1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2单调性等)

(1) sin( )与sin( );
18
10
(2) cos( 23)与cos( 17).
5
例3 求函数 y sin( 1 x ，)
23
x∈[－2π，2π]的单调递增区间.
mzgang888@163.com
小结作业
1. 正、余弦函数的基本性质主要指周期 性、奇偶性、单调性、对称性和最值， 它们都是结合图象得出来的，要求熟练 掌握.
2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函 数 . 一 般 地 ， y=Asinωx 是 奇 函 数 ， y=Acosωx（Aω≠0）是偶函数.
mzgang888@163.com
3.正、余弦函数有无数个单调区间和无 数个最值点，简单复合函数的性质应转 化为基本函数处理.
作业：P40-41练习：1，2，3，5，6.
正、余弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．
y Asinx 与y Acosx 的周期是2
mzgang888@163.com
周期函数应用
练习：(口算)求下列函数的周期：
(1). y sin 3 x 4
(3). y 1 cos x 2
(2). y cos 4x
mzgang888@163.com
思考4：正弦函数在每一个开区间 （2kπ，＋2kπ） (k∈Z)上都是增函
2
数，能否认为正弦函数在第一象限是增 函数？
mzgang888@163.com
探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性
思考1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、余 弦函数是否存在最大值和最小值？若存在， 其最大值和最小值分别为多少？
பைடு நூலகம்思考2：当自变量x分别取何值时，正弦函 数y=sinx取得最大值1和最小值－1？
结论：正弦函数当且仅当 x 2k 时 取
最大值1,当且仅当 x 2k 时 取最 小
值-1
mzgang888@163.com
思考3：当自变量x分别取何值时，余弦 函数y=cosx取得最大值1和最小值－1？
结论：余弦函数当且仅当 x 2k时取
最大值1, 当且仅当 x (2k 1) 时取最 小值-1.
思考4：根据上述结论，正、余弦函数的 值域是什么？函数y=Asinωx（Aω≠0） 的值域是什么？ [-|A|，|A|]
mzgang888@163.com
思考5：正弦曲线除了关于原点对称外，
是否还关于其它的点和直线对称？
y 1
y=sinx
(4).
y
sin
3
x
4
mzgang888@163.com
周期函数应用
例1、已知定义在R上的函数f(x)满 足f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否 为周期函数？
结论：定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋a)＋f(x)=0或f(x＋a) =-f(x) 则f(x)是周期为2a的周期函数.
4π
6π
-1
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2-1
2
2
2
mzgang888@163.com
2. 周期函数定义
对 于 函 数 f(x) ， 如 果 存 在 一 个 非 零常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫 做这个函数的周期.
mzgang888@163.com
探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性
思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线， 判断正、余弦函数奇1 偶y 性？y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π
4π
6π
-1 y
y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
2
2
O -1
2
2
2
结论:正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.
思考2：观察正弦曲线，正弦函数在哪些
区间上是增函数？在哪些区间上是减函
数？如何将这些单调区间进行整合？
y 1
y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π 4π 6π
-1
正弦函数在每一个闭区间 [ 2k 2k
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
-1
π
3π 5π x
2π
4π
6π
正弦曲线关于点 k ，0 和直线 x k
2
对称.
mzgang888@163.com
思考6：余弦曲线除了关于y轴对称外， 是否还关于其它的点和直线对称？
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
2
2
mzgang888@163.com
周期函数应用
例2、已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时， f(x)=x－4，求f(10)的值.
结论：定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋a)-f(x-b)=0或f(x＋a) =f(x-b) 则f(x)是周期为a+b的周期函数.
2
上都是增函数；在每一个闭区间
[
2
2k
2k
上都是减函数.
思考3：类似地，余弦函数在哪些区间上
是增函数？在哪些区间上是减函数？
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
余弦2 函数 在2 每一2-个1 闭O 区间2[
2
2k
2
2k
上都是增函数；在每一个闭区间
[2k 2k 上都是减函数.
mzgang888@163.com
回顾
t
正弦
0，0
，1 p
1 2
5730
，0
3 ，1
2 ，0
1.五点法作正弦函 2数和 余弦函2 数的 图象。
余弦 0，1 ，0 ，1 3 ，0 2 ，1
2
2
y 1
y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π
O -1
2
2
2
余弦曲线关于点
k
2
，0
和直线
x k
对称.
mzgang888@163.com
理论迁移
例1 求下列函数的最大值和最小值，并 写出取最大值、最小值时自变量x的集合 （1） y=cosx＋1，x∈R； （2）y=－3sin2x，x∈R.
mzgang888@163.com
例2 比较下列各组数的大小:
mzgang888@163.com