金融工程 第九章 PPT 股票期权和性质
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第9章 股票期权的性质 properties of stock options
内容介绍
9.1 影响期权的价格因素 9.3 期权价格的上限与下限 9.4 看跌-看涨平价关系 9.5 提前行使期权：无股息看涨期权 9.6 提前行使期权：无股息看跌期权 9.7 股息对期权的影响
9.1 影响期权价格的因素 factors affecting option prices
借入38元，期限为0.5年，刚好可以买入看跌 期权和股票，支付37+1=38元， 0.5年后，执行期权或从市场上卖出股票，偿 还借款，获得剩余套利。
证明：考虑如下两个组合：
组合 C：持有一个欧式看跌期权加上一只股票
组合D：现金 KerT
下面考虑者两个组合在 T 时刻的价值 组合C： 在T 时刻, 如果 ST<K, 则持有者会执行期 权，否则不执行期权，因此，组合C的价值为 max {ST, K}.
组合D：在T 时刻的价值为K, 因此组合C的价值在 不会低于组合D的价值，根据无套利原理，在初期 应有：
p S0 KerT ,即，p KerT S0
由于期权的价值总是非负，因此
p max{KerT S0 , 0}
9.4 看跌-看涨平价关系 put-call parity
9.4.1 平价关系的推导
Ke 组合 A：持有一个欧式看涨期权 + 数量为 rT的现金
组合 C：一个欧式看跌期权 + 一只股票
假设看涨与看跌期权的执行价均为 K，则两个组合在到期时的价 值相同，均为
max(ST , K )
因此有如下平价关系（Why）：
c KerT p S0
即：欧式看涨期权的价格可以有一个具有相同 执行价格和到期日的看跌期权的价格表示
影响期权价格的因素有： 标的资产（这里指股票）当前的价格：S0 执行价格：K 期权期限：T 股票价格的波动率：s 无风险利率：r 期权期限内预期发放的股息：D
一个变量增加而其他变量不变对期权价格的影响
变量
欧式c 欧式p 美式C 美式P
S0 K
–+
– +
–+
– +
T
? ? ++
s r D
–++
–+ +
c KerT S0 ,即，c S0 KerT
由于期权的价值总是非负，因此
c max{S0 KerT , 0}
例9-1 P140
9.3.3 无股息股票的欧式看跌期权下限
定理 2：一个不支付任何股息的股票欧式看跌期 权价格的下限为：
p KerT S0
例子：
假设 p = 1 < 2.01, 则投资者可按下面方式获取套利
9.4.2 平价关系不成立时的套利机会举例 {c KerT 3 30e0.1*3/12 32.26} { p S0 2.25 31 33.25}
投资者的套利策略 卖空组合C中的证券，进行无风险投资； 同时买入组合A中的证券；
投资者的现金流 当前时刻，收入 31+2.25-3 = 30.25 ，可用于无 风险投资。
无风险利率对期权价格的影响
当 r 上升，导致投资者对股票的预期收益率增 加，期权持有人将来的现金流贴现会降低，但 这两个因素合在起会导致看涨期权价格上涨， 看跌期权价格下跌。
实际中，r 上升，股价会下跌，r 下降，股价会 上涨；因此 r 上升，看涨期权的价格反而会下 跌，而看跌期权的价格会上涨。
股息对期权价格的影响 看涨期权：分派股息，股价将下跌，期权价 格会下降 看跌期权：分派股息，股价将下跌，则期权 价格可能会上升
证明：考虑如下两个组合：
组合 A：持有一个欧式看涨期权加上数量为KerT
的现金
组合B：持有一只股票 下面考虑这两个组合在 T 时刻的价值
组合A： 在T 时刻的现金将变成 K， 如果 ST>K,则
持有者会执行期权，否则不执行期权，因此，组 合A的价值为 max {ST, K}.
组合B：在T时刻的价值为ST, 因此组合A的价值 在不会低于组合B的价值，根据无套利原理， 在初期应有：
持有者将行使期权的40美元用于无风险投资 ，直到期权到期，
特别对于欧式期权： p KerT
问题：如果上述不成立，投资者又可如何获套利？
9.3.2 无股息股票的欧式看涨期权的下限 定理 1：一个不支付任何股息的股票欧式看涨期 权价格的下限为：
c S0 KerT
例子：
假设 c = 3 < 3.71, 则投资者可按下面方式获取套利
卖空标的股票得20元，同时买入看涨期权，支 付3元，余 20-3=17元， 以无风险利率投资17元1年， 1年后得 18.79元 1年后，执行期权或从市场上买入股票平仓均 可使得获得套利。
S0 K C P S0 KerT
例 9-3 P143
9.5 提前行使期权：无股息股票的看涨期权 early exercise :call on a non-dividend-paying stock
引例：考虑1个月期限的美式看涨期权，设股价 为 50，执行价为 40，
持有者可以立即行使期权，获得10美元，并 持有股票 1 个月；
3个月后 如果股价高于30元，则投资者执行看涨期权， 并平仓，收益为： 31.02-30=1.02
如果股价低于30美元，则看跌期权将被执行， 这时投资者将必须以30美元价格买入股票，用 于平仓，收益为：31.02-30=1.02
9.4.3 美式期权（习题证明） 对于具有相同执行价格和到期日的美式看涨与 看跌期权，其价格满足
–++
–+ +
引例：
假设 S0=50， K=50， r=5%, σ=20%, T=1年， D=0， 此时 c=7.116, p=4.677
股票价格对期权价格的影响
执行价格对期权价格影响
百度文库
期权期限对价格的影响
美式：价格随期限而增加 欧式：期限内无股息时，同美式；有股息时，则未 必相同
股票价格波动率对期权价格的影响
9.2 假设及记号
assumptions and notation
假设
记号
9.3 期权价格的上限于与下限 Upper and lower bounds of option prices
9.3.1 上限
看涨期权： c S0， C S0
问题：如果上述不成立，投资者可如何获套利？
看跌期权： p K， P K
内容介绍
9.1 影响期权的价格因素 9.3 期权价格的上限与下限 9.4 看跌-看涨平价关系 9.5 提前行使期权：无股息看涨期权 9.6 提前行使期权：无股息看跌期权 9.7 股息对期权的影响
9.1 影响期权价格的因素 factors affecting option prices
借入38元，期限为0.5年，刚好可以买入看跌 期权和股票，支付37+1=38元， 0.5年后，执行期权或从市场上卖出股票，偿 还借款，获得剩余套利。
证明：考虑如下两个组合：
组合 C：持有一个欧式看跌期权加上一只股票
组合D：现金 KerT
下面考虑者两个组合在 T 时刻的价值 组合C： 在T 时刻, 如果 ST<K, 则持有者会执行期 权，否则不执行期权，因此，组合C的价值为 max {ST, K}.
组合D：在T 时刻的价值为K, 因此组合C的价值在 不会低于组合D的价值，根据无套利原理，在初期 应有：
p S0 KerT ,即，p KerT S0
由于期权的价值总是非负，因此
p max{KerT S0 , 0}
9.4 看跌-看涨平价关系 put-call parity
9.4.1 平价关系的推导
Ke 组合 A：持有一个欧式看涨期权 + 数量为 rT的现金
组合 C：一个欧式看跌期权 + 一只股票
假设看涨与看跌期权的执行价均为 K，则两个组合在到期时的价 值相同，均为
max(ST , K )
因此有如下平价关系（Why）：
c KerT p S0
即：欧式看涨期权的价格可以有一个具有相同 执行价格和到期日的看跌期权的价格表示
影响期权价格的因素有： 标的资产（这里指股票）当前的价格：S0 执行价格：K 期权期限：T 股票价格的波动率：s 无风险利率：r 期权期限内预期发放的股息：D
一个变量增加而其他变量不变对期权价格的影响
变量
欧式c 欧式p 美式C 美式P
S0 K
–+
– +
–+
– +
T
? ? ++
s r D
–++
–+ +
c KerT S0 ,即，c S0 KerT
由于期权的价值总是非负，因此
c max{S0 KerT , 0}
例9-1 P140
9.3.3 无股息股票的欧式看跌期权下限
定理 2：一个不支付任何股息的股票欧式看跌期 权价格的下限为：
p KerT S0
例子：
假设 p = 1 < 2.01, 则投资者可按下面方式获取套利
9.4.2 平价关系不成立时的套利机会举例 {c KerT 3 30e0.1*3/12 32.26} { p S0 2.25 31 33.25}
投资者的套利策略 卖空组合C中的证券，进行无风险投资； 同时买入组合A中的证券；
投资者的现金流 当前时刻，收入 31+2.25-3 = 30.25 ，可用于无 风险投资。
无风险利率对期权价格的影响
当 r 上升，导致投资者对股票的预期收益率增 加，期权持有人将来的现金流贴现会降低，但 这两个因素合在起会导致看涨期权价格上涨， 看跌期权价格下跌。
实际中，r 上升，股价会下跌，r 下降，股价会 上涨；因此 r 上升，看涨期权的价格反而会下 跌，而看跌期权的价格会上涨。
股息对期权价格的影响 看涨期权：分派股息，股价将下跌，期权价 格会下降 看跌期权：分派股息，股价将下跌，则期权 价格可能会上升
证明：考虑如下两个组合：
组合 A：持有一个欧式看涨期权加上数量为KerT
的现金
组合B：持有一只股票 下面考虑这两个组合在 T 时刻的价值
组合A： 在T 时刻的现金将变成 K， 如果 ST>K,则
持有者会执行期权，否则不执行期权，因此，组 合A的价值为 max {ST, K}.
组合B：在T时刻的价值为ST, 因此组合A的价值 在不会低于组合B的价值，根据无套利原理， 在初期应有：
持有者将行使期权的40美元用于无风险投资 ，直到期权到期，
特别对于欧式期权： p KerT
问题：如果上述不成立，投资者又可如何获套利？
9.3.2 无股息股票的欧式看涨期权的下限 定理 1：一个不支付任何股息的股票欧式看涨期 权价格的下限为：
c S0 KerT
例子：
假设 c = 3 < 3.71, 则投资者可按下面方式获取套利
卖空标的股票得20元，同时买入看涨期权，支 付3元，余 20-3=17元， 以无风险利率投资17元1年， 1年后得 18.79元 1年后，执行期权或从市场上买入股票平仓均 可使得获得套利。
S0 K C P S0 KerT
例 9-3 P143
9.5 提前行使期权：无股息股票的看涨期权 early exercise :call on a non-dividend-paying stock
引例：考虑1个月期限的美式看涨期权，设股价 为 50，执行价为 40，
持有者可以立即行使期权，获得10美元，并 持有股票 1 个月；
3个月后 如果股价高于30元，则投资者执行看涨期权， 并平仓，收益为： 31.02-30=1.02
如果股价低于30美元，则看跌期权将被执行， 这时投资者将必须以30美元价格买入股票，用 于平仓，收益为：31.02-30=1.02
9.4.3 美式期权（习题证明） 对于具有相同执行价格和到期日的美式看涨与 看跌期权，其价格满足
–++
–+ +
引例：
假设 S0=50， K=50， r=5%, σ=20%, T=1年， D=0， 此时 c=7.116, p=4.677
股票价格对期权价格的影响
执行价格对期权价格影响
百度文库
期权期限对价格的影响
美式：价格随期限而增加 欧式：期限内无股息时，同美式；有股息时，则未 必相同
股票价格波动率对期权价格的影响
9.2 假设及记号
assumptions and notation
假设
记号
9.3 期权价格的上限于与下限 Upper and lower bounds of option prices
9.3.1 上限
看涨期权： c S0， C S0
问题：如果上述不成立，投资者可如何获套利？
看跌期权： p K， P K