集合论 第2章 映射

定义7 设f :Ｘ→Y，若yY，xX,使得f(x)=y，则称 f 为 从Ｘ到Ｙ上的映射，或称 f 为满射(surjection)。
定义7 设f :Ｘ→Y，若yY，xX,使得f(x)=y，则称 f 为从
Ｘ到Ｙ上的映射，或称 f 为满射(surjection)。
定义8 设f :Ｘ→Y，若 f 既是满射又是单射，则称f为双射，或
1.4几个重要的结论
定理1 设Ａ，Ｂ是有限集合，f:AB。则 （1）若f是满射，则 AB； （2）若f是单射，则 AB； （3）若f是双射，则 A=B。
定理2设Ａ,Ｂ是有限集合且A=B，则f:AB是单射f是满射。 说明：（1）f是单射f是满射，从而f是双射；
（2）定理中Ａ，Ｂ为有限集合是必要条件，若Ａ，Ｂ不是 有限 集合，则结论不成立。
d
如图所示：
e
f既不是单射，也不是满射。
例2 (1)令N={1,2,3,…}，s:Ｘ→Y，其定义为nN，s(n)=n+1，
s称为自然数集N上的后继函数。[s是单射，但不是满射]
(2)令N={1,2,3,…｝，t:Ｘ→Y，其定义为nN，t(n)=1,
t(n)=n-1，n≥2。[t是满射，但不是单射]。
是完整配对的。 （3）某次会议有n位代表参加，每一位代表至少认识其余n-1位
中的一位，则n位代表中，至少有两位认识的人数相等。
例2 在一个边为1的正方形内（包括边界），任意地画七个点， 则 例其3 中证必明有，三从个1，点2，，以…它，们2n为中顶，点任所选组n+成1个的数三，角则形在面这积n+116个数。中 必有两个数，使得其中一个能整除另一个。 例4 证明对任意整数N，存在N的一个倍数，使得它仅由数字0和7 组成。（例如N＝3，有259×3＝777；N＝4，有1925×4＝7700； N＝5，有14×5＝70；N＝6，有1295×6＝7770等）。
3.2 性质 定理1 设 f:XY ，C，DY，则
(1) f 1 (C D) f 1(C ) f 1 (D) (2) f 1 (C D) f 1 (C ) f 1 (D) (3) f 1 (C \ D) f 1(C ) \ f 1(D) (4) f 1 (CD) f 1 (C )f 1 (D) (5) f 1 (C C ) ( f 1 (C ))C
m1,m2,…,mn中至少有一个大于或等于 r 。
2.3 例题
例1一个人步行了十小时，共走45公里，已知他第一个小时走了 6公里，而最后一小时只走了3公里，证明一定存在连续的两个小 时，在这两个小Fra Baidu bibliotek之内至少走了9公里。
例2 一个园环等分36段，将36个数字1，2，…，36任意地写在 每一段上，使每一段上恰有一个数字，证明：一定存在连续的三 段，在这三段上的数字之和至少为56。
(4) 例 ： 设 ， X={1,2,3,4} ， y={a,b,c,d,e} ， f(1)=a,f(2)=b, f(3)=b, f(4)=c,令f(A)={a,b}, ={2,3,4}，特别地有：。
(4)为了书写简单，f({a})记为f(a)；f -1({b})记为f-1(b) 。
但此时要注意的是， f(a)，f-1(b)都是集合。
第二章 映 射
本章的主要内容 映射的概念及其重要特殊性质 映射的一般性质 映射的合成 逆映射 映射的应用----鸽巢原理、置换、 n（二）元运算、特征函数
§1 函数的一般概念 主要内容
映射的定义 特殊的映射 例题 几个重要结论
在数学分析中，函数概念是这样引入的。
设X和Y是两个数集，若依据某一法则f，使得对于Ｘ中的每 一数ｘ总有Ｙ中的唯一确定的数ｙ与之对应，则称f称为定义在 Ｘ上取值于Ｙ中的函数。Ｘ称为函数f的定义域，而值域包含在 Ｙ中。函数f给x规定的对应值y常记为f(x)。
例3 令Ｅ为全体偶自然数之集，e:E→N，2mE，e(2m)=m， 则ｅ是从Ｅ到N的一个一一对应，但它不是从N到N的映射， 而是N到N的部分映射。 例4 设Ｘ为整数的有限集。定义集合X-X={x-x’x-x’X}试证： 若A，B {1,2,3,…}且A•B≥2n-1，n≥1，则(A-A)⋂(B-B)中有一 个正整数。
x在f的值域或像，记为f(x)。
。 集合{f(x) xX}称为f 的值域或像，记为Im(f)。
定义2 设X和Ｙ是两个非空集合。若Ｘ×Ｙ的子集f 满足下列
条件：xX，存在唯一的yY，使得(x,y)f〔或y=f(x)〕，则
称f 是X到Ｙ的映射。
一、例题
例：X＝｛1，2，3｝，Y＝｛ａ，ｂ，ｃ｝，则
X×Ｙ＝｛（1，a）,(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),
gf (a) g( f (a)) (0) 2
gf (b) g( f (b)) (0) 2
gf (c) g( f (c)) (1) 3
故 gf= {(a,2),(b,2),(c,3)} ，但 f g 无定义。
（3）定理1和定理2可以推广到有穷多个或无穷多个集合的并与 交集的情况。
§4 映射的合成 （定义、性质、例题）
4.1定义 定义1设 f:AB，gf:BC。一个从A到C的映射记为h，并且
xA，h(x)=g(f(x)) 称h为映射f与g的合成。h记为简记为gºf，简记为 g f ，即
h= gºf= g f
(1) f ( ) ;
(2) f ( X ) Im ( f ) { f ( x) x X } Y ; (3) f : X Y , 若f 是满射，则f ( X ) Y ; (4)若A B X，则f(A) f (B)。
定义2 设f:XY，BY，则由 f 和Ｂ可以唯一确定X上的一个子
集记为：f -1(B) ，即f -1(B) ={xf (x)B，xX} 。
第三节 映射的一般性质(导出函数、一般性质)
3.1 导出函数（象、原象的概念） 定义1 设f:XY，AX，由 f 和Ａ可以唯一的确定Ｙ中的一个子 集，记为 f(A)，于是，f (A)={f (x)xA}。称f(A)为集合Ａ在 f 下的象集（象）。 说明：利用这种方法，由 f 可以确定一个从2X到2Ｙ的映射，仍 记为f。显然。
……………
……………
都是映射
都不是映射
二、映射关系图
有限集合X到Ｙ的映射也可以用图示方法给出：先列出X和Y 的元素，在图上用点表示；若f（x）=y，则在代表x的点画一条 带箭头的线指向代表y的点，如此得到的图就是映射关系图。这 种表示方法形象、直观。
一般情况下，为了使关系图清晰，把X画在左边，Y画在右边。
称f -1(B) 为 f 在B下的原象。
说明:(1)实际上，f-1(B)就是X中在f下象落在Ｂ里的那些元素组 成的集合。
(2)同理，f也可导出一个从2Y到2X的一个映射，记为f-1。 (3)设f:XY，X={1,2,3,4}，y={a,b,c,d,e}，f(1)=a,f(2)=b, f(3)=b, f(4)=c,令A={1,2}，B={b,c,d}，则 f(A)={a,b}, f -1(B) ={2,3,4}，特别地有： f -1({d})=， f -1({b})={2,3}。
2.2 鸽巢原理强形式
鸽巢原理强形式：设m1,m2,…,mn都是正整数，若有m1+m2+…+mn －n+1只鸽子和n个鸽巢，则或第一个鸽巢里至少有m1只鸽子，或 第二个鸽巢里至少有m2只鸽子，…，或第n个鸽巢里至少有mn只 鸽子。
当m1=m2=…=mn=2时，m1+m2+…+mn-n+1=n+1。故鸽巢原理是强形 式的一种特殊情况。
定理2 设 f:XY ，A，BX，则
(1) f ( A B) f ( A) f (B) (2) f ( A B) f ( A) f (B) (3) f ( AB) f ( A)f (B) (4) f ( A \ B) f ( A) \ f (B)
说明：（1）注意，两个集合的交的象不一定与它们的象的交相 重合。
例：令X＝{1，2，3}，Ｙ＝{a，b，c，d}。 f :X→Y，
f(1)=b， f(2)=d， f(3)=a。
用集合表示法：f＝{(1,b),(2,d),(3,a)}；
用图表示法如图所示： 1.2特殊的映射
a
1
b
2
c
3
d
定义3设f :X→Y，AX，当把f 的定义域限制在Ａ上时，就 得到了一个:AY，xX，(x)=f(x) 则称为f在Ａ上的限制 ，并且常用f A来代替。反过来，我们说f是在Ｘ上的扩张。
(3,a),(3,b),(3,c)｝
子集：
{(1,a),(2,b),(3,c)} {(1,a),(2,a),(3,a)} {(1,b),(2,a),(3,c)} {(1,a),(2,c),(3,c)}
{(1,a),(1,b),(2,b),(3,c)} {(1,b),(2,c),(2,a)} {(1,b),(2,c)} {(3,c)}
（3）举例：上面例2即可说明问题。
§2 鸽巢原理
内容：鸽巢原理、强形式、例题 2.1 鸽巢原理 鸽巢原理：n+1只鸽子飞入n个鸽巢，则一定存在某一鸽巢，里面 至少有两只鸽子。
例1（1）一年365天，今有366个人，则其中至少有两个人生日
相同。 （2）抽屉里有10双手套，从中取11只出来，则其中至少有两只
一一对应。这时也称Ｘ与Ｙ对等，记Ｘ～Ｙ。
定义9 设f :Ｘ→Ｘ，若 xX，f(x) =x，则称f为Ｘ上的恒等映
射。Ｘ上的恒等映射常记为Ix或1x 。
1.3例题
a
例1设f:Ｘ→Y， X＝{1，2，3，4}， 1
b
Ｙ＝{a，b，c，d，e}。
2
c
3
f(1)=a，f(2)=a，f(3)=c，f(4)=d。 4
定义4 设 f:X→Y，AX，则称 f是Ｘ上（或X到Y）的一个 部分映射。在这里，我们假定空集Ø到Y有一个唯一映射，它也 是Ｘ到Ｙ的部分映射。
定义5 设f 和g都是Ｘ到Ｙ的映射，则 f=g 当且仅当 xX，总有f (x)=g(x)。
定义6 设f :Ｘ→Y，若x，x1X，只要xx1，就有 f(x)f(x1),则称 f 为从Ｘ到Ｙ的单射(injection)。
（2）例 设 X={a,b,c},Y={1,2,3}，f:XY，f(a)=1，f(b)=2，
f(c)=2，令 A={a,b},B={c} 。于是，A∩B=,f(A∩B)=。 但是， f(A)∩f(B)={1,2}∩{2}={2}≠，因此，
f(A∩B) f(A)∩f(B) 同理，可以求其它式子也几个不等。
仿函数概念的定义，我们有映射的定义：
1.1映射的定义
定义1设Ｘ和Ｙ是两个非空集合。一个从Ｘ到Ｙ的映射f是一
个法则，根据法则f，对Ｘ中每个元素x都有Ｙ中唯一确定的元
素y与之对应。 f给x规定的对应元素y称为x在f下的像，而x称为
y▪ 的原象。Ｘ称为f的定义域。
“f是Ｘ到Ｙ的映射”这句话常记为： f:XY。
推论1 若有m只鸽子，n个鸽巢，则一定存在某一个鸽巢，它里面
至少有
m 1 n
1
只鸽子。这里
x
表示不大于x的最大整数。
推论2 若把n(m-1)+1个物体放进n个盒子里，则一定存在某一个盒
子，它里面至少有m个物体。
此推论是强形式中，当m1=m2=…=mn=m 时的特殊情况。
推 论 3 若 m1,m2,…,mn 是 n 个 正 整 数 ， 且 (m1+m2+…+mn)/n>r-1 ， 则
说明：1.由定义知：xA，有 h(x)= g•f(x)= g f (x)=g(f(x))。
2． f与g的合成记为gf ，而不记为f g。 3．映射的合成可用如图所示。
A
f
B
C
g
f dom(f)
g ran(f)
ran(gf)
在这里： f的定义域dom(f)=A，f的值域ran(f) B； g的定义域dom(g)=B，g的值域ran(g) C ； h的定义域dom(h)=A，h的值域ran(h)={h(x)xA}C ； 4.例 设A={a，b，c}，B={0，1}，C={2，3}。 f:AB，f(a)=f(b)=0，f (c) =1；g:BC，g(0)=2，g(1)=3， 则 gf:A C 且
实际上，函数概念的实质在于它建立了量与量间的单值对应关 系。
然而，不仅量与量间有单值依赖关系，事物与事物间也可有单 值的对应关系。所以，若把Ｘ和Ｙ理解为具有不同属性的集合， 就得到了函数的一般概念——映射。这样，映射就是函数概念的 推广，它既能描述量与量间的单值联系，又能描述具有任何属性 的事物间的单值联系。