判定三角形形状十种方法
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判定三角形形状的十种方法
数学考试和数学竞赛中,常有判断三角形形状的题目,这类题目涉及的知识面广,综合性强,它沟通了代数、几何、三角等方面的知识联系。解题思路不外是从边与边、边与角之间的关系考虑,从而达到解题的目的。
1、若有a=b或(a-b)(b-c)(c-a)=0,
则△ABC为等腰三角形。
2、若有(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,
则△ABC为等边三角形。
3、若有a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形;
若有a2+b2=c2,则△ABC为直角三角形;
若有a2+b2<c2,则△ABC为钝角三角形。
4、若有(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,
则△ABC为等腰三角形或直角三角形。
5、若有a=b且a2+b2=c2,
则△ABC为等腰直角三角形。
以上是从三角形的边与边之间的关系考虑的。
6、若有sin2A+sin2B=sin2C或sinA=sinB,
则△ABC为直角三角形或等腰三角形。
7、若有cosA>0,或tanA>0,(其中∠A为△ABC中的最大角) 则△ABC为锐角三角形。
8、若有cosA<0,或tanA<0,(其中∠A为△ABC中
的最大角), 则△ABC为钝角三角形。
9、若有两个(或三个)同名三角函数值相等(如
tanA=tanB),则△ABC为等腰三角形(或等边三角形)。
10、若有特殊的三角函数值,则按特殊角来判断,如
cosA=,b=c,则△ABC为等边三角形。
以下就一些具体实例进行分析解答:
一、利用方程根的性质:
例1:若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一
个相同的根,且a、b、c为一个三角形的三条边,则此三
角形为()
(A)锐角三角形;(B)钝角三角形;
(C)以c为斜边的直角三角形;(D)以a为斜边的直角
三角形;
(“缙云杯”初中数学邀请赛)
解:将两个方程相减,得:2ax-2cx+2b2=0,显然a≠c,否则b=0,与题设矛盾,故x= ,将两个方程相加,
得2ax+2cx+2b2=0,∵x≠0,否则b=0,与题设矛盾,
∴x=-(a+c),∵两个方程有一个相同的根,
∴ =-(a+c),即b2+c2=a2,故△ABC是以a为斜边
的直角三角形,故应选(D)
二、利用根的判别式
例2:已知a、b、c是△ABC的三边,且方程
b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0没有实数根,试判断△ABC 的形状。
解:整理原方程,得:(c+b)x2-2ax+(c-b)=0,由已知,得:△=4a2-4(c+b)(c-b)=4(a2+b2-c2)<0 ,∴a2+b2-c2<0,即a2+b2<c2,故△ABC是钝角三角形。
三、利用根与系数的关系
例3、在△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、
∠C的对边,已知方程x2+axcosB-bcosA=0的两根之和等于两根之积,试判断△ABC的形状。
解:根据一元二次方程的根与系数的关系,得:acosB=bcosA,如图:作CD⊥AB于D,则AD=bcosA,BD=acosB,AD=BD,又CD⊥AB,∴△ABC为等腰三角形。
四、利用非负数的性质
例4:已知a、b、c是△ABC的三边,且
a3+b3+c3=3abc,求证:△ABC是等边三角形。
证明:∵a3+b3+c3=3abc,
∴(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=0,
即(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)=0,∵
a+b+c≠0,