小波分析综述

小波分析综述

唐平

（西华大学交通与汽车工程学院，四川 成都 610039）

摘 要：小波分析是目前科学界和工程技术领域研究的一个热门课题。本文主要介绍小波分析的基本思想，及其去噪应用。

关键词：小波分析，噪声，傅立叶

The Summary of Study on Wavelet Analysis

Tang ping

(Xihua University, Chengdu, 610039)

Abstract: Wavelet analysis is a hot issue of current scientific community and engineering skills area. This paper mainly introduces the basic theory of wavelet analysis, and its de-noising application.

Key words: wavelet analysis, noise, Fourier

一 引言

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet 在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。幸运的是， 1986年著名数学家Y.Meyer 偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。与Fourier 变换、窗口Fourier 变换相比，它是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展，势必取代傅立叶分析的位置。

二 小波分析问题

长期以来，人们在信号处理领域，一直试图寻找一种相对完美的表示方法，它能三角函数系和Haar 函数系的优点来分解任意函数，它既有三角函数系的频率域局域性，又有Haar 函数系的时间域局域性。

对一般信号f(x)，它的窗口傅立叶变换可定义为：

⎰--=dx e q x g x f q p G ipx r )()(21),(

其中，g(x)为给定的窗口函数，于是有以下公式：

⎰⎰-=dpdq

e q x g q p G x

f ipx r )(),(21

)(2π

可知，窗口变换是一种窗口大小及形状均固定的时间局部化分析，因为频率与周期成反比。因此，反映信号高频成分需要窄窗口，反映信号低频成分需要宽的时间窗。这样窗口傅立叶变换就不能满足这种要求。

为此，人们引入了一种窗口大小固定，但形状可变的小波，它能满足时频局

部化分析的要求，它能将交织在一起的不同频率组成混合信号分解成不同频率的块信号。由于这种时频是广义的，不同问题的时频对，有不同的解释。因而能有效地应用地信噪分离、模式识别，将非线性问题线性化，非平稳过程平稳化。

三小波分析应用

小波就是小的波形，它具有衰减性，同时具有波动性、振幅正负相间的震荡性。小波分析目前在科学界和工程技术领域非常热门。原则上，使用傅立叶分析技术的地方，都可以采用小波分析技术来解决。

作为一个新生的强有力的数学工具，小波分析在科学技术的各个领域都发挥着越来越大的作用，许多学者对其应用作了归纳，大致如下：

1）数学领域，如积分、数值分析、控制论等；

2）信号分析，如滤波、去噪声、压缩、传递等；

3）医学成像与诊断，如减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等；

4）大型机械的故障诊断等方面；

此外，还包括量子力学、理论物理、军事领域、流体力学、股市分析、模式识别与提取、地震勘探数据处理等。

1小波去噪介绍

小波图象去噪已经成为目前图象去噪的主要方法之一。一般来说，现实中的图象都是带噪图象。所以为了后续更高层次的处理，很有必要对图象进行去噪。人们也根据实际图象的特点、噪声的统计特征和频谱分布的规律，发展了各式各样的去噪方法，其中最为直观的方法是采用低通滤波方式来进行去噪的方法，如滑动平均窗滤波器，其他的去噪方法还有基于秩-阶滤波的方法、基于马尔可夫场模型和基于偏微分方程的方法等。

近年来，小波理论得到了非常迅速的发展，在去噪领域中，小波去噪获得了非常好的效果。具体来说，小波去噪方法的成功主要得益于小波变换具有如下特点：1）低熵性，2）多分辨率，3）去相关性，4）选基灵活性。

在数学上，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在由小波母函数伸缩和平移版本所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原信号的最佳逼近，以完成原信号和噪声信号的区分。从信号学的角度看，小波去噪实际上是特征提取和低通滤波功能的综合。

2小波去噪方法

小波去噪方法，大体可以分成小波萎缩法、投影方法、相关方法三类。

2.1小波萎缩法

小波萎缩法是目前研究最为广泛的方法。小波萎缩法又分成如下两类：第一类是阈值萎缩，由于阈值萎缩主要基于如下事实，即比较大的小波系数一般都是以实际信号为主，而比较小的系数则很大程度是噪声，因此可通过设定合适的阈值，首先将小于阈值的系数置零，而保留大于阈值的小波系数，然后经过阈值函数映射得到估计系数，最后对估计系数进行逆变换，就可以实现去噪和重建；而另外一种萎缩方法则不同，它是通过判断系数被噪声污染的程度，并为这种程度引入各种度量方法，例如概率和隶属度等，进而确定萎缩的比例，所以这种萎缩方法又被称为比例萎缩。

2.2投影方法

投影方法的原理就在于将带噪信号以一种迭代的方式，投影到逐步缩小的空间，由于最后的空间能更好地体现原信号的特点，所以投影法也能够有效地区分噪声和信号。

2.3相关方法

相关方法主要是基于信号在各层相应位置上的小波系数之间往往具有很强的相关性，而噪声的小波系数则具有弱相关或不相关的特点来进行去噪的。

3小波去噪声展望

小波去噪方法现在已经成为去噪和图象恢复的重大分支和主要研究方向，但是在另类噪声分布（非高斯分布）下的去噪研究还不够。目前国际上开始将注意力投向这一领域。其中非高斯噪声的分布模型、高斯假设下的小波去噪方法在非高斯噪声下如何进行相应的拓展，是主要的研究方向，未来这一领域的成果将大大丰富小波去噪的内容。

从层内模型到层间模型，甚至混合模型，小波系数模型的精细带来了去噪效果的改善，可以说，小波去噪的成功与否，就在于人们得到先验知识的能力和利用这些知识进行准确建模的能力，所以未来小波去噪方法的进一步发展，还有赖于新的更为准确的模型提出。

另外,从数学本质上讲,由于小波去噪方法也是一个模型定阶的问题,所以模型定阶问题的任何进展也将会推动小波去噪方法向前发展,这个问题的研究方向有MDL准则、MML准则以及Bayes方法等,不过paul等人指出了在一定条件下,这几种准则或方法都选取同样的模型,所以人们可以选择在难度相对较小的准则下,对这一问题进行研究。

另外，目前小波去噪方法所取得的成功不仅将大大拓宽小波去噪方法的应用领域，而且在推动这些领域研究发展的同时，必将从这些领域的应用中反馈新的问题，从而会进一步丰富小波去噪的内容和推动小波去噪的发展。

四结束语

小波变换是一种窗口大小不变但形状可变，即时间窗和频率窗都可改变的视频局部化分析方法。它具有对信号的自适应性，应用越来越广泛。又由于小波分析具有局部分析和细化的功能，所以小波分析可以揭示其他信号分析方法所丢失的数据信息。

小波分析是一种信号的视频分析方法，它具有多分辨率分析的特点，很适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，有效区分信号中的突变部分和噪声。因此利用小波分析进行信号消噪明显好于传统的Fourier变换的分析方法。通过MATLAB编制程序进行给定信号的噪声抑制和非平稳信号的噪声消除实验表明：基于小波分析的消噪方法是一种提取有用信号、展示噪声和突变信号的优越方法，具有广阔的实用价值。

参考文献

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