 内解析，且有

[]()(())(())()h z g f z g f z f z ''''==.

[3] 反函数的求导法则

设函数()w f z =在区域D 内解析且()0f z '≠，又反函数1

()()z f w w ϕ-==存

在且连续，则

()11

()()(())

z w w f z f w ϕϕϕ='=

=

''. (3) 函数解析的一个充分必要条件

定理 2.1 函数()(,)(,)f z u x y i v x y z x iy =+=+在处可导的充要条件是，

(,),(,)(,)u x y v x y x y 在点处可微，而且满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann ）方程

（简称C-R 方程）：

u v x y ∂∂=∂∂，u v

y x

∂∂=∂∂. 当定理2.1的条件满足时，可按下列公式之一计算()f z '： ()u v v v u u v u f z i i i i x x y x x y y y

∂∂∂∂∂∂∂∂'=

+=+=-=-∂∂∂∂∂∂∂∂. 注意，C-R 条件只是函数()f z 可导的必要条件而并非充分条件. 如果考虑区域上的解析函数，由定理2.1就可以得到下面的结论.

定理2.2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析（即在D 内可导）的充要

条件是，(,)(,)u x y v x y 和在D 内处处可微，而且满足C-R 方程.

推论 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内有定义，如果在D 内

(,)(,)u x y v x y 和的四个偏导数,,,x y x y u u v v ''''存在且连续，并且满足C-R 方程，则

()f z 在D 内解析.

2. 解析函数和调和函数的关系

（1） 调和函数的概念

定义2.3 如果二元实函数(,)x y ϕ在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯（Laplace ）方程

22220x y

ϕϕ

∂∂+=∂∂， 则称(,)x y ϕ为区域D 内的调和函数，或说函数(,)x y ϕ在区域D 内调和.

定理 2.3 设函数()(,)(,)f z u x y i x y =+在区域D 内解析，则()f z 的实部

(,)(,)u x y v x y 和虚部都是区域D 内的调和函数.

（2） 共轭调和函数

定义2.4 设函数(,)x y ϕ及(,)x y ψ均为区域D 内的调和函数，且满足C-R 方程

,x y x y

ϕψψϕ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 则称ψ是ϕ的共轭调和函数.

显然，解析函数的虚部是实部的共轭调和函数. 反过来，由具有共轭性质的两个调和函

数构造一个复变函数是不是解析的？下面的定理回答了这个问题.

定理2.4 复变函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充分必要条件是：

在区域D 内，()f z 的虚部(,)v x y 是实部(,)u x y 的共轭调和函数.

根据这个定理，便可利用一个调和函数和它的共轭调和函数作出一个解析函数.

（3） 解析函数和调和函数的关系

由于共轭调和函数的这种关系，如果知道了其中一个，则可根据C-R 方程求出另一个，通常有两种方法：偏积分法和线积分法. 3. 初等函数

指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数、幂函数、反三角函数以及反双曲函数. 当初等实变函数推广到初等复变函数时，揭示出了许多重要性质. 如指数函数的周期性，对数函数的无穷多值性，正弦函数、余弦函数的无界性.

2.2 典型例题与解题方法

例1 试讨论函数()Im f z z =的可导性. 解一 用导数定义来讨论.