非理想流动

)2
Nt t
1 exp(
Nt t
)
(4-27)
F
(
)
1
N
1
1!
(N
)N
1
N
1
2!
(N
)N
2
1 2
(
N
)2
N
1 exp(
矩，反映的是随机变量取值的平均化），它表示的是 各微元停留时间的平均值。
tE(t)dt
t
0
E (t )dt
tE (t )dt
0
0
t
t dF (t)dt
F (t )1
tdF (t)
0 dt
F (t)0
（4-9） （4-10）
② 方差：为对均值的二次矩（散度）
2 t
(t t )2 E(t)dt
第一流体 0
反应器 VR
CA (t)
第二流体
示踪剂检测
单位时间内流入、流出反应器的示踪剂量分别为v0CA0和v0CA，单 位时间内反应器内示踪剂的累积量为 dVdRtC，A则衡算式为：
v0 (CA0
CA)
d (VRCA ) dt
d[ CA ]
CA0 1 (1 CA )
dt
t
CA0
dF (t) 1 [1 F (t)] dt t
t 0时
[C0
M v0
]
CA1
M V1
v0C0 V1
C0 t1
②
rA2
…CAi1 CAi
rAi
CA1 1 exp( t )
③
C0
t1
t
对第二釜(i=2)应有：
v0CA1 v0CA2
dV2CA2 dt
④
将③ 代入 ④得：
v0 V2
C0
1 t1
exp(
t t
)
dCA2 dt
v0 V2
主流体 0
反应器 VR
示踪剂A脉冲注入
CA (t)
脉冲注入
CA (t)
～～
t 0
t
CA (t)
示踪剂检测
面积 C0
t
设加入示踪剂A的量为M，在无限长时间，加入的示踪 剂一定会完全离开系统。
即：
M 0 v0CA (t)dt
或：
C0
M v0
0 CA (t)dt
(4 114)
C0 等于 CA(t) -t 曲线下面所围的面积。出口物料中在
F (t) CA CA0
F (t)
dF (t)
1
t
dt
0 1 F (t) t 0
ln[1 F (t)] t t
F(t) 1 exp[ t ]
E(t) dF (t) d [1 exp( t )] 1 exp( t )
t
dt dt
tt
t
E(t)
F (t)
1 t
1.0
0.632
t
t
t
0
E(t)dt
(t t )2 E(t)dt
0
0
(t2 2tt t 2)E(t)dt
t2E(t)dt 2t
tE(t)dt t 2
E(t)dt
0
0
0
0
t2E(t)dt t 2 0
（4-12）
方差越大，表示离散程度越大，返混也就越厉害。
③ 用对比时间 表示的概率函数
无因次化，令：
根据数学概念可知：在数值上等于随时间变化关系曲 线在时间t这一点的切线的斜率。即在停留时间t这一点 随时间的变化率。
依此定义函数具有归一化的性质：
即：
E(t)
dF (t) dt
dF(t) E(t)dt
F (t) 0 E(t)dt 1.0
（4-2）
除了上面两个描述停留时间分布的函数外，还有用年 龄分布密度函数I(t)和年龄分布函数y(t)来描述流体在反 应器内的停留时间分布。寿命与年龄是两个不同的概 念，区别是前者是系统出口处的流体粒子的停留时间； 后者是系统中的流体粒子的停留时间。
CA2
⑤
解式 ⑤一阶线性微分方程得：
CA2
exp(
t )[ C0 t2 t1t2
t
C]
利用初始条件： t 0
CA2 0
可得： CA2 t exp( t )
⑥
C0
t1t2
t2
对第三釜 (i=3) 应有：
v0CA2 v0CA3
dV3CA3 dt
⑦
初始条件： t 0
CA3 0
解式 ⑦一阶线性微分方程得：
CA3 t 2 exp( t )
⑧
C0
2t1t2 t3
t3
………
推而广之，可得第N釜流出的物料中示踪剂浓度为：
N 1
C AN C0
N
1
1 ! ti
t ti
exp( t ) ti
⑨
对于脉冲示踪
N 1
E(t) CAN C0
N
1
1 ! ti
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t ti
exp( t ) ti
t VR , v0
t i1 N 1
2 (CAi1 CAi )(ti1 ti )
i 1
N 1
(ti1 ti )2 (CAi1 CAi )(ti1 ti )
2
i 1
t
N 1
t 2
4 (CAi1 CAi )(ti1 ti )
i 1
(4 1 21) (4 1 22)
阶跃示踪法
阶跃法是在某一瞬间t=0，将系统中作定常流动的流体切换成流量 相同的含有示踪剂的流体，并在切换成第二流体的同时,在系统出 口处检测流出物料中示踪剂浓度变化。
4.2 流动模型
(1)平推流模型(PFR)
E(t)
0 t t F(t) 1.0 t t
～～
t t
E(t) 0 t t
F (t)
t
t
统计特征值：
t
2 t
0
1.0
1 2 0
t
t
(2) 全混流模型(CSTR )
考察有效体积为VR、进料体积流量为v0的全混流反应器，若在某 一瞬间t=0，将流体切换成流量相同的含有示踪剂A的流体(阶跃 法)，同时检测流出物料中示踪剂A浓度变化。
Vi
VR N
ti
Vi v0
VR Nv0
t N
E(t)
NN
N 1!t
t t
N
1
exp(
Nt ) t
(4-28)
E( ) N N N 1 exp(N )
N 1!
(4-29) 将上2式在0-t区间上积分得：
F
(t)
1
N
1 1! (
Nt t
)N 1
N
1
2!(
Nt t
)N 2
1 2
(
Nt t
t t
1 t2
(t t )2E(t)dt
0
2 t
t2
0
2
1
（4-17）
(5) 停留时间分布的实验测定方法
停留时间分布实验测定方法是示踪响应 法，通过用示踪剂来跟踪流体在系统内 的停留时间。根据示踪剂加入方式的不 同，又可分为脉冲法、阶跃法及周期输 入法三种。
脉冲示踪法
测定方法：在定常态操作的连续系统入口处t=0的瞬间 加入一定量的示踪剂A，同时在系统的出口处检测示踪 剂浓度随时间的变化。
① 全混流 ② 平推流 ③ 工业反应器
2 t
t
2
2 t
0
0
2 t
t
2
2 1.0
2
0
0 2 1.0
（3）多级混合模型
多级混合模型是用N个全混釜串联来模拟一个 实际的反应器，故又称多级全混流串联模型。
单参数模型：模型参数为串联级数N。 模型假定条件
① 每一级内为全混流； ② 级际间无返混； ③ 各釜体积相同。
（2）停留时间分布
理想反应器内所有反应物料的停留时间都是一样的。而 非理想流动使得反应物料的各个微元在反应器中的停留 时间长短不一，存在着一个停留时间的分布问题。
停留时间的长短直接影响反应的效果，停留时间越长， 反应进行得越完全。所以，对于非理想流动系统，我们 必须了解其停留时间的分布问题。本节主要讨论：阐明 流动系统的停留时间分布的定量描述及其实验测定方法。
第一流体 0
反应器 VR
CA (t)
第二流体
示踪剂检测
CA (t) CA0
CA (t) CA0
A CA0t
t 0
t
t
在切换成第二流体后的t-dt～t时间间隔，示踪剂流入系
统量为CA0v0dt，示踪剂流出系统量为CA(t)v0dt，由F(t)
定义可得:
F (t) v0CA (t)dt CA (t)
t
t 0 E(t) 1 F(t) 0 t E(t) 0 F (t) 1 t
tt
F(t) 1 exp[ t ] 1 e1 0.632
t
统计特征值
2 t
t2E(t)dt t 2
0
t2 ( 1 ) exp( t )dt t 2 t 2
0t
t
2
t
2 t 2
1.0
小结
即：
M
C0 v0 0 CA (t)dt
t VR
tE (t )dt
v0
0
(4 117)
若不满足上两式，必须检查原因。
t和 的 t2计算方法
数据的数量大，且所获的样品是瞬间样品，即是相应于
某时刻t下的样品，则：
N
tiCAi ti
t
i 1 N
CAi ti
i 1
N
ti2CAi ti
2
I (t) dy(t) dt
t
y(t) 0 I (t)dt
0 I (t)dt 1.0
（4-4） （4-5）
（4）停留时间分布函数的数字特征
与其它统计分布一样，为了比较不同的停留时间分布， 通常是比较其统计特征值的，在此采用的一个是数学 期望（平均停留时间），一个是方差。
① 平均停留时间 （t 即 E的(t)数学期望：为对原点的一次
i 1
t
N
t 2
CAiti
i 1
(4 11) (4 119)
式中，Δti 是两次取样的时间间隔。
若等时间间隔取样，则：
N
tiCAi
t
i 1 N
CAi
i 1
N
ti2CAi
2
i 1
t
N
t 2
CAi
i 1
(4 13)
② 所获的样品是瞬间样品，实验点10～20个，则：
N 1
(ti1 ti )(CAi1 CAi )(ti1 ti )
面积= t 斜率= dFF((tt)) E(t) ddtt
t1
t
F(t)
面积= 00EE(t()td)tdt1.01.0
t 时,F(t) 1.0
面积=
E(t1)
令E(t)
dF (t ) dt
（4-3）
F(t1) t1
t
t
停留时间分布密度函数：在稳定连续流动系统中，同 时进入反应器的N个流体粒子中，其停留时间为t～ t+dt的那部分粒子占总粒子数N的分率。
第四章 非理想流动
4.1 反应器中的返混现象与停留时间分布 4.2 流动模型 4.3 流体的混合态及其对反应的影响
本章要解决的问题
① 阐明流动系统的停留时间分布的定量描述及 其实验测定方法；
② 建立非理想流动模型； ③ 在所建立模型的基础上，说明该类反应器的
性能和设计计算； ④ 介绍有关流动反应器内流体混合问题，阐明
示踪剂的选择要求
① 不与主流体发生反应； ② 示踪剂浓度与要检测的物理量的关系应有较宽
的线性范围； ③ 用于多相系统的示踪剂不发生从一相转移到另
一相的情况； ④ 示踪剂本身易于和主流体溶为(或混为)一体； ⑤ 示踪剂浓度很低时也能够容易进行检测； ⑥ 示踪剂应具有或易于转变为电信号或光信号的
特点。
系统内停留了t～t+dt 时间的示踪剂量为v0CA(t)dt，由
E(t)的定义可知：
E(t)dt v0CA (t)dt CA (t) dt
M
C0
E(t) CA (t) C0
(4 115)
对于恒容稳定流动系统有：
t VR
v0
(4 116)
为了验证实验数据的可靠性，必须根据M、VR、v0进行 一致性检验：
（3）停留时间分布函数
在稳定连续流动系统中，同
时进入反应E器(t) 的N个流体粒子
F(t)
中，其停留时间小于t的面积那= 0 E部(t)dt 1.0 1.0
分粒子占总E粒(t1) 子数N的分率。
F(t1)
F(t1)
F (t) t dN
0N
t1
t
很显然: 当t=0时,F(t) 0;
E(t)
F(t) 0 E(t)dt 1.0
• 多级全混流串联模型的停留时间分布:
假设反应器总体积为VR，现由N个体积相等的全混釜串联组成。 对系统施加脉冲示踪剂A后，现对示踪剂A作物料衡算：
对第一釜 (i=1)应有：
0 v0CA1
dV1CA1 dt
①
CA0
0
CA1
C
dt V1 dCA1 t dCA1
v0 CA1
CA1
rA1
CA2
几个基本概念。
4.1.1 非理想流动与停留时间分布
（1）非理想流动
在第3章中讨论了两种不同类型的流动反应器—全混流 反应器和平推流反应器。这两种反应器中的流动状态 都属于理想流动。 对于流动系统，由于流体是连续的，而流体分子的运动 又是无序的，所有分子都遵循同一途径向前移动是不 可能的，完全是一个随机过程。并且，在工业反应器 中很多因素均可能引起系统流动状态的改变而偏离理 想状态。凡是流动状态偏离全混流和平推流这两种理 想状态的流动统称为非理想流动。
t t
则
t 1
t
E( )d E(t)dt
d d t
t
E( ) t E(t)
由于F(t)本身是一累积概率，而θ是t的确定性函数，根据
随机变量的确定性函数的概率应与随机变量的概率相等
的原则，有： F( ) F(t)
无因次方差
2
( 1)2 E( )d
0
(t 0t
1)2 tE(t)d
v0CA0dt
CA0
(4 1 23)
即由出口的CA (t)～t曲线可获得F(t)曲线，在CA (t)～t图 中阴影面积应满足:
Ac
CA0 0
tdCA
(t
)
CA0
CA0 tdF (t)
0
CA0
CA0 0
tE(t)dt
CA0t
应用上式对实验数据进行一致性检验。
(4 1 24) (4 1 25)