金融时间序列分析 第2部分 时间序列分析基础3 波动率模型
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过程 { t } 的形式类似于AR(1)。
2
过程
2 { t } 前后不相关，但过程 { t } 却是前后相关的（因而也
是不独立的）。 随机变量之间不相关，只能说明它们之间没有线性关系，不能 说明它们之间没有非线性关系。 3、ARCH(1)模型的尾部特征
E(t4 t 1 ) 3[E(t2 t 1 )]2 3ht2 3(0 1t21 )2
E ( t t 1 ) 0, Var ( t t 1 ) E ( t2 t 1 ) ht 0 1 t21 2 t22 q t2q
其中：
(1),0 ,1 ,2 , (2),1 2
, q 0 q 1
2
3、计算出残差平方的样本自相关系数
2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ( )( ) t t i 2 2 2 ˆ ˆ ( ) t t 1 T T
ˆ i t i 1
4、计算QLB统计量
QLB T (T 2)
i 1
p
ˆ i2 T i
备择假设 H1 : 1 , 2 ,
, p 不全为零。
4、检验统计量：LM=T R2
2 其中，T为回归式的样本容量，R2为拟合优度 R
ESS RSS 1 TSS TSS
5、统计量LM的分布
在零假设成立的条件下，统计量LM近似服从 2 ( p)
6、判别法则：
若LM < 2 (p)，接受H0（即残差不是ARCH过程）。 若LM > 2 (p)，接受H1（说明残差是ARCH过程）。
Var ( t t 1 , t 2 , ) E ( t2 t 1 , t 2 , ) c 1 t21 2 t22 m t2m
二、模型表达形式
考虑 k 变量回归模型（或AR(p)过程）
yt 0 1x1t
满足
Leabharlann Baidu
k xkt t
E ( t ) 0 Var ( t ) E[( t ) 2 ]
0 1 1
Var ( t ) E ( t2 ) E E ( t2 t 1 ) Eht E ( 0 1 t21 ) 0 1E ( t21 ) 0 1Var ( t 1 )
T为样本容量，p为设定的滞后阶数。
原假设H0：序列不存在p阶自相关； 备选假设：H1为序列存在p阶自相关。
QLB T (T 2)
i 1
p
ˆi2 T i
近似
~ 2 ( p)
2 当 QLB ( p) 时
1
拒绝原假设H0
拉格朗日乘数检验(LM检验)法
1、使用最小二乘法估计最适当的AR(n)模型
1、建立收益率序列的计量模型，检验ARCH效果 （1）选择条件均值模型并估计出参数 可以是回归模型
yt X t t
或ARMA模型 ( B) yt ( B) t
（2）计算出残差值
ˆ 或 ˆt yt X t
ˆ ( B) ˆt yt ˆ ( B)
ˆt2 是否存在自相关。 检验残差的平方
检验序列相关常用的方法有： (a) D.W统计量检验 (b) QLB统计量检验
(c) 拉格朗日乘数检验(LM检验)
注意： D.W统计量检验的不足 1、仅仅检验残差序列是否存在一阶序列相关； 2、回归方程右边如果存在滞后因变量， D.W检验不再有效； 3、 D.W统计量的扰动项在原假设下依赖于系数矩阵。
E {E (
s
E s {E ( t2 s ) E[ E t2 t 1 s )]}
2 t
s ) E t2 s } 0
这样
残差平方服从一个 异方差的AR(1)过程
t2 ht t 0 1t21 t
日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)
60 50
6
DJPY^2
40
4
30 20
2
10
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
收益绝对值序列 (1995-2000)
D(JPY)的平方 (1995-2000)
这种序列的特征是： （1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。 （2）按时间观察，表现出 “波动集群” （volatility clustering）特 征， 方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。 （3）从取值的分布看表现的则是 “高峰厚尾” 特征，
（二）自回归条件异方差模型（ARCH模型）
(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model)
一、模型的提出 考察一个AR(p)过程
yt c 1 yt 1 2 yt 2
其中：
p yt p t
t
是白噪声：
p yt p
yt 的无条件期望是常数，但 yt
的条件期望却是随时
间而变化的。 B.
t
的无条件方差是一常数
2
，但
t
的条件方差却
可能随时间而变化。 一种方法是将
t2
视为服从 AR(m) 过程。
t2 c 1t21 2t22
其中：
mt2m ut
因此，检验序列相关常用 QLB统计量检验或拉格朗日 乘数检验(LM检验)。
QLB统计量(Ljung-Box Q统计量) 检验法
1、计算出残差值
ˆ 或 ˆt yt X t
2、计算出残差平方的均值
ˆ ( B) ˆt yt ˆ ( B)
1 T 2 ˆt ˆ T t 1
t 1 表示 t 时刻之前可获得的信息集。
例
ARCH(1)模型为
ht Var(t t 1 ) 0 1t21
ARCH(q)过程的另一种表达方式
yt 0 1x1t
k xkt t
i .i .d
t ht vt
vt ~ N (0,1)
ht 0 1t21 2t22
ut
是一新的白噪声：
2 , s t Eut 0, E (ut us ) 0, else
此时，
E ( t2 t21 , t22 , ) E ( t2 t 1 , t 2 , ) c 1 t21 2 t22
即：
m t2m
金融时间序列分析
陆贵斌
2012年10月
波动率模型
（一）问题的提出
计量经济学模型中的异方差通常属于递增型异方差, 但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却 不是递增型异方差。
例如，汇率，股票价格常常用随机游走描述： xt = xt-1 + ut 其中, ut 为白噪声过程。
1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见下图
yt 0 1 yt 1 2 yt 2
ˆt 2、计算出残差值
n yt n t
pt2 p ut
（不存在ARCH 效果）
，进行下面的回归分析
t2 0 1t21 2t22
3、零假设 H0 : 1 2
p 0
保证条件方差为正数 平稳序列
则称
t
服从 q 阶自回归条件异方差过程。记为
t ~ ARCH (q)
注意：
E ( yt t 1 ) E ( 0 1 x1t 0 1 x1t k xkt
k xkt t t 1 )
均值方程 条件均值模型
E ( t4 ) E[ E ( t4 t 1 )] 3E ( 0 1 t21 ) 2
2 3E ( 0 2 01 t21 12 t41 ) 2 3[ 0 2 01Var ( t 1 ) 12 E ( t41 )]
E(t4 ) E(t41 ), Var (t ) Var (t 1 )
0 E ( ) 3[ 2 01 12 E ( t4 )] 1 1 1 2 3 0 (1 2 ) 312 E ( t4 ) 1 1
4 t 2 0 2 3 4 2 0 (1 1 ) m4 E ( t ) , (1 3 1 0) 2 (1 1 )(1 31 )
qt2q
E(vt t 1 ) 0, E(vt2 t 1 ) Var(vt t 1 ) 1
三、ARCH模型的性质 主要讨论ARCH(1)的性质
t ht vt
ht Var(t t 1 ) 0 1t21
t 的无条件均值和方差分别为 1、
2 因为 t 是平稳的，所以
Var ( t ) Var ( t 1 ) E ( t21 ) 2
0 Var ( t ) 1 1
显然要求
0 1 1
2、令
则
t t2 ht t2 Var (t t 1 )
t
是白噪声过程。
2 E ( t4 ) 3 0 (1 1 ) (1 1 ) 2 2 2 2 [Var ( t )] (1 1 )(1 31 ) 0
1 12 3 3 2 1 31
四、ARCH模型的建立
ARCH模型的建立的基本步骤 （1）建立时间序列的计量模型，去掉任何线性关系， 对估计的残差检验ARCH效果； （2）识别ARCH模型的阶数，估计模型； （3）检验ARCH模型，根据情况修改模型。
（leptokurtosis and fat-tail）即均值附近与尾区的概率值比正
态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。
高峰厚尾 分布曲线
正态分布 曲线
高峰厚尾分布特征示意图
显然现期方差与前期的“波动”有关系。
自回归条件异方差模型（Engle 1982）通常有两类：
1）用确定的函数来刻画异方差的演变，GARCH模型 2）用随机方程来描述异方差。随机波动率模型
E t 0,
2 , s t E ( t s ) 0, else
yt
的无条件期望是：
E( yt ) c (1 1 2
p )
yt
的条件期望是：
E( yt yt 1, yt 2 , ) c 1 yt 1 2 yt 2
A.
, p )
为了简单，可以使用条件似然函数：
f (1 ,
, T 1 ,
, p , )
2、识别ARCH模型的阶数，估计模型
阶数识别：可以分析时间序列
2 t
的自相关函数和
偏自相关函数。也可以使用AIC或BIC准则来确定序 列适当的滞后长度。
参数估计： 一般使用极大似然法估计：
f (1 ,
, T )
T
t p 1
t2 1 exp[ ] f (1 , 2ht 2 ht
160
6
JPY (1995-2000)
4 D(JPY) (1995-2000) 2 0
140
120
-2
100
-4 -6
80 200 400 600 800 1000 1200 1400
-8 200 400 600 800 1000 1200 1400
日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000)
8 Volatility of returns
Et E ( t2 ) E Var ( t t 1 ) E ( t2 ) E E t2 t 1 0
s t
E (t s ) E E (t s s ) E s E (t s ) E s E ( t2 ht s )
2
过程
2 { t } 前后不相关，但过程 { t } 却是前后相关的（因而也
是不独立的）。 随机变量之间不相关，只能说明它们之间没有线性关系，不能 说明它们之间没有非线性关系。 3、ARCH(1)模型的尾部特征
E(t4 t 1 ) 3[E(t2 t 1 )]2 3ht2 3(0 1t21 )2
E ( t t 1 ) 0, Var ( t t 1 ) E ( t2 t 1 ) ht 0 1 t21 2 t22 q t2q
其中：
(1),0 ,1 ,2 , (2),1 2
, q 0 q 1
2
3、计算出残差平方的样本自相关系数
2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ( )( ) t t i 2 2 2 ˆ ˆ ( ) t t 1 T T
ˆ i t i 1
4、计算QLB统计量
QLB T (T 2)
i 1
p
ˆ i2 T i
备择假设 H1 : 1 , 2 ,
, p 不全为零。
4、检验统计量：LM=T R2
2 其中，T为回归式的样本容量，R2为拟合优度 R
ESS RSS 1 TSS TSS
5、统计量LM的分布
在零假设成立的条件下，统计量LM近似服从 2 ( p)
6、判别法则：
若LM < 2 (p)，接受H0（即残差不是ARCH过程）。 若LM > 2 (p)，接受H1（说明残差是ARCH过程）。
Var ( t t 1 , t 2 , ) E ( t2 t 1 , t 2 , ) c 1 t21 2 t22 m t2m
二、模型表达形式
考虑 k 变量回归模型（或AR(p)过程）
yt 0 1x1t
满足
Leabharlann Baidu
k xkt t
E ( t ) 0 Var ( t ) E[( t ) 2 ]
0 1 1
Var ( t ) E ( t2 ) E E ( t2 t 1 ) Eht E ( 0 1 t21 ) 0 1E ( t21 ) 0 1Var ( t 1 )
T为样本容量，p为设定的滞后阶数。
原假设H0：序列不存在p阶自相关； 备选假设：H1为序列存在p阶自相关。
QLB T (T 2)
i 1
p
ˆi2 T i
近似
~ 2 ( p)
2 当 QLB ( p) 时
1
拒绝原假设H0
拉格朗日乘数检验(LM检验)法
1、使用最小二乘法估计最适当的AR(n)模型
1、建立收益率序列的计量模型，检验ARCH效果 （1）选择条件均值模型并估计出参数 可以是回归模型
yt X t t
或ARMA模型 ( B) yt ( B) t
（2）计算出残差值
ˆ 或 ˆt yt X t
ˆ ( B) ˆt yt ˆ ( B)
ˆt2 是否存在自相关。 检验残差的平方
检验序列相关常用的方法有： (a) D.W统计量检验 (b) QLB统计量检验
(c) 拉格朗日乘数检验(LM检验)
注意： D.W统计量检验的不足 1、仅仅检验残差序列是否存在一阶序列相关； 2、回归方程右边如果存在滞后因变量， D.W检验不再有效； 3、 D.W统计量的扰动项在原假设下依赖于系数矩阵。
E {E (
s
E s {E ( t2 s ) E[ E t2 t 1 s )]}
2 t
s ) E t2 s } 0
这样
残差平方服从一个 异方差的AR(1)过程
t2 ht t 0 1t21 t
日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)
60 50
6
DJPY^2
40
4
30 20
2
10
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
收益绝对值序列 (1995-2000)
D(JPY)的平方 (1995-2000)
这种序列的特征是： （1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。 （2）按时间观察，表现出 “波动集群” （volatility clustering）特 征， 方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。 （3）从取值的分布看表现的则是 “高峰厚尾” 特征，
（二）自回归条件异方差模型（ARCH模型）
(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model)
一、模型的提出 考察一个AR(p)过程
yt c 1 yt 1 2 yt 2
其中：
p yt p t
t
是白噪声：
p yt p
yt 的无条件期望是常数，但 yt
的条件期望却是随时
间而变化的。 B.
t
的无条件方差是一常数
2
，但
t
的条件方差却
可能随时间而变化。 一种方法是将
t2
视为服从 AR(m) 过程。
t2 c 1t21 2t22
其中：
mt2m ut
因此，检验序列相关常用 QLB统计量检验或拉格朗日 乘数检验(LM检验)。
QLB统计量(Ljung-Box Q统计量) 检验法
1、计算出残差值
ˆ 或 ˆt yt X t
2、计算出残差平方的均值
ˆ ( B) ˆt yt ˆ ( B)
1 T 2 ˆt ˆ T t 1
t 1 表示 t 时刻之前可获得的信息集。
例
ARCH(1)模型为
ht Var(t t 1 ) 0 1t21
ARCH(q)过程的另一种表达方式
yt 0 1x1t
k xkt t
i .i .d
t ht vt
vt ~ N (0,1)
ht 0 1t21 2t22
ut
是一新的白噪声：
2 , s t Eut 0, E (ut us ) 0, else
此时，
E ( t2 t21 , t22 , ) E ( t2 t 1 , t 2 , ) c 1 t21 2 t22
即：
m t2m
金融时间序列分析
陆贵斌
2012年10月
波动率模型
（一）问题的提出
计量经济学模型中的异方差通常属于递增型异方差, 但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却 不是递增型异方差。
例如，汇率，股票价格常常用随机游走描述： xt = xt-1 + ut 其中, ut 为白噪声过程。
1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见下图
yt 0 1 yt 1 2 yt 2
ˆt 2、计算出残差值
n yt n t
pt2 p ut
（不存在ARCH 效果）
，进行下面的回归分析
t2 0 1t21 2t22
3、零假设 H0 : 1 2
p 0
保证条件方差为正数 平稳序列
则称
t
服从 q 阶自回归条件异方差过程。记为
t ~ ARCH (q)
注意：
E ( yt t 1 ) E ( 0 1 x1t 0 1 x1t k xkt
k xkt t t 1 )
均值方程 条件均值模型
E ( t4 ) E[ E ( t4 t 1 )] 3E ( 0 1 t21 ) 2
2 3E ( 0 2 01 t21 12 t41 ) 2 3[ 0 2 01Var ( t 1 ) 12 E ( t41 )]
E(t4 ) E(t41 ), Var (t ) Var (t 1 )
0 E ( ) 3[ 2 01 12 E ( t4 )] 1 1 1 2 3 0 (1 2 ) 312 E ( t4 ) 1 1
4 t 2 0 2 3 4 2 0 (1 1 ) m4 E ( t ) , (1 3 1 0) 2 (1 1 )(1 31 )
qt2q
E(vt t 1 ) 0, E(vt2 t 1 ) Var(vt t 1 ) 1
三、ARCH模型的性质 主要讨论ARCH(1)的性质
t ht vt
ht Var(t t 1 ) 0 1t21
t 的无条件均值和方差分别为 1、
2 因为 t 是平稳的，所以
Var ( t ) Var ( t 1 ) E ( t21 ) 2
0 Var ( t ) 1 1
显然要求
0 1 1
2、令
则
t t2 ht t2 Var (t t 1 )
t
是白噪声过程。
2 E ( t4 ) 3 0 (1 1 ) (1 1 ) 2 2 2 2 [Var ( t )] (1 1 )(1 31 ) 0
1 12 3 3 2 1 31
四、ARCH模型的建立
ARCH模型的建立的基本步骤 （1）建立时间序列的计量模型，去掉任何线性关系， 对估计的残差检验ARCH效果； （2）识别ARCH模型的阶数，估计模型； （3）检验ARCH模型，根据情况修改模型。
（leptokurtosis and fat-tail）即均值附近与尾区的概率值比正
态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。
高峰厚尾 分布曲线
正态分布 曲线
高峰厚尾分布特征示意图
显然现期方差与前期的“波动”有关系。
自回归条件异方差模型（Engle 1982）通常有两类：
1）用确定的函数来刻画异方差的演变，GARCH模型 2）用随机方程来描述异方差。随机波动率模型
E t 0,
2 , s t E ( t s ) 0, else
yt
的无条件期望是：
E( yt ) c (1 1 2
p )
yt
的条件期望是：
E( yt yt 1, yt 2 , ) c 1 yt 1 2 yt 2
A.
, p )
为了简单，可以使用条件似然函数：
f (1 ,
, T 1 ,
, p , )
2、识别ARCH模型的阶数，估计模型
阶数识别：可以分析时间序列
2 t
的自相关函数和
偏自相关函数。也可以使用AIC或BIC准则来确定序 列适当的滞后长度。
参数估计： 一般使用极大似然法估计：
f (1 ,
, T )
T
t p 1
t2 1 exp[ ] f (1 , 2ht 2 ht
160
6
JPY (1995-2000)
4 D(JPY) (1995-2000) 2 0
140
120
-2
100
-4 -6
80 200 400 600 800 1000 1200 1400
-8 200 400 600 800 1000 1200 1400
日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000)
8 Volatility of returns
Et E ( t2 ) E Var ( t t 1 ) E ( t2 ) E E t2 t 1 0
s t
E (t s ) E E (t s s ) E s E (t s ) E s E ( t2 ht s )