非线性振动

1 2
稳定结点
1 2 稳定非正常结点
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1 2
稳定星形结点
工程振动与测试 （2）两特征值均为正实数(p＜0 , p2≥ 4q＞0)，则平 衡点是不稳定结点。分别称为不稳定结点，不稳定非 正常结Biblioteka Baidu和不稳定星形结点。图形分别与上图相似， 但箭头方向相反。
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硬弹簧曲线示意图 软弹簧曲线示意图
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如果系统还受到阻力强迫力的作用，则系统的运
动微分方程为
mx x Fx Ft
在一般情况下，单自由度系统的运动微分方程为
mx F x, x, t 0
或
x f x, x, t 0
其中
f x, x, t 1 F x, x, t
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从研究方法上或是振动过程的变化规律上， 非线性振动与线性振动之间有本质区别。
研究非线性振动有两种基本方法 定性方法：
定性方法关心的是在已知解的邻域内系统的一 般稳定性特征，并非寻求与时间相关的解。 定量方法：
定量方法关心的是运动的时间历程，一般应用 摄动法来求得这类方程的近似解析解。
即
X xS , yS 0, Y xS , yS 0
则称点(xs, ys)为方程式的平衡点。
设点O(xs, ys)是一个平衡点。令
a
X x
, b O
X y
O
c
Y x
O
,d
Y y
O
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不妨设平衡点O为原点，则方程式可写成
x ax by X1x, y, y cx dy Y1x, y
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一般非线性系统的运动微分方程可表示为
mx Fx 0
如果 xFx 0
则称弹性恢复力为硬特性恢复力（称为硬弹簧）；
如果 xFx 0
则称弹性恢复力为软特性恢复力（称为软弹簧）
例如
F x x x3 , 0
当 0 时表示硬弹簧；
当 0 时表示软弹簧。
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中心点
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总结以上各种情况，平衡点类型可在p－q平面 上简单表示，如图所示。
平 衡 点 类 型 示 意 图
2 p q 0
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例1 设质量为m,长为l的单摆在具有粘性阻尼的介质
中运动,阻尼系数为c,其运动微分方程为
ml cl mgsin 0
试研究单摆运动的相图.
解： 令 则方程式可写成
再令
02
g ,
l
c
2m0
20 02 sin 0
x , y
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则方程式（b）可表示为
x y Xx, y, y Y x, y 20y 02 sin x
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第10章 非线性振动
一般来说，振动系统总是非线性的，线性系 统只是一种简单模型。如果线性理论能反映所要 考察的物理现象的定性性质和适当的定量结果， 那么就把它当作线性系统来处理；否则，就要研 究非线性系统。
在线性系统的研究中可以应用叠加原理，即 系统对不同激励的响应可以线性相加，而对非线 性系统叠加原理不成立，因此对非线性系统的研 究比线性系统要复杂得多。
式中x表示质点的位移， y x 表示质点的速度。如
果把(x, y)看作平面上点的坐标（称为相点） ，该平
面称为相平面。
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微分方程式的一个解x=x(t), y=y(t)对应于相平面 上的一条曲线，称为相轨迹，简称轨迹。
若相平面上的点为
x 0, y 0
m
它是x和 x 的非线性函数。
如果函数 f 不显含t，则称这个系统为自治系统， 否则称为非自治系统。
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10.2 相平面
设自治系统可表示为
或
x f x, x 0
x y, y f x, y
对于更一般的情形，方程可表示为
x X x, y, y Y x, y
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运动微分方程为
其中
mx 2 S AEl sin 0
l
l l 2 x2 l x2 2l
代入整理得
sin
x
x
l2 x2 l
mx
2S l
x
AE l3
x3
0
如果不再假设位移x很小，那么弹簧的弹性恢复
力一般地是位移x的非线性函数
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对于线性方程组
x ax by, y cx dy
特征方程为
2 p q 0
两个特征根为
1
1 2
p
2
1 2
p
p2 4q p2 4q
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平衡点（0，0）有如下类型： （1）特征值均为负实数(p＞0 , p2≥ 4q＞0)，则平衡 点是稳定结点
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10.1 非线性振动的例子
单摆的有限振幅振动是最简单的一个例子
运动微分方程为
g sin 0
l
对于微小振动，sin
g 0
l
如果振幅不是很小
线性系统
g l
3
6
0
非线性系统
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工程振动与测试 单摆运动特性
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（3）特征值为相异实数（q＜0），则平衡点称为鞍 点，如图所示。
（4）特征值为复数，实部为负(p＞0 , 4q＞p2)，则 平衡点称为稳定焦点，如图所示。
鞍点
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稳定焦点
工程振动与测试 （5）特征值为复数，实部为正(p＜0 , 4q＞p2)， 则平衡点称为不稳定焦点，此时形状与上图相同， 但箭头方向相反。 （6）特征值为纯虚数，则平衡点称为中心，此时 相迹为封闭的圆，如图所示。
g sin 0
l
/ rad
t/s
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质量m在拉紧着的钢丝中的振动。设质量m附着在 长度为2l的钢丝中间，钢丝两端的拉力为S。当质点从 其平衡位置侧向移动距离x时，钢丝产生恢复力，
运动微分方程为
mx 2 S AEl sin 0
l
其中A, E和l分别表示钢丝的横截面 积，弹性模量和长度增量； 为钢丝 与竖直线的偏角。