积分变换第二章拉氏变换

L [ f ( t )] = F ( s )
则：
∞ f (t ) L = ∫s F ( s )d s . t
∞ ∞ ∞ f (t ) 一般地 , 有L n = ∫ d s ∫ d s⋯ ∫ F ( s )d s s s s t n次
17
例9 求函数
sht f (t ) = t
d L [ f ( t )] = −L [ tf ( t )] Re( s ) > c ds
推论
d n n L [ f ( t )] = ( −1) L[t f ( t )] Re( s ) > c n ds
n
10
f ( t ) = t 2 cos kt (k为实数 的拉氏变换 为实数) 例4 求 为实数 的拉氏变换.
2
2.拉氏变换的存在定理 若函数 (t)满足 拉氏变换的存在定理 若函数f 满足 满足: (1) 在t ≥ 0的任一有限区间上分段连续 的任一有限区间上分段连续; 的任一有限区间上分段连续 (2) 当t→+∞时, f (t)的增长速度不超过某一指数函数 即存 →+∞时 的增长速度不超过某一指数函数, →+∞ 的增长速度不超过某一指数函数 在常数 M > 0及c ≥ 0, 使得 及 |f (t)|≤ M e ct, 0≤ t <+∞ ≤ ≤ +∞ (t)的拉氏变换 则 f (t)的拉氏变换
f ( n) ( t ) = s n F ( s ) L
( Re s > c ) ( n = 1,2,⋯)
此性质可以使我们有可能将f 的微分方程 此性质可以使我们有可能将 (t)的微分方程 转化为F(s)的代数方程 的代数方程. 转化为 的代数方程
9
像函数的微分性： 像函数的微分性：
+∞ 0
f ( t )e dt 在s平面的某一区域
+∞
− st
内收敛，则称其为 f ( t )的Laplace变换，记为 L[ f ( t )] = F ( s ) = ∫
0
f ( t )e dt
− st
f ( t )称为F ( s )的Laplace逆变换，记为 f ( t ) = L−1[ F ( s )]. F ( s ) 称为 像函 数， f ( t )称 为原 像函 数.
f (t ) = 2π j ∫β − j ∞ 1
β + j∞
F ( s )e st ds
综上知： 综上知：
L [ F ( s )] = ∑ Res F ( s )e , sk
-1 st k =1
n
21
1 例1 求F(s) = 2 的逆变换. s (s + 1)
1 1 −1 1 解 F(s) = 2 = 2+ + s (s + 1) s s s +1
解 L[sinkt] = ∫ sinkt e dt
− st 0
+∞
1 +∞ jkt − jkt −st = ∫ (e − e )e dt 2j 0
+∞ − j +∞ −( s−jk)t −( s+jk )t dt − ∫ e dt = ∫0 e 0 2 1 k − j 1 = − = s2 + k2 2 s − jk s + jk (Re s > 0)
解 由于 f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = ⋯ = f (
m −1 )
0 ) = 0, 而 f ( (
m)
(t ) = m!
一方面 L f
(m)
1 ( t ) = L [ m !] = m !L u ( t ) = m ! ; s
f (m ) ( t ) = s m L t m ； 另一方面 L 1 1 m ⇒ s L t = m ! ⇒ L t = m +1 m ! (Re s > 0). s s
n次
的拉氏变换. 例6 求 f ( t ) = ∫0 cos t dt 的拉氏变换
t
t cos tdt = 1 L [ cos t ] = 1 s = 1 解 L ∫ 0 s s s2 + 1 s2 + 1
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4.平移性( 延迟性 )：设L [ f ( t )] = F ( s ) , 则
(
)
7
k L[sin kt ] = 2 s + k2
同理可得
(Re s > 0)
s L[cos kt] = 2 2 s +k
2.微分性质 微分性质: 微分性质
原像函数的微分性： 原像函数的微分性：
(Re s > 0)
L [ f ′( t )] = s F ( s ) − f (0)
设L [ f ( t )] = F ( s ), 则
m m
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3. 积分性质
设L [ f ( t )] = F ( s )
( Re s > c ) , 则 ( Re s > max(0, c ) )
t
t f ( t )dt = F ( s ) L ∫ 0 s
L{∫ dt ∫ dt⋯∫
0 0 t t 0
1 f (t )dt } = n F(s) s
氏变换也多一个因子e−sτ. 氏变换也多一个因子
f(t) f(t−τ)
O
τ
t
14
0 t < τ 的拉氏变换. 例7 求函数 u(t −τ ) = 的拉氏变换 1 t > τ
1 知 据 迟 质 解 已 L[u(t )] = , 根 延 性 s 1 −sτ L[u(t −τ )] = e (Re s > 0) s
k ,由位移性质得 解 已知L[sinkt] = 2 2 s +k k at L[e sinkt] = （R e(- a) 0） s > 2 2 (s − a) + k
16
相似性： 6. 相似性：
1 s L [ f (ct ) ] = L [ f (t ) ] ( ) c c
(c > 0)
7 象函数积分性质 象函数积分性质:
Laplace变换 Laplace变换
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 Laplace变换的定义 Laplace变换的性质 Laplace逆变换 卷积 Laplace变换的应用
第一节 拉氏变换的定义
1. 定义 定义： 设 f ( t )是[0, +∞ )上的实(或复 )值函数，若对参数
s = β + jω , F ( s ) = ∫
解
″ 2 2 ″ = s L t cos kt = ( −1) {L [ cos kt ]} 2 s + k2 2 s 3 − 6k 2 s = 2 ( s + k 2 )3
11
的拉氏变换（ 为正整数 为正整数）。a1 f1 ( t ) + a2 f 2 ( t ) = a1 F1 ( s ) + a2 F2 ( s ), L−1 b1 F1 ( s ) + b2 F2 ( s ) = b1 f1 ( t ) + b2 f 2 ( t )
6
为实数) 例3 求 f (t)=sinkt (k为实数 的拉氏变换 为实数
的拉氏变换. 的拉氏变换
1 , 解 因L[sht ] = 2 s −1 ∞ 1 sht 由 分 质 L 积 性 : = ∫s s2 − 1d s t =∫
∞ s
1 1 1 1 s −1 s − 1 − s + 1 d s = 2 ln s + 1 2 s
∞
1 s +1 . = ln 2 s −1
u(t−τ)
1 O
τ
t
15
5.位移性：L [ f ( t )] = F ( s ) ( Re s > c ) , 则
eα t f ( t ) = F ( s − α ) L αt −1 L [ F ( s − α )] = e f ( t )
( Re( s − α ) > c )
f ( t ) = eα t sin kt 的拉氏变换 的拉氏变换. 例8 求
本讲介绍拉氏变换的几个性质, 本讲介绍拉氏变换的几个性质 它们在拉氏变换的 实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 实际应用中都是很有用的 为方便起见 假定在这些性质 中, 凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理 中的条件, 并且把这些函数的增长指数都统一地取为c. 中的条件 并且把这些函数的增长指数都统一地取为 在证明性质时不再重述这些条件. 在证明性质时不再重述这些条件 1.线性性质: 1.线性性质: 线性性质
+∞
的拉氏变换(k为实数 为实数). 例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换 为实数
根据拉氏变换的定义, 解 根据拉氏变换的定义 有
L[ f (t )] = ∫ e e dt = ∫ e
kt − st 0 0
+∞
+∞
+∞
−( s−k )t
dt
这个积分在Re(s)>k时收敛 而且有 时收敛, 这个积分在 时收敛
( Re s > c )
8
推论： 推论：
L f ( n ) ( t ) = s n F ( s ) − s n−1 f (0) − s n− 2 f ′(0) − ⋯ − f ( n−1) (0)
特别当 f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = ⋯ = f ( n−1) ( 0 ) = 0 时，有
根据拉氏变换的定义, 解 根据拉氏变换的定义 有
L[u(t )] = ∫ e−stdt
0 +∞
这个积分在Re(s)>0时收敛 而且有 时收敛, 这个积分在 时收敛
1 −st 1 = ∫0 e dt = − s e s 0 1 所以 L[u (t )] = (Re( s ) > 0). s
− st
4
+∞
∫
0
e
−( s−k )t
1 −( s−k )t +∞ 1 dt = − e = 0 s−k s−k
kt
1 (Re( s ) > k ). 所以 L [e ] = s−k
其实k为复数时上式也成立 其实 为复数时上式也成立, 只是收敛区间为 为复数时上式也成立 Re(s)>Re(k)
5
第二节 Laplace变换的性质与计算 变换的性质与计算
L [ f ( t − τ )] = e L [ f ( t )] = e
− sτ
− sτ
F ( s)
( Re s > c )
（或L-1[e − sτ F ( s )] = f ( t − τ )) 函数f − 与 相比, 开始有非零数值.而 函数 (t−τ)与f (t)相比 f (t)从t = 0开始有非零数值 而 相比 从 开始有非零数值 f (t−τ)是从 =τ 开始才有非零数值 即延迟了一个时间τ. 是从t 开始才有非零数值. − 是从 从它的图象讲, − 是由 是由f 沿 而得, 从它的图象讲 f (t−τ)是由 (t)沿 t 轴向右平移τ 而得 其拉
1 所以 f ( t ) = L 2 s ( s + 1)
−1
1 -1 -1 -1 1 = L 2 +L +L s s s+1 = t − 1 + e − t ( t > 0).
-1
22
1 例2 求F(s) = 的逆变换. 2 s(s − 1)
2π j ∫β − j∞
1
β + j∞
F ( s )e st ds = ∑ Res F ( s )e st , sk .
k =1
n
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虚轴
β+jR
CR L 解析 O
为奇点
β
实轴
β−jR
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定理2 满足拉氏变换存在定理条件， 定理 设f(t)满足拉氏变换存在定理条件，F(s)是f(t)的 满足拉氏变换存在定理条件 是 的 象函数， 的连续点处： 象函数，在f(t)的连续点处： 的连续点处
F(s) = ∫
+∞ 0
f (t )e−stdt
• 在半平面Re(s)>c上一定存在 并且在Re(s) > c的半平 在半平面 上一定存在, 并且在 的半平 上一定存在 面内, 为解析函数. 面内 F(s)为解析函数 为解析函数
3
例1 求单位阶跃函数
0 t < 0 u(t ) = 的拉氏变换. 1 t > 0
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第三节
Laplace逆变换 逆变换
求逆变换的方法：
一、利用一些常见的函数的拉氏变换表达式。 二、利用下面的结论： 利用下面的结论：
定理1 若F ( s )在全平面只有有限个奇点s1 ,⋯ , sn (均在 Re s = β 左侧 )，且 lim F ( s ) = 0, 则t > 0 时
s →∞