第8章容差分析

F ( x) P{ X x}
称为 X 的分布函数。
如果将 X 看成数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F (x) 在 x 处的函数值就表示 X 分布函数的性质： (1) 0 F ( x) 1, F () 0, F () 1 (2) F (x) 单调不减，即若 x1 x 2 ，则有 F ( x1 ) F ( x 2 ) 。 落在区间 (, x] 上的概率。
N ( , ) 变换成标准正态分布 ，则有
2
p ( x) p ( y )
y ( x ) /
1 2
e y2 / 2
(2)
由(1)式和(2)式可知，不同的 值，相应于概率密度函数 曲线的平移；当增大时，曲线峰值下降而分布变宽，这种关 系如图 8.2.2 所示。
若随机变量 X 和 Y 的方差不全为零，则可以根据协 方差定义他们的相关系数 ：
cov( X , Y ) D( X ) D(Y )
若两个随机变量相互独立，则它们的协方差为零； 反之，如果两个随机变量的协方差等于零，则它们不 一定相互独立。
若两个随机变量相互独立，则它们的协方差为零 ；反之， 如果两个随机变量的协方差等于零，则它们不一定相互独立。 随机变量还有一个重要的数字特征是矩。设 X 和 Y 是随机变量， 则(1)
通常，容差问题包括容差设计和容差分析两 部分内容。容差设计的任务是设计电路的标称值 及分配电路中元器件参数的容差，使电路性能的 偏差最小；或者在保证电路性能满足指标要求的 条件下允许元器件参数的容差范围最大，所以容 差设计问题也称为电路参数的容差分配设计。而 且，元器件参数的容差不仅关系到电路的性能指 标，也与电路的经济成本直接相关。一般来说， 元器件的精度越高其误差范围越小，价格也就越 高。我们希望在电路性能满足要求，价格尽可能 低的情况下，实现电路参数的最佳设计。容差分 析是在给定电路参数容差范围的条件下，计算器 件参数变化对电路性能的影响。我们在这一章主 要讨论容差分析问题。
如果抽样点数 N 足够大，(1)式的近似就足够精确。 称(1)式为离散随机变量 X 的概率分布或分布律。 由概率定义， pi 应满足如下两个条件：
pi 0
i 1,2,
(2)
p
i 1

i
1
离散随机变量的概率描述了电阻值的分布规 律，其对应关系如表8.2.2所示。抽样点数越多， 区间划分越细，描述越准确。
p ( x ) p[( x )]
(4)概率密度函数的峰值点在 处，即
{max p( x)} p( ) 1 /( 2 ) 0.4 /
应该指出，对于正态分布的随机变量，随机变量的取值偏离 均值 3 之外的概率是相当小的。假定随机变量 X 的取值落在其 均值的 k 邻域之内的概率为
正态分布的随机变量的性质： (1)数学期望： E ( X ) (2)方差： D ( X )



xp( x)dx
2 2



( x ) p ( x)dx
。
当 小时，随机变量的离散度小，分布集中在均值的附近 当 大时，随机变量的离散度大，分布曲线展宽。 (3)概率密度函数关于 值对称，即
X 的 k 阶矩为 E ( X ), k 1,2,
k k
(2) X 的 k 阶中心矩为 E{[ X E ( X )] }, k 1,2, (3) X 和 Y 的 k l 阶混合矩为 E ( X Y ), k , l , 1,2,
k l
(4) X 和 Y 的 k l 阶中心混合矩
xi
pi
阻值
100～101 100 0.18
101～102 101 0.141
102～103 102 0.111
103～104 103 0.032
104～105 104 0.010
xi pi
解： E ( X ) x
x p
i 1 i
10
i
99.372
x D( X )
[ X E ( X )]
对离散分布的随机变量 X ，其概率分布为
p{ X xi } pi
i 1,2,
2
则其数学期望 x 和方差 X 分别定义为
x E ( x) xi pi
i 1

X D( X ) [ xi E ( X )]2 pi
2 i 1

其中 x 称为随机变量 X 的数学期望，简称期望或均值；
表8.2.1数据所反映的电阻的统计分布也可以 画成图8.2.1(a)所示的直方图，图中横坐标是划分 10个子区间的电阻值，纵坐标为测得的阻值落入 第 i 个 子 区 间 的 电 阻 个 数 Ni 。 图 8.2.1(b) 表 示 这 1000个电阻的概率密度分布，它与图8.2.1(a)相 似，只是将纵坐标的量纲换成相对频率ni=Ni/N。 对这种通过抽样测量估计其统计分布规律的离散 随机变量，用直方图表示 其统计分布规律是最简 单也是最直观的一种方法。
表 8.2.2 离散随机变量与阻值的对应关系 阻值 95～96 96～97 97～98 98～99 99～100 95 0.022 96 0.050 97 0.101 98 0.161 99 0.192
xi pi
阻值 100～101 101～102 102～103 103～104 104～105
xi pi
概率密度函数：如果存在函数 p ( x) 0 ，对于任意实数 x 有
F ( x) p(t )dt

x
则称 p (x) 为随机变量 X 的概率密度函数，简称密度函数。 密度函数的性质： (1)



p( x)dx 1
(2) p ( x1 X x 2 ) (3) p ( x) F x)100 0.18
101 0.141
102 0.111
103 0.032
104 0.010
实际上电路的器件参数可以取其容差范围内的任意数 值，而不只是区间内的离散值，这时要用器件参数的概率 密度函数或概率分布函数描述其统计分布特性。假定 X 是 一个连续型随机变量， F ( x) 0
， x 是任意实数，函数
X 称为随机变量的标准差或均方差。
对于连续随机变量 X ，若其概率密度为 p (x ) ， 则数学期望和方差的定义分别为
x E ( x) xp( x)dx


X D( X ) [ x E ( X )] p( x)dx
2 2

数学期望的性质： (1)设 c 为一常数，则 E (c) c 。 (2)设 X i 为随机变量， ci 为常数， i 1,2, , n 则
最后说明一点：估计电路的合格率及合格率 的梯度也属于容差分析的范畴，这个问题放到下 一章电路优化问题中去讨论。 在详细讨论容差分析问题之前，首先对器件 参数的统计分布规律的特性作一简单的介绍。
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8.2.1随机变量及其描述方法 假定电路中某一个电阻的标称值为100Ω，容 差为5%。我们对于总数N=1000的这种电阻逐个 地进行测量，每个电阻的阻值可能是95Ω至105Ω 之间的任何值。将95Ω至105Ω的区间分隔成为1Ω 的10个子区间，记录阻值落入每一个子区间的电 阻个数，并将测量结果列于表8.2.1中。
P{k } P{ k X k }
k
1 2
k
e
( x ) 2 / 2 2
dx 2
k
1 2
0
e
x2 / 2
dx
表 8.2.3 列出了不同的 k 值对应的 P{k } 值。可以看出
8.容差分析 8.1引言 8.2器件参数的统计分布规律 8.3多个参数变化对电路性能的影响 8.4最坏情况分析 8.5蒙特卡罗分析
引言
任何电子产品在制造和应用过程中都不可避 免地受到随机扰动因素的影响，因此实际电路中 的元器件参数和其标称值之间总是存在着随机误 差，也就是说电路中的元器件参数的数值是其标 称值容差范围内的一个随机数值。例如，一个标 称值为47Ω，容差范围为10%的电阻器，其阻值 可以是42.3Ω到51.7Ω范围内的任何数。在电路设 计过程中，一般采用元器件参数的标称值进行电 路仿真，计算电路的性能。由此计算出的电路与 实际生产制造出的电路必然存在差别，而且随着 环境温度的变化和使用时间的增加，这种差别还 可能进一步增大。在严重的情况下，电路性能的 偏差可能达到影响电路正常使用的程度。因此， 电子产品的设计必须考虑元器件参数容差的影响。
i 1
10
2
pi 3.733 1.932
可见，用离散随机变量描述电路器件参数的统计分布规律时， 选择适当的抽样点数、区间划分的边界以及随机变量的取值 是至关重要的。
8.2.3几种常用器件参数的统计分布 1.正态分布 最常见的器件参数的统计分布是正态分布， 也成高斯分布。各种电阻器、电容器以及晶体管 的参数通常都服从正态分布。另外，根据大数定 理，一定数量的器件组成的电路，不论器件参数 的分布规律，电路的响应也近似正态分布。因此， 应对正态分布的随机变量的特性比较熟悉。
设随机变量 X 服从正态分布，则其概率密度函数为
p ( x)
1
2
e ( x ) / 2 ,
2 2
x (1
其中， 0 ， 和 全为常数。该分布也可以记作
N ( , ) ，经过简单变量代换 y ( x ) /
2
，可以将

x2
x1
p( x)dx F ( x 2 ) F ( x1 )
概率分布函数和概率密度函数都可以完备描 述随机变量，也就是说，知道了电路中器件参数 的分布函数或密度函数，就可以知道完备描述器 件参数的统计分布特征，从而对电路进行容差分 析。
8.2.2随机变量的数字特征 虽然分布函数能够完整的描述随机变量的统 计特性，但在实际问题中求随机变量的分布函数 绝非易事，在许多情况下只需知道随机变量的某 些特征就足够了。随机变量常用的数字特征是： 数学期望、方差和矩。
(3)设 X 和 Y 都是随机变量，则
D ( X Y ) D ( X ) D (Y ) 2 E[ X E ( X )]E[Y E (Y )]
上式中最后一项称作随机变量 X 和 Y 协方差，即：
cov( X , Y ) E[ X E ( X )]E[Y E (Y )]
E{[ X E ( X )]k [Y E (Y )] }, k , l 1,2,
l
显然 X 的数学期望 E ( X ) 是 X 的一阶矩，方差
D( X ) 是二阶中心矩；协方差 cov( X , Y ) 是 X 和 Y
的二阶中心混合矩。
例，对概率分布如下表所示的随机变量 X ，计算其数学期望和标准差。 表 8.2.2 离散随机变量与阻值的对应关系 阻值 95～96 96～97 95 0.022 96 0.050 97～98 97 0.101 98～99 98 0.161 99～100 99 0.192
以这个电阻为例，说明如何用一个离散随机变量描 述电路元器件参数的统计分布规律。假定 X 是个离散随
机变量，事件 { X xi } 表示测量一个电阻的阻值落在第 个子区间。显然，事件 { X xi } 的概率可近似为
p{ X xi } pi N i / N
i 1,2,
(1)
对电路进行容差分析有两类方法。一类是以 灵敏度分析为基础的方法。灵敏度分析只是解决 单个元器件参数变化对电路性能的影响。例如我 们在这章介绍的最坏情况分析。第二类方法是统 计方法。在很多情况下，我们并不可能确切知道 每个器件参数实际偏离标称值的量，只知道它们 的可能偏离范围和各个参数的随机分布规律。可 以利用概率统计的方法，通过已知的器件参数的 随机分布规律去计算电路特性的分布规律。蒙特 卡罗分析就是一种统计抽样方法。这种方法在器 件参数容差范围内对参数进行随机抽样，对大量 的抽样值做电路仿真，计算出电路性能的统计特 性和偏差范围。