第二章主动控制理论与演算法

第二章主動控制理論與演算法

2.1 主動噪音控制的概念

如圖2.1所示，聲波是一系列移動的疏（低壓）密（高壓）波，假如聲波的高壓部分與另一聲波的低壓部分重疊，兩種波由於破壞性的干涉使壓力變動消失，聲音也就消失了，此種干涉的發生必須空間位置與時間都必須配合恰當，才能有效的達到消除噪音的效果，圖2.2為噪音源與可控制音源相位分別差0度、60度、120度與180度之疊加訊號。

噪音之主動控制其概念主要是利用人為產生的噪音訊號與主噪音源訊號進行破壞性的干涉與疊加，以達到減噪的目的，如下圖2.3所示，殘留音源為噪音源與第二音源疊加後之訊號。簡單的說，就是利用噪音來消除噪音，此種利用噪音來消除噪音的方法，只要恰當的運用即可隔絕噪音源的傳播形成一靜音區，所以有學者也稱主動噪音控制為「製造沈默之聲」。

圖2.1聲音為壓力波，C為壓縮、R為疏張

圖2.2 噪音源訊號與疊加後之訊號

噪音源

第二音源

殘留音源圖2.3噪音主動控制概念圖

2.2 數位控制器架構

由前面獲得之主要噪音訊號必須要做類比/數位轉換（Analog to Digital Converter ），成為數位訊號後才能做為數位控制系統的輸入訊號，此控制系統一般都以數位濾波器為核心，目的在於將管道下游誤差麥克風量到之誤差訊號做類比/數位轉換，成為數位訊號提供給數位控制系統，經由適應性控制演算法，做即時線上的系統參數修正，再將此輸出訊號做數位/類比轉換（Digital to Analog Converter ），將此類比訊號經功率放大器推動第二聲源來達到減噪的效果。

圖2.4線性系統

如圖2.4所示的系統，其輸入輸出關係的數學模式在時間域上的表示為：n

n t t t t y )()()()(2211 ++ + =L )(t T =（2.1）

（2.1）式中，

[]

[]

n T n T t L L 2121)(= = y 為輸出之可觀察變數；n L ,,21為待定參數（又稱為加權函數）；n

L ,,21為已知函數，與其他已知變數有關，可稱為迴歸變數；因此（2.1）式可稱之為迴歸模型（regression model ），n 為數學模型的階數，主要取決與問題的需求。對一個線性非時變的離散系統，根據圖2.4所示，可以用以下數學式子來表示：

]

[][*][n y n h n x =（2.2）

（2.2）式中][n x 為系統輸入序列；][n h 為系統特性參數，即加權函數；][n y 為系統輸出序列；*代表褶積（convolution ）運算子

為了求出適當的加權函數，使數學模式的輸出與真實系統的輸出之誤差最小，控制系統的數學模式通常有兩種型式：無限脈衝響應（Infinite Impulse Response ，IIR ）與有限脈衝響應（Finite Impulse Response ，FIR ）濾波器。

假設系統輸入序列為][n x ，輸出序列為][n y ，其中n 表示序列中第n 個元素，也可稱為時間上的指標。則系統行為可以用N 階線性差分方程式來表示：

== + =M

k N

k k k k n y b k n x a n y 0

1

]

[][][（2.3）

（2.3）式中，係數k a 與k b 為系統的特性，若式中的N=0, 等號右邊只剩第一項

[] = M

k k k n x a 0

，則輸出訊號序列[]n y 可視為是輸入訊號的加權平均，稱之為移動平

均(moving average)模式，簡稱MA 模式。若是式中M=0，第一項只剩[]n x a 0，則輸出訊號序列[]n y 主要由先前的輸出訊號[] = N

k k k n y b 0所影響。可視為輸出訊號的

回歸運算，故稱之為自我回歸（auto-regress ）模式，簡稱AR 模式。若N ，M 皆大於0，則（2.3）式稱作ARMA 模式。接下來，對（2.3）式等號左右分別做z-轉換，則

[][][] = == =

= +

=

N

k n

k n M

k n

k

n n n

z

k n y b z

k n x a z

n y 1

()[]()

[]()

= =

= = + =n k n N

k k

k n k n M

k k

k z

k n y z

b z

k n x z

a z Y 1

()()()z Y z b z X z a z Y N k k k M k k k

+ = = = 10（2.4）

將（2.4）式完全轉換至z-domain ，則係數k a 與k b 擴充成無窮項的序列，即

[][]

L L L

00000000210M

n a a a a a =

][]

L L L 00000000321N

n b b b b b =則（2.4）式可寫成

()()()z Y z b z X z a z Y k k k k k k

+ = = = ()()()()

z Y z B z X z A +=（2.5）

由（2.5）式，可獲得控制系統的轉移函數（transfer function ）：

()()()()()z B z A z b z a z X z Y z H N k k k M k k k c =

== = = 111

0（2.6）

在（2.6）式中，z -1代表一個取樣週期（sampling period ）的單位延遲（unit delay ）。若1 N ，則()z H 的分母會含有極點（pole ），即對於某些特定的輸入訊號，其輸入響應可能會趨近於無限大。此種控制系統稱為IIR 濾波器，IIR 濾波器必需要考慮到其極點的分佈，以避免系統發生不穩定的情況。若0=N ，則(2.6)式的分母部份會消失，亦即對於有限振幅的輸入，其輸出響應必為有限。此種控制系統稱為FIR 濾波器，系統的穩定性較佳是其優點，但其收斂速度較IIR 濾波器為慢，表2.1為FIR 與IIR 濾波器之優缺點[23]。